吉林省四平市第三高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)（4月）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024－2025學(xué)年度下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘。命題人：王曉慧審題人：高潔鄒永新（導(dǎo)數(shù)、排列組合、二項(xiàng)式定理）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.2.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C.0 D.3.將六位數(shù)“”重新排列后得到不同的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C.216 D.4.已知，則（）A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.6.將5名實(shí)習(xí)教師分配到某校高二年級(jí)的甲、乙、丙3個(gè)班級(jí)實(shí)習(xí)，要求每個(gè)班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（）A.種 B.種 C.種 D.種7.如圖，已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則（）A. B. C.1 D.28.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列不等式一定成立的為（）A. B.C D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則 B.C. D.10.高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（）A.所有可能方法有種B.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同安排方法有25種D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種11.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）A.在處取得極大值B.只有一個(gè)零點(diǎn)C.D.若在上恒成立，則第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．13.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)___________．14.設(shè)，，，比較，，的大小關(guān)系并用“”連接起來(lái)____________四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上最大值和最小值.16.已知函數(shù).（1）求在點(diǎn)處切線方程；（2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求的方程.17.已知(1＋m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開(kāi)式中含有x項(xiàng)的系數(shù)為112.（1）求m，n的值；（2）求展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；（3）求(1＋m)n(1－x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．18.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.

2024－2025學(xué)年度下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘。命題人：王曉慧審題人：高潔鄒永新（導(dǎo)數(shù)、排列組合、二項(xiàng)式定理）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義求出極限值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：B2.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】先求得，令，求得，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得，所以，則.故選：A.3.將六位數(shù)“”重新排列后得到不同的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C.216 D.【答案】D【解析】【分析】由題意，分末尾是或，末尾是，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，末尾是或，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，末尾是，不同偶數(shù)個(gè)數(shù)為，所以共有個(gè).故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得的值．【詳解】，則.故選：D．5.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)原函數(shù)圖像，由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖像之間關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，排除選項(xiàng)B和D；函數(shù)在上先遞減后遞增再遞減，所以在上應(yīng)為負(fù)、正、負(fù)的趨勢(shì)，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)圖像之間關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題型.6.將5名實(shí)習(xí)教師分配到某校高二年級(jí)的甲、乙、丙3個(gè)班級(jí)實(shí)習(xí)，要求每個(gè)班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】本著排列組合混合的題型要“先分類，后分步，先組合，后排列”的原則分析解決問(wèn)題.【詳解】根據(jù)題意，去甲班實(shí)習(xí)的教師可以是1人或2人.有1人去甲班時(shí)，因?yàn)椴蝗ゼ装啵蓮牧硗?人中選1人去甲班，有種選法，再選2人去乙班，有種選法，剩下2人去丙班，有種方法，這是分3步完成的，故有種方案；有2人去甲班時(shí)，因?yàn)椴蝗ゼ装?，可從另?人中選2人去甲班，有種選法，再剩余3人分配到2個(gè)班的分法有種方法，所以這類辦法有種.故不同的分配方案有:.故選：D7.如圖，已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖像算出函數(shù)在點(diǎn)處的切線，即可求出其在處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)取值?！驹斀狻坑蓤D象可得，切線過(guò)點(diǎn)和，切線斜率為，所以，又因?yàn)榍芯€方程為，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，有，所以.故選：C8.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列不等式一定成立的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，在時(shí)恒成立，所以時(shí)單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選:C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則 B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式依次判定選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選：AC10.高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（）A.所有可能的方法有種B.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)分步乘法原理判斷A、C，根據(jù)間接法判斷B，根據(jù)分類加法原理和乘法原理判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有種選擇方案，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），錯(cuò)誤.故選：BC11.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）A.在處取得極大值B.只有一個(gè)零點(diǎn)C.D.若在上恒成立，則【答案】AB【解析】【分析】對(duì)A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的極值即可判斷；對(duì)B，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的范圍即可判斷；對(duì)C，利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值的大小關(guān)系即可判斷；對(duì)D，利用不等式恒成立，參數(shù)分離法即可求解．【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在時(shí)取得極大值，故A正確；對(duì)于B，在上單調(diào)遞增函數(shù)，，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，故有唯一零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)與D，由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，，故D錯(cuò)誤．故選：AB【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，研究不等式恒成立問(wèn)題，要利用分離參數(shù)法處理恒成立問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】原來(lái)個(gè)節(jié)目，形成個(gè)空位，安排一位老校友；個(gè)節(jié)目，形成個(gè)空位，安排一位老校友；個(gè)節(jié)目，形成個(gè)空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有種.故答案為：13.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)___________．【答案】2【解析】【分析】先得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，由題意知，解得．故答案為：214.設(shè)，，，比較，，的大小關(guān)系并用“”連接起來(lái)____________【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，即可求得題目.【詳解】由，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以．故答案為?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）最大值為2，最小值為.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0的不等式得解.（2）由（1）的結(jié)論，確定在區(qū)間上單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，得或；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則，，所以在區(qū)間上的最大值和最小值分別為.16.已知函數(shù).（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線的方程.（2）設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，再將點(diǎn)代入切線方程，求出，進(jìn)而求得切線方程.【小問(wèn)1詳解】，因此，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為，切線為過(guò)，所以整理得，從而斜率，所以切線的方程為.17.已知(1＋m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開(kāi)式中含有x項(xiàng)的系數(shù)為112.（1）求m，n的值；（2）求展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；（3）求(1＋m)n(1－x)的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．【答案】（1）m，n的值分別為2，8；（2）128；（3）1008.【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，求出n；由含有x項(xiàng)的系數(shù)為112，求出m；（2）直接求出即可；（3）利用二項(xiàng)展開(kāi)式直接求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?1＋m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，所以2n＝256，解得n＝8，∴二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴含x項(xiàng)的系數(shù)為，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分別為2，8.（2）展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.（3）∵，∴含x2項(xiàng)的系數(shù)為.18.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)單調(diào)性（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與的大小關(guān)系來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出最小值.小問(wèn)1詳解】首先求的導(dǎo)數(shù)，可得.然后分情況討論：當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成?所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，所以.此時(shí)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以.此時(shí)單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即，移項(xiàng)可得.因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以，得到恒成立.令，對(duì)求導(dǎo)，可得.令，對(duì)求導(dǎo)，可得.因?yàn)椋裕?可知在上單調(diào)遞增.那么，即在上恒成立.令，即，因?yàn)?，，所以的解?當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，，所以，解得，即在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，，所以，解得，即在上單調(diào)遞減