圓錐曲線中的圓問題（原卷版）

專題38圓錐曲線中的圓問題

【方法技巧與總結(jié)】

22

1、曲線「：5+5=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)尸的軌跡是圓：x2+y2=a2+b2.

ab

22

2、雙曲線=-==1（a>6>0）的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓f

ab

3、拋物線y2=2px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上.

4、證明四點(diǎn)共圓的方法：

方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓上，若能證明這一點(diǎn)，則

可肯定這四點(diǎn)共圓.

方法二：把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其

頂角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對的圓周角相等證）.

方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其中一個外角等于其內(nèi)對角時，

則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)

對角）.

方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂

線有交點(diǎn)），則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡為圓）.

【題型歸納目錄】

題型一：蒙日圓問題

題型二：內(nèi)圓與外圓問題

題型三：直徑為圓問題

題型四：四點(diǎn)共圓問題

【典例例題】

題型一：蒙日圓問題

例1.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題.

⑴已知動點(diǎn)尸為圓O:f+y2=/外一點(diǎn)，過尸引圓。的兩條切線必、必，A、3為切點(diǎn)，若麗?麗=0,

求動點(diǎn)尸的軌跡方程；

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⑵若動點(diǎn)。為橢圓”:方+卷=1外一點(diǎn)，過。引橢圓M的兩條切線QC、QD,C、。為切點(diǎn)，若

QCQD=Q,求出動點(diǎn)。的軌跡方程；

22

（3）在（2）問中若橢圓方程為3+2=1（。>6>0）,其余條件都不變，那么動點(diǎn)。的軌跡方程是什么（直

ab

接寫出答案即可，無需過程）.

例2.已知橢圓C:[+《=l（a>6>0）的一個焦點(diǎn)為（S',0）,離心率為0.

ab2

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（H）若動點(diǎn)尸（尤0,%）為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

例3.已知橢圓C：W+M=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡（-6，0）,鳥（6，0）,離心率為且.

ab3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動點(diǎn)尸（七,%）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)尸的軌跡方程；

（3）若過橢圓C上任意一點(diǎn)。的切線與（2）中所求點(diǎn)P的軌跡方程交于A,3兩點(diǎn)，求證:

\QM-\QB\^QFX\-\QF.\.

變式1.已知橢圓C:4+4=1（”>匕>。）的右焦點(diǎn)為（?，0）,離心率為好.

a2b-3

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動點(diǎn)尸（七,%）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

變式2.在學(xué)習(xí)過程中，我們通常遇到相似的問題.

（1）已知動點(diǎn)尸為圓O:/+y2=產(chǎn)外一點(diǎn)，過尸引圓O的兩條切線以、依.A、3為切點(diǎn)，若麗?麗=0,

求動點(diǎn)尸的軌跡方程；

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（2）若動點(diǎn)。為橢圓+'=l外一點(diǎn)，過。引橢圓M的兩條切線QC、QD.C、。為切點(diǎn)，若

ec2D=o,猜想動點(diǎn)。的軌跡是什么，請給出證明并求出動點(diǎn)。的軌跡方程.

變式3.設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)尸在無軸上，垂直x軸的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AE4B的

周長取最大值時，|AB|=U.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過圓D：f+y2=4上任意一點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線機(jī)、〃，直線"7、〃與圓。的另一交點(diǎn)分別為加、

N:

①證明：m±n；

②求AMZVP面積的最大值.

變式4.橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為半，并與直線y=x+2相切.

(I)求橢圓C的方程；

(II)如圖，過圓。:尤?+;/=4上任意一點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線沉，〃.求證：m±n.

22_________

變式5.給定橢圓C:0+當(dāng)=l(a>6>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為-始+福的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若

ab

橢圓C的一個焦點(diǎn)為/(6,0),其短軸上的一個端點(diǎn)到尸的距離為幾.

(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線4交”準(zhǔn)圓”于點(diǎn)〃，N.

①當(dāng)點(diǎn)尸為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時，求直線乙的方程并證明乙，4；

②求證：線段的長為定值.

題型二：內(nèi)圓與外圓問題

22

例4.已知橢圓=+馬=l(a>6>0)及圓。:尤2+丁=",過點(diǎn)3(0,°)與橢圓相切的直線入交圓o于點(diǎn)A,

a~b~

若ZAOB=60。，求橢圓的離心率.

例5.已知橢圓。：3+當(dāng)=1(。>6>0)和圓。:f+/="，G(T,。)，耳(1,0)分別是橢圓的左、右兩焦點(diǎn)，

ab

過耳且傾斜角為a(ce(0,1D的動直線/交橢圓C于A,3兩點(diǎn)，交圓O于尸，。兩點(diǎn)(如圖所示，點(diǎn)A在

x軸上方).當(dāng)夕=工時，弦尸。的長為舊.

(1)求圓O與橢圓C的方程；

(2)若A區(qū),BF2,AB依次成等差數(shù)列，求直線尸。的方程.

例6.如圖，已知橢圓C:1+與=l(a>6>0)和圓O:/+;/=尸(其中圓心。為原點(diǎn))，過橢圓C上異于

ab"

上、下頂點(diǎn)的一點(diǎn)P(x0,%)引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.

(1)求直線AB的方程；

(2)求三角形。4B面積的最大值.

變式6.如圖，橢圓C:：+馬=1(°>5>0)和圓。:尤2+/=凡已知橢圓。的離心率為其1,直線

ab3

缶-2y-遙=0與圓O相切.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)橢圓C的上頂點(diǎn)為3,￡F是圓O的一條直徑，￡F不與坐標(biāo)軸重合，直線BE、所與橢圓C的另

一個交點(diǎn)分別為P、Q,求ABPQ的面積的最大值及此時尸。所在的直線方程.

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變式7.已知橢圓C:=+Z=l(a>6>0)和圓O:/+y2=/,片(T,O),凡(1,0)分別是橢圓的左、右兩焦

ab

點(diǎn)，過耳且傾斜角為e(ae(0,—])的動直線/交橢圓C于A,3兩點(diǎn)，交圓O于尸，。兩點(diǎn)(如圖所示，點(diǎn)

A在x軸上方).當(dāng)c=?時，弦尸。的長為內(nèi).

(1)求圓O與橢圓C的方程；

(2)若2|也冒=|鉆|+|A5|,求直線尸。的方程.

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變式8.已知橢圓和圓。:/+；/=62,過橢圓上一點(diǎn)「引圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別

ab

為A,B.

(I)若圓O過橢圓的兩個焦點(diǎn)，求橢圓的離心率e的值；

b1

(II)設(shè)直線9與X、y軸分別交于點(diǎn)M,N,問當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動時，‘=+J是否為定值？請

'ON2OM2

證明你的結(jié)論.

變式9.已知橢圓C:=+與=1(°>6>0),其右焦點(diǎn)為爪白，0),點(diǎn)“在圓/+尸=從上但不在》軸上,

ab

過點(diǎn)M作圓的切線交橢圓于P,。兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在X軸上時，|「。|=若.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時，試探究AFPQ周長的取值范圍.

題型三：直徑為圓問題

尤2V2

例7.已知橢圓C:=十斗=l(a＞，＞0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),上下頂點(diǎn)分別為尾，B,,以點(diǎn)尸為圓心理為

ab

半徑作圓，與X軸交于點(diǎn)7(3,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)P(2,0),點(diǎn)A,3為橢圓C上異于點(diǎn)尸且關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，直線P4,依與y軸分別交

于點(diǎn)A1,N,記以MN為直徑的圓為OK,試判斷是否存在直線/截0K的弦長為定值，若存在請求出該

直線的方程，若不存在，請說明理由.

例8.已知動圓。過定點(diǎn)7(2,0),且與y軸截得的弦長為4,設(shè)動圓圓心。的軌跡為C.

(1)求軌跡。的方程.

(2)設(shè)尸(1,2)，過尸(1,0)作不與尤軸垂直的直線/交軌跡C于A,3兩點(diǎn)，直線R4,PB分別與直線x=-l

相交于O,E兩點(diǎn)，以線段上為直徑的圓為G.判斷點(diǎn)尸與圓G的位置關(guān)系，并說明理由.

例9.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過P的直線/與拋物線C交于A,3兩點(diǎn)，過A,3分別向拋物

線的準(zhǔn)線作垂線，設(shè)交點(diǎn)分別為〃，N,R為準(zhǔn)線上一點(diǎn).

(I)若ARUFN,求出國的值；

\MN\

(II)若點(diǎn)R為線段跖V的中點(diǎn)，設(shè)以線段為直徑的圓為圓E,判斷點(diǎn)R與圓E的位置關(guān)系.

變式10.已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)”(1,2),它們在x軸上有共同焦點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂

點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求拋物線和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知動直線機(jī)過點(diǎn)尸(3,0),交拋物線于A,3兩點(diǎn)，記以線段"為直徑的圓為圓C,求證：存在垂

直于x軸的直線/被圓C截得的弦長為定值，并求出直線/的方程.

22

變式11.已知橢圓C:=+與=1(。＞匕＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，B，動直線/過F，且與橢圓C相交于A，

ab

B兩點(diǎn),且|4月|+|3月|的最大值為

(1)求橢圓C的離心率；

(2)如圖，已知尸(%,%)(%*0)為拋物線￡:/=4約上一點(diǎn)，廣為拋物線E在點(diǎn)P處的切線，1與橢

圓C有兩個不同的交點(diǎn)N,當(dāng)以為直徑的圓過原點(diǎn)。時，求色.

%

22

變式12.已知尸「工分別為橢圓￡:3+《=1的左、右焦點(diǎn)，過《的直線/交橢圓E于A、B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)直線/垂直于x軸時，求弦長|AB|；

(2)當(dāng)次?礪=-2時，求直線/的方程；

(3)記橢圓的右頂點(diǎn)為T,直線AT、3T分別交直線x=6于C、。兩點(diǎn)，求證：以CD為直徑的圓恒過

定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

變式13.已知動圓加與圓A:(x+&V+y2=4及圓8:(x-石＞+y2=4中的一個外切，另一個內(nèi)切.

(I)求動圓圓心M的軌跡C的方程；

(II)若直線/與軌跡C相交于P、。兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過軌跡C與x軸正半軸的交點(diǎn)D,證

明直線/經(jīng)過一個不在軌跡C上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

變式14.如圖，已知橢圓C:=+丁其左、右焦點(diǎn)分別為冗，F(xiàn)2,過右焦點(diǎn)弱且垂直于x軸的

a

直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)P,且sinNP￡F,=L

123

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)S(0,-g)且斜率為左的動直線/交橢圓于A,3兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)使以AB為直徑

的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

題型四：四點(diǎn)共圓問題

Y2V2LA/2

例10.已知橢圓C：F+與=1(。＞6＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A(-&,0),且禺心率為L.

ab2

(1)求C的方程；

(2)直線y=fcv(人力0)交C于E,尸兩點(diǎn)，直線AE,AF分別與y軸交于點(diǎn)M,N,求證：M,F,,N,

B四點(diǎn)共圓.

例11.已知橢圓。:=+丁=1（。>0）的右頂點(diǎn)為點(diǎn)4,直線/交C于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)四邊

a

/7T

形AMON為菱形時，其面積為生.

2

（1）求C的方程；

（2）若NM4N=90。，是否存在直線/,使得A,M,O,N四點(diǎn)共圓？若存在，求出直線/的方程，若

不存在，請說明理由.

22

例12.已知橢圓C:工=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F、，F(xiàn),,左頂點(diǎn)為A（-272,0）,且過點(diǎn)（壺,布）.

ab~

（1）求C的方程；

（2）過原點(diǎn)。且與x軸不重合的直線交C于E,P兩點(diǎn)，直線花，AF分別與y軸交于點(diǎn)"，N,求證:

M,K，N,乙四點(diǎn)共圓.

變式15.已知雙曲線C:2f一丁=2與點(diǎn)p（］,2）.

（1）是否存在過點(diǎn)尸的弦他，使得他的中點(diǎn)為尸；

（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，證明：A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

變式16.已知拋物線C:y2=2px（p>0）,A是C上位于第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，它到點(diǎn)2（3,0）距離的最小值為

2應(yīng).直線鉆與C交于另一點(diǎn)。，線段AD的垂直平分線交C于E,F兩點(diǎn).

（1）求p的值；

（2）若中|AB|=2夜，證明A,D,E,尸四點(diǎn)共圓，并求該圓的方程.

22

變式17.已知橢圓石:r三+=v=1伍〉?！?）的離心率為1L且經(jīng)過點(diǎn)（-1」3）.

ab22

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)3為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的動點(diǎn)，直線/:x=f（f>a）

交x軸于點(diǎn)尸，直線尸3交橢圓E于另一點(diǎn)C,直線54和C4分別交直線/于點(diǎn)〃和N,若。、A、M、

N四點(diǎn)共圓，求f的值.

22_

變式18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，雙曲線C:當(dāng)-3=1（。>0力>。）的離心率為四，實軸長為4.

（1）求C的方程；

（2）如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線/過點(diǎn)尸（0,。且垂直于y軸（P位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過P的直

線交C于G,H兩點(diǎn),直線AG,A"分別與/交于N兩點(diǎn)，若O,A,N,M四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的

坐標(biāo)

2，

變式19.橢圓￡:r^+今V=1（。>6>0）的離心率為1上,右頂點(diǎn)為A,設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)3為橢圓E上

a2b22

異于左、右頂點(diǎn)的動點(diǎn)，△。鉆面積的最大值為A/L

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/:x=f交x軸于點(diǎn)P,其中f>a,直