概率及統(tǒng)計(jì)的個(gè)人總結(jié)

隨機(jī)抽樣和樣本估計(jì)總體1.統(tǒng)計(jì)的基本概念(1)總體(2)個(gè)體(3)樣本．(4)樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫樣本容量．2．簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，(2)最常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有兩種和．抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法．(3)應(yīng)用范圍：總體個(gè)體數(shù)較少．3．分層抽樣(1)定義：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成的層，然后按照一定的，從各層獨(dú)立(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法．4.頻率分布表(2)頻率分布表的畫法步驟：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝；第二步：分組；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．5.頻率分布直方圖利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖．(1)作頻率分布直方圖的方法①先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系．②把橫軸分成若干段，每一線段對應(yīng)一個(gè)組的組距，然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形．③每個(gè)矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖．(2)頻率分布直方圖的特征①直方圖中各小長方形的面積之和為.②直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距×，即矩形的．③直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)．莖葉圖兩位數(shù)的莖葉圖，則莖為，莖按從小到大的順序從列出，共莖的葉為，一般按從小到大(或從大到小)的順序同行列出．莖葉圖的畫法步驟7．(1)條形圖；(2)折線圖；(3)扇形圖；8．樣本的數(shù)字特征：眾數(shù);、中位數(shù)、設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)=，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是，s2＝s＝標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)的特征數(shù)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差大時(shí)，反映數(shù)據(jù)；標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)，反映數(shù)據(jù)樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方．補(bǔ)充：平均數(shù)：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)(5)標(biāo)準(zhǔn)差和方差的一些結(jié)論若取值x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均值為eq\x\to(x)=；若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為，方差為.關(guān)于樣本方差的常用變形：s2＝補(bǔ)充：在頻率直方圖中，眾數(shù)為中位數(shù)平均數(shù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差可由分層抽樣的樣本均值及樣本方差計(jì)算設(shè)樣本中不同兩層，一層有n個(gè)x1，x2，…，xn，平均數(shù)及方差分別為eq\x\to(x)，seq\o\al(2,1)；另一層y1，y2，…，ym平均數(shù)及方差分別為，seq\o\al(2,2)，則這個(gè)樣本的平均值為=方差為s2＝更一般的有：多個(gè)分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，…，eq\x\to(x)n，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相應(yīng)的權(quán)重分別為w1，w2，…，wn，則這個(gè)樣本的平均值為eq\x\to(x)=方差為s2＝[seq\o\al(2,i)＋(eq\x\to(x)i－eq\x\to(x))2](eq\x\to(x)為樣本的平均數(shù))．公式推導(dǎo)：百分位數(shù)1．第p百分位數(shù)的定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．2．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟如下：第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的3．四分位數(shù)25%,50%,75%這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)．1．事件的相關(guān)概念頻數(shù)、頻率和概率3．事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的關(guān)系：包含關(guān)系及相等關(guān)系；互斥事件及對立事件；相互獨(dú)立事件甲、乙兩人破譯同一個(gè)密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)表示的含義是________________，事件“密碼被破譯”可表示為________________．對偶律：;4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(1)概率的取值范圍：.(2)必然事件的概率為.(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).如果A?B，那么P(A)P(B)．(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝說明：“事件A與事件B互斥”是P(A∪B)＝成立的條件(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝，P(eq\x\to(A))＝任意兩事件A與事件B，P(A∪B)＝對比集合中的個(gè)數(shù)計(jì)算公式：Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(AB)5．古典概型(1)特點(diǎn)：①有限性：在一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件．②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是均等的．(2)計(jì)算公式：P(A)＝.6．相互獨(dú)立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件有公式P(AB)=(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)是事件A，B相互獨(dú)立的條件對比：事件A，B互斥的充要條件1.條件概率一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．2.概率乘法公式對任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝＝為概率的乘法公式。公式總結(jié)：對于任意兩事件A,B有P(A∪B)＝當(dāng)事件A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝當(dāng)事件A，B獨(dú)立時(shí)，P(A∪B)＝=(利用對偶律轉(zhuǎn)化）對于任意兩事件A,B，則有P(AB)=當(dāng)事件A，B獨(dú)立時(shí)，則有P(AB)=3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝，我們稱該公式為全概率公式．貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝4．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②＝1(1)均值：稱E(X)＝為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)D(X)＝為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(D(X))為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．期望、方差的運(yùn)算性質(zhì)：E(aX+b)=D(aX+b)=期望與方差的關(guān)系：D(X)=四大分布1、超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))E(X)=n*M/N,D(X)＝(了解）2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～，并稱p為成功概率．3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝，D(X)＝．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝，D(X)＝．4．正態(tài)分布記作X～則E(X)＝，D(X)＝正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；③曲線在x＝處達(dá)到峰值；④曲線與x軸之間的面積為；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越，曲線越，表示總體的分布越；σ，曲線越，表示總體的分布越，如圖乙所示．特殊表達(dá)式的概率：正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.P(X≤μ)=，P(μ－3σ<X)=若P(X≤s)+P(X≤t)=1,則有s+t=2μ1．兩個(gè)變量的線性相關(guān)知識點(diǎn)一一元線性回歸模型稱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差，如果e＝0，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述．知識點(diǎn)二最小二乘法將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝不需要記，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).知識點(diǎn)三殘差與殘差分析1．殘差對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．2．殘差分析殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．知識點(diǎn)四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了兩個(gè)變量的關(guān)系．2．殘差平方和法殘差平方和(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越大，模型擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差(1)正相關(guān)(2)負(fù)相關(guān)(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線2．回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和的方法叫做最小二乘法．(2)回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up9(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do3(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))注意：樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上3．回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．(2)樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點(diǎn)的中心．其中eq\x\to(x)=，eq\x\to(y)=(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量．r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，均在直線y＝bx＋a(b>0)上，則兩個(gè)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)為在直線y＝bx＋a(b<0)上，則兩個(gè)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)為4．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．當(dāng)χ2>2.706時(shí)，判定變量A，B；推判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分理由判定變量A，B，故認(rèn)為A，B當(dāng)χ>3.841時(shí)，判定變量A，B；當(dāng)χ>6.635時(shí)，判定變量A，B．從上表可知值越小，臨界值越；當(dāng)接受變量A，B相互獨(dú)立時(shí)，也可能犯錯(cuò)誤，這類錯(cuò)誤大小，隨值越大，犯錯(cuò)誤的概率越精講06兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝種不同的方法．3．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對問題，各個(gè)步驟，只有各個(gè)步驟才算完成這件事．知識點(diǎn)一排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．知識點(diǎn)二排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號表示．知識點(diǎn)三排列數(shù)公式及全排列1．排列數(shù)公式的兩種形式(1)AEQ\*jc0\*hps10\o(\s\up9(m),n)＝=，其中m，n∈N*，并且m≤n.2．全排列：AEQ\*jc0\*hps10\o(\s\up9(n),n)＝(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。筋}型三排列處理排隊(duì)問題1.簡單問題直接法：2.特殊元素(特殊位置)優(yōu)先法，如元素的“在”與“不在”問題，解決時(shí)；3.相鄰問題捆綁法4.不相鄰問題插空法5.定序問題縮倍法（等概率問題縮倍法）先把所有的元素安排好，再縮小一定的倍數(shù).如甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全排列種數(shù)的eq\f(1,A\o\al(3,3)).1、組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號表示．2、組合數(shù)計(jì)算公式CEQ\*jc0\*hps10\o(\s\up9(m),n)==注意=