第31講 概率 2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（廣東專用）

第八章統(tǒng)計(jì)與概率第31講概率（3~7分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一概率的相關(guān)概念考點(diǎn)二概率的計(jì)算方法04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一:概率的相關(guān)概念?題型01事件的分類?題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小?題型03理解概率的意義?題型04判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系命題點(diǎn)二：概率的計(jì)算方法?題型01根據(jù)概率公式計(jì)算概率?題型02根據(jù)概率作判斷?題型03已知概率求數(shù)量?題型04列舉法求概率?題型05畫樹狀圖法/列表法求概率?題型06幾何概率?題型07由頻率估計(jì)概率?題型08概率的應(yīng)用?題型09概率與統(tǒng)計(jì)綜合05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測(cè)概率的相關(guān)概念能通過(guò)列表、畫樹狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機(jī)事件的概率.知道通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率.10年7考概率問題在中考數(shù)學(xué)中的考察難度在中檔以下，年年都會(huì)考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為7分左右，預(yù)計(jì)2025年廣東中考還將出現(xiàn).該專題考題的類型也比較的固定，單獨(dú)考察時(shí)，通常作為選擇或者填空題，考概率的基本定義和簡(jiǎn)單計(jì)算;綜合考察時(shí)會(huì)和統(tǒng)計(jì)圖表類問題結(jié)合，作為最后一問，考察概率的樹狀圖或者列表分析.因?yàn)檎w難度較小概率的計(jì)算方法10年連續(xù)考查考點(diǎn)一概率的相關(guān)概念1.概率的定義及計(jì)算公式概率的定義：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱之為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A).概率的意義：一個(gè)事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定的數(shù),它從數(shù)值上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.概率公式：P(隨機(jī)事件)=.2.確定事件與隨機(jī)事件定義事件發(fā)生的概率確定事件必然

事件在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件。P(必然事件)=1不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件。P(不可能事件)=0不確定事件（隨機(jī)事件）在一定條件下，許多事情我們無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不確定事件（又叫隨機(jī)事件）。0＜P(隨機(jī)事件)＜1考點(diǎn)二概率的計(jì)算方法公式法P（A）=，其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù)．列舉法在一次試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，我們可通過(guò)列舉試驗(yàn)結(jié)果的方法，分析出隨機(jī)事件發(fā)生的概率，這種方法稱為列舉法.【注意事項(xiàng)】1）直接列舉試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，要有一定的順序性，保證結(jié)果不重不漏.2）用列舉法求概率的前提有兩個(gè)：①所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)②每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.3）所求概率是一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)，一般用分?jǐn)?shù)表示.畫樹狀圖法當(dāng)事件中涉及兩個(gè)以上的因素時(shí)，用樹狀圖的形式不重不漏地列出所有可能的結(jié)果的方法叫畫樹狀圖法.畫樹狀圖法求概率的步驟：1)明確試驗(yàn)由幾個(gè)步驟組成；2)畫樹狀圖分步列舉出試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果；3)根據(jù)樹狀圖求出所關(guān)注事件包含的結(jié)果數(shù)及所有等可能的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解.列表法當(dāng)事件中涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，用表格不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，這種方法叫列表法.列表法求概率的步驟：1）列表，并將所有可能結(jié)果有規(guī)律地填人表格；2）通過(guò)表格計(jì)數(shù)，確定所有等可能的結(jié)果數(shù)n和符合條件的結(jié)果數(shù)m的值；3）利用概率公式，計(jì)算出事件的概率．用頻率估計(jì)概率的方法通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)該事件發(fā)生的概率.適用范圍：當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率．11.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素或一個(gè)因素做兩次試驗(yàn)并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通?？梢圆捎昧斜矸?，也可以用樹狀圖法.當(dāng)試驗(yàn)包含三步或三步以上時(shí)，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.2.概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，且隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確.命題點(diǎn)一:概率的相關(guān)概念?題型01事件的分類1．（2025·上海寶山·模擬預(yù)測(cè)）下列事件為必然事件的是（

）A．某著名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心B．班級(jí)里有同年同月同日出生的同學(xué)C．從裝滿紅球的袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是白球D．長(zhǎng)度為9、40、41的三條線段可以組成一個(gè)直角三角形【答案】D【分析】本題考查了事件的分類，準(zhǔn)確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念是解題的關(guān)鍵：必然事件是指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；隨機(jī)事件，即不確定事件，是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念及事件發(fā)生的可能性大小進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.某著名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合題意；B.班級(jí)里有同年同月同日出生的同學(xué)，是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合題意；C.從裝滿紅球的袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是白球，是不可能事件，故選項(xiàng)不符合題意；D.，長(zhǎng)度為9、40、41的三條線段可以組成一個(gè)直角三角形，是必然事件，故選項(xiàng)符合題意；故選：．2．（2025·湖北黃石·一模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)S一枚正方體骰子，偶數(shù)朝上這一事件是隨機(jī)事件B．“在平面上任意畫一個(gè)六邊形，其內(nèi)角和為”這一事件是必然事件C．在單詞（數(shù)學(xué)）中任意選擇一個(gè)字母為m的概率為D．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)明天的降水概率是，則明天一定會(huì)下雨【答案】D【分析】本題考查了事件的分類，多邊形內(nèi)角和，概率等知識(shí)，掌握隨機(jī)事件，必然事件的概念是解題的關(guān)鍵．必然事件：在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件；不可能事件：一定不會(huì)發(fā)生的事件；隨機(jī)事件：介于必然事件和不可能事件之間，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；由此即可求解．【詳解】解：A、擲一枚正方體骰子，偶數(shù)朝上這一事件是隨機(jī)事件，正確，不符合題意；B、“在平面上任意畫一個(gè)六邊形，其內(nèi)角和為”這一事件是必然事件，正確，不符合題意；C、在單詞（數(shù)學(xué)）中任意選擇一個(gè)字母為m的概率為，正確，不符合題意；D、天氣預(yù)報(bào)說(shuō)明天的降水概率是，則明天不一定會(huì)下雨，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．3．（2024·遼寧撫順·二模）下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．任意畫一個(gè)三角形，其外角和是B．打開電視，正在播放跳水比賽C．經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)的路口時(shí)遇見綠燈D．若，則【答案】A【分析】本題考查了必然事件，掌握三角形的外角和定理、不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)必然事件的定義逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：、任意畫一個(gè)三角形，其外角和是，是必然事件，該選項(xiàng)符合題意；、打開電視，正在播放跳水比賽，是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)不合題意；、經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)的路口時(shí)遇見綠燈，是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)不合題意；、若，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則，∴該選項(xiàng)事件是隨機(jī)事件，不合題意；故選：．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）有兩個(gè)事件，事件（1）：隨意翻到一本書的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼是奇數(shù)；事件（2）：通常溫度降到以下，純凈的水結(jié)冰．下列判斷正確的是（

）A．（1）（2）都是隨機(jī)事件 B．（1）（2）都是必然事件C．（1）是必然事件，（2）是隨機(jī)事件 D．（1）是隨機(jī)事件，（2）是必然事件【答案】D【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．依據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：事件（1）是隨機(jī)事件；事件（2）是必然事件；故選：D．?題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在學(xué)?？萍夹麄骰顒?dòng)中，某科技活動(dòng)小組將5個(gè)標(biāo)有“北斗”，2個(gè)標(biāo)有“天眼”，3個(gè)標(biāo)有“高鐵”的小球（除標(biāo)記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，并對(duì)小球標(biāo)記的內(nèi)容進(jìn)行介紹，下列敘述正確的是（）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大C．摸出“高鐵”小球的可能性最大 D．摸出三種小球的可能性相同【答案】A【分析】本題考查的是可能性的大小，根據(jù)題意求出摸出各種小球的概率是解題的關(guān)鍵．分別求出摸出三種小球的概率，再比較大小即可．【詳解】解：有5個(gè)標(biāo)有“北斗”，2個(gè)標(biāo)有“天眼”，3個(gè)標(biāo)有“高鐵”的小球，小紅從盒中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，摸出標(biāo)有“北斗”的概率是；摸出標(biāo)有“天眼”的概率是；摸出標(biāo)有“高鐵”的概率是，，摸出標(biāo)有“北斗”小球的可能性最大．故選：A．6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）小武在一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4．有以下兩種說(shuō)法：①摸出的小球標(biāo)號(hào)都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的小球雖然是隨機(jī)的，但可能性不一樣．則（）A．只有說(shuō)法①正確 B．只有說(shuō)法①錯(cuò)誤C．說(shuō)法①②都正確 D．說(shuō)法①②都錯(cuò)誤【答案】D【分析】本題考查的是可能性的大小及隨機(jī)事件，根據(jù)可能性大小的定義解答即可，熟知隨機(jī)事件與必然事件的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四個(gè)小球分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，摸出的小球標(biāo)號(hào)都小于4是不可能事件，故①錯(cuò)誤；∵每個(gè)標(biāo)號(hào)只有一個(gè)小球，∴摸一次球，摸出標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的小球是隨機(jī)的，可能性一樣，故②錯(cuò)誤，故選：D．7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近B．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)每天下雪的概率是，所以明天將有一半的時(shí)間在下雪C．彩票中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)是，買張一定會(huì)中獎(jiǎng)D．“從一個(gè)只有紅球的袋子里摸出白球”是隨機(jī)事件【答案】A【分析】本題考查隨機(jī)事件、概率的意義，掌握隨機(jī)事件和概率的意義是正確判斷的前提．根據(jù)隨機(jī)事件和概率的意義依次判斷即可．【詳解】解：A.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近，說(shuō)法正確；B.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)每天下雪的概率是，所以明天將有一半可能下雪，原說(shuō)法錯(cuò)誤；C.彩票中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)是，買張不一定會(huì)中獎(jiǎng)，原說(shuō)法錯(cuò)誤；D.“從一個(gè)只有紅球的袋子里摸出白球”是不可能事件，原說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：A．8．（2024·貴州黔東南·二模）盒子里有10張卡片（除卡片正面上的圖片不一樣，其他都一樣），其中有6張卡片上印有黃果樹瀑布，3張卡片上印有梵凈山，1張卡片上印有西江千戶苗寨．小星從中隨機(jī)摸出一張卡片，準(zhǔn)備去卡片上的地方游玩，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．一定會(huì)去梵凈山 B．去黃果樹瀑布的可能性最大C．不可能去西江千戶苗寨 D．去三個(gè)地方的可能性一樣【答案】B【分析】本題考查的是可能性的大小，根據(jù)概率公式求解即可得出答案．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．根據(jù)題意有的可能去梵凈山，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；．去黃果樹瀑布的可能性是，去梵凈山的可能性是，去西江千戶苗寨的可能性是，所以去黃果樹瀑布的可能性最大，說(shuō)法正確，故該選項(xiàng)符合題意；．有的可能性去西江千戶苗寨，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；．由B可知去三個(gè)地方的可能性不一樣，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．?題型03理解概率的意義9．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在一次摸球游戲中，規(guī)定：連續(xù)摸到2個(gè)相同顏色的小球即為勝利，且每人只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)．小星和小紅一起參加游戲，兩人輪流從不透明的箱子里摸出一個(gè)小球（不放回），小星先摸．現(xiàn)已知箱子里有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列推斷正確的是（

）A．一定是小星獲勝B．若第一輪兩人都摸到了白球，則一定是小星獲勝C．一定是小紅獲勝D．若第一輪兩人都摸到了紅球，則一定是小紅獲勝【答案】B【分析】本題考查了概率的定義，列舉法等知識(shí)，結(jié)合選項(xiàng)，利用排除法求解即可．【詳解】假設(shè)兩人第一次都摸到紅球，若第二次小星摸到紅球，小紅摸到白球，則小星獲勝；若第二次小星摸到白球，小紅摸到紅球，則小紅獲勝；故A、C都不正確；若第一輪兩人都摸到了白球，剩下只能是紅球，因?yàn)樾⌒窍让?，則小星先摸到2個(gè)紅球，所以一定是小星獲勝，故B正確；若第一輪兩人都摸到了紅球，剩下4球?yàn)閮蓚€(gè)紅球，兩個(gè)白球，假設(shè)兩人第三次都摸到紅球，若第四次小星摸到紅球，小紅摸到白球，則小星獲勝；若第四次小星摸到白球，小紅摸到紅球，則小紅獲勝；故D不正確．故選：B．10．（2024·貴州黔南·一模）若天氣預(yù)報(bào)顯示“明天降水概率為”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．明天將有的時(shí)間下雨 B．明天將有的地區(qū)下雨C．明天下雨的可能性較小 D．明天下雨的可能性較大【答案】D【分析】本題考查了概率的意義及應(yīng)用，根據(jù)概率反映隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小，即可進(jìn)行解答，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：明天的降水概率為表示明天下雨的可能性較大．故選：D．11．（2024·貴州·中考真題）小星同學(xué)通過(guò)大量重復(fù)的定點(diǎn)投籃練習(xí)，用頻率估計(jì)他投中的概率為0.4，下列說(shuō)法正確的是（

）A．小星定點(diǎn)投籃1次，不一定能投中 B．小星定點(diǎn)投籃1次，一定可以投中C．小星定點(diǎn)投籃10次，一定投中4次 D．小星定點(diǎn)投籃4次，一定投中1次【答案】A【分析】本題主要考查了概率的意義，概率是反映事件發(fā)生機(jī)會(huì)的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會(huì)的大小，機(jī)會(huì)大也不一定發(fā)生，據(jù)此求解即可．【詳解】解：小星同學(xué)通過(guò)大量重復(fù)的定點(diǎn)投籃練習(xí)，用頻率估計(jì)他投中的概率為0.4，則由概率的意義可知，小星定點(diǎn)投籃1次，不一定能投中，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小星定點(diǎn)投籃10次，不一定投中4次，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小星定點(diǎn)投籃4次，不一定投中1次，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選；A．12．（2024·湖南常德·一模）“明天下雨的概率為”，下列對(duì)這句話的理解正確的是（

）A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨C．明天80%的地方下雨 D．明天下雨的可能性很大【答案】D【分析】本題考查概率的意義，解題的關(guān)鍵是理解概率表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大?。嚎赡馨l(fā)生，也可能不發(fā)生．據(jù)此可得答案．【詳解】解：“明天下雨的概率為”，說(shuō)明明天下雨的可能性比較大．∴選項(xiàng)D符合題意．故選：D．?題型04判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系13．（2023·江蘇常州·一模）在個(gè)相同的袋子中，裝有除顏色外完全相同的個(gè)球，任意摸出個(gè)球，摸到紅球可能性最大的是（

）A．個(gè)紅球，個(gè)白球 B．個(gè)紅球，個(gè)白球C．個(gè)紅球，個(gè)白球 D．個(gè)紅球，個(gè)白球【答案】D【分析】根據(jù)概率的計(jì)算方法，比較概率的大小即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，個(gè)紅球，個(gè)白球，摸到紅球的概率為；選項(xiàng)，個(gè)紅球，個(gè)白球，到紅球的概率為；選項(xiàng)，個(gè)紅球，個(gè)白球，到紅球的概率為；選項(xiàng)，個(gè)紅球，個(gè)白球，到紅球的概率為；∵，∴摸到紅球可能性最大的是“個(gè)紅球，個(gè)白球”，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算，掌握概率的計(jì)算方法，比較概率大小的方法是解題的關(guān)鍵．14．（2023·福建泉州·一模）一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，它們除顏色不同外其它都相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則下列敘述正確的是（

）A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件C．摸到紅球與摸到白球的可能性相等 D．摸到紅球比摸到白球的可能性大【答案】A【分析】不可能事件是概率論中把在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件，人們通常用來(lái)表示不可能事件發(fā)生的可能性；必然事件，在一定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，有的事件在每次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件叫必然發(fā)生的事件，簡(jiǎn)稱必然事件，必然事件發(fā)生的概率為，但概率為的事件不一定為必然事件，根據(jù)隨機(jī)事件的分類及概率的計(jì)算即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合題意；選項(xiàng)，裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，可能摸到白球，也可能摸到紅球，是隨機(jī)事件，不符合題意；選項(xiàng)，裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，摸到紅球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合題意；選項(xiàng)，裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，摸到紅球的概率小于摸到白球的概率，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)事件及概率，理解隨機(jī)事件的分類，概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．15．（2021·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的口袋中裝有四個(gè)相同的小球，它們分別標(biāo)號(hào)為，，，．從中同時(shí)摸出兩個(gè)，則下列事件為隨機(jī)事件的是（

）A．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于 B．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于C．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于 D．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于【答案】C【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于是不可能事件，不合題意；B．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于是必然事件，不合題意；C．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于是隨機(jī)事件，符合題意；D．兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于是不可能事件，不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件，理解概念并運(yùn)用概念解決實(shí)際問題．16．（2021·湖北武漢·中考真題）下列事件中是必然事件的是（

）A．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上B．隨意翻到一本書的某頁(yè)，這一頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)C．打開電視機(jī)，正在播放廣告D．從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．【詳解】解：A、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上是隨機(jī)事件；B、隨意翻到一本書的某頁(yè)，這一頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)，是隨機(jī)事件；C、打開電視機(jī)，正在播放廣告，是隨機(jī)事件；D、從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)，是必然事件．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，掌握三種事件的區(qū)別與聯(lián)系成為解答本題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)二：概率的計(jì)算方法?題型01根據(jù)概率公式計(jì)算概率17．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）將，，0，，這5個(gè)數(shù)分別寫在5張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，任取一張，取到無(wú)理數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了概率公式，無(wú)理數(shù)，有理數(shù)的概念，找出無(wú)理數(shù)，再由概率公式求解即可．【詳解】解：，，0，，這5個(gè)數(shù)中，，0，是有理數(shù)，，為無(wú)理數(shù)，任取一張，取到無(wú)理數(shù)的概率是，故選：C．18．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)老師要在班上開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，他將全班同學(xué)分成7個(gè)學(xué)習(xí)小組并采用隨機(jī)抽簽方法確定一個(gè)小組進(jìn)行展示活動(dòng)，則第4個(gè)小組被抽到的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了概率的知識(shí)．根據(jù)概率是所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，可得答案．【詳解】解：隨機(jī)抽取一個(gè)小組，共有種等可能結(jié)果，抽到第4個(gè)小組的有種結(jié)果，∴概率為，故選：C．19．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）在單詞(概率)中任意選擇一個(gè)字母，選中字母“i”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查用概率公式求概率，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率．總共有11個(gè)字母，求出字母i的個(gè)數(shù)，利用概率公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：該單詞總共有11個(gè)字母，字母i出現(xiàn)兩次，則選中字母“i”的概率為，故選：B．20．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）卯兔追冬去，辰龍報(bào)春來(lái)．中央廣播電視總臺(tái)《2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)》以“龍行龘龘，欣欣家國(guó)”為主題．將分別印有“龍”“行”“龘”“龘”四張質(zhì)地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機(jī)抽取一張不放回，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，則抽取的兩張卡片上恰有兩張印有漢字“龘”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．解題時(shí)要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)，以及概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到共有12個(gè)等可能的結(jié)果，抽取完兩張卡片后，恰有兩張印有漢字“龘”的結(jié)果有2個(gè)，再由概率公式求解，即可解題．【詳解】解：解：把“龘”“龍”“行”分別記為A、B、C，畫樹狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，抽取完兩張卡片后，恰有兩張印有漢字“龘”的結(jié)果有2個(gè)，抽取完兩張卡片后，恰有兩張印有漢字“龘”的概率為．故選：D．?題型02根據(jù)概率作判斷21．（2022·北京昌平·模擬預(yù)測(cè)）電腦上有一個(gè)有趣的“掃雷”游戲，圖是掃雷游戲的一部分，說(shuō)明：圖中數(shù)字2表示在以該數(shù)字為中心的周邊8個(gè)方格中有2個(gè)地雷，小旗表示該方格已被探明有地雷，現(xiàn)在還剩下A、B、C三個(gè)方格未被探明，其它地方為安全區(qū)（包括有數(shù)字的方格），則A、B、C三個(gè)方格中有地雷的概率最大的方格是（

）A．A B．B C．C D．無(wú)法確定【答案】A【分析】根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)B、C中只有一個(gè)地雷，所以知道A必為雷，則可得到答案．【詳解】解：由圖形及題意可知：B、C中只有一個(gè)有地雷，所以A必定有地雷，所以A、B、C三個(gè)方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率為1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．22．（2023·浙江紹興·三模）有9個(gè)形狀大小相同的小球，其中一個(gè)略重些，其余8個(gè)重量相同．現(xiàn)給你一架天平，能將那個(gè)略重些的小球找到，則至少需要天平的次數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】可采取把9個(gè)球三三組合，共分成3個(gè)組去稱，用天平每次稱兩組，則：二二選一，兩次即可．【詳解】解：把9個(gè)小球，三三組合，則可以分成3組，用天平去稱，第一次稱兩組：①若天平平衡，則重球在第三組，第二次稱第三組其中的兩個(gè)球，若天平平衡，則重球就是第三個(gè)，若不平衡，重的一邊就是重球；②若天平不平衡，則重球在重的一邊，第二次稱重的一邊三個(gè)球中的兩個(gè)，若平衡，第三個(gè)就是重球，若不平衡，重的一邊就是重球．綜上所述，至少需要天平的次數(shù)是2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二分法的應(yīng)用，理解二分法是解答關(guān)鍵．23．（2021·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑球，它們除顏色外其它均相同，現(xiàn)添加1個(gè)同種型號(hào)的球，使得從中隨機(jī)抽取1個(gè)球，這三種顏色的球被抽到的概率都是，則添加的球是（

）A．紅球 B．白球 C．黑球 D．任意顏色【答案】C【分析】首先根據(jù)概率求法，即可判定出添加的球使所有小球個(gè)數(shù)相同，即可得出答案．【詳解】解：∵這三種顏色的球被抽到的概率都是，∴這三種顏色的球的個(gè)數(shù)相等，∴添加的球是黑球，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是掌握概率求法．24．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）一個(gè)密碼箱的密碼，每個(gè)位數(shù)上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù)，若要使不知道密碼的一次就撥對(duì)密碼的概率小于，則密碼的位數(shù)至少需要（

）位．A．3位 B．2位 C．9位 D．10位【答案】A【分析】分別求出取一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率，再根據(jù)小于所在的范圍解答即可．【詳解】解：因?yàn)槿∫晃粩?shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為，取兩位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為，取三位數(shù)時(shí)一次就撥對(duì)密碼的概率為，故密碼的位數(shù)至少需要3位．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法為：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．?題型03已知概率求數(shù)量25．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）某生物學(xué)家想通過(guò)隨機(jī)抽取的方式來(lái)估計(jì)50只小白鼠中雄鼠的個(gè)數(shù)，這些小白鼠被抓取后能夠清晰地判斷性別．將小白鼠隨機(jī)放置在實(shí)驗(yàn)箱后，從中隨機(jī)抽出一只小白鼠，記下它的性別后再放回實(shí)驗(yàn)箱中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，通過(guò)大量重復(fù)的試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)抽到雌鼠的頻率穩(wěn)定在0.4，則實(shí)驗(yàn)箱中雄鼠的個(gè)數(shù)約為（

）A．25 B．30 C．20 D．35【答案】B【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．利用頻率估計(jì)概率可估計(jì)實(shí)驗(yàn)箱中雄鼠的概率，然后求出實(shí)驗(yàn)箱中雄鼠的個(gè)數(shù)．【詳解】解：由題意可得，發(fā)現(xiàn)抽到雌鼠的頻率穩(wěn)定在0.4，則實(shí)驗(yàn)箱中雄鼠的個(gè)數(shù)約為：．故選：B．26．（2023·廣東佛山·二模）一個(gè)布袋里裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和個(gè)黃球，這些球除顏色外其余都相同，若從布袋里任意摸出1個(gè)球是紅球的概率為，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用概率公式求出布袋里球的總數(shù)，即可求出黃球的個(gè)數(shù)．【詳解】∵布袋里裝有2個(gè)紅球，這些球除顏色外其余都相同，若從布袋里任意摸出1個(gè)球是紅球的概率為，∴布袋里一共有8個(gè)球，∴黃球的個(gè)數(shù)為：，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等可能情形下的概率計(jì)算，能夠根據(jù)概率公式準(zhǔn)確地求出布袋里球的總數(shù)是解題的關(guān)鍵．27．（2023·廣東佛山·一模）木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有（

）A．18張 B．12張 C．6張 D．10張【答案】B【分析】先由頻率估計(jì)出概率，然后設(shè)木箱中藍(lán)色卡片x張，根據(jù)概率公式列出方程，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有x張，∵經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在附近，∴摸到藍(lán)色卡片的概率為，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有12張，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值是解題的關(guān)鍵．28．（2023·廣東佛山·一模）一個(gè)盒子里裝有僅顏色不同的10張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從盒子里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在附近，則估計(jì)盒子中藍(lán)色卡片有（

）A．50張 B．40張 C．36張 D．30張【答案】B【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率，然后根據(jù)概率公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)盒子中藍(lán)色卡片張，根據(jù)題意可得，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)原方程的解，則估計(jì)盒子中藍(lán)色卡片有張；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．?題型04列舉法求概率29．（2025·廣東揭陽(yáng)·一模）生物的性狀由遺傳因子決定，決定顯性性狀的為顯性遺傳因子，用大寫字母（如）表示，決定隱性性狀的為隱性遺傳因子，用小寫字母（如）表示，當(dāng)和結(jié)合在一起時(shí)無(wú)法表達(dá)性狀，僅表現(xiàn)顯性性狀．例如某高莖豌豆（）和矮莖豌豆（）雜交，高莖豌豆的和分離，矮莖豌豆和也分離，然后高莖豌豆的遺傳因子和矮莖豌豆的遺傳因子自由結(jié)合，理論上后代中和的比例為．現(xiàn)在有高莖黃色豌豆（）和高莖黃色豌豆（）雜交，其中后代中為的性狀為綠色，且、和、遺傳因子相互獨(dú)立互不影響，則理論上后代出現(xiàn)高莖綠色豌豆的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解答本題的關(guān)鍵．先列表求出所有等可能的結(jié)果，再找出高莖豌豆可能的結(jié)果種數(shù)，最后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：列表格如下：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）共有種等可能的結(jié)果，其中后代出現(xiàn)高莖綠色豌豆的有種，所以理論上后代出現(xiàn)高莖綠色豌豆的概率為，故選：B．30．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某社區(qū)開展“垃圾分類、倡文明”志愿服務(wù)活動(dòng)．小剛、小強(qiáng)計(jì)劃利用寒假?gòu)募?，乙，丙，丁四個(gè)志愿服務(wù)隊(duì)中，隨機(jī)選擇一個(gè)參加志愿服務(wù)活動(dòng)，則兩人恰好選到同一個(gè)服務(wù)隊(duì)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：畫出樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好選擇同一個(gè)服務(wù)隊(duì)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：列表如圖：甲乙丙丁甲（甲，甲）（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（乙，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丙，丙）（丁，丙）?。?，?。ㄒ?，?。ū?，?。ǘ?，?。┕灿?6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人恰好選擇同一個(gè)服務(wù)隊(duì)的結(jié)果數(shù)為4種，小剛、小強(qiáng)恰好選到同一隊(duì)的概率是，故選C．31．（2024·廣東汕頭·二模）小明、小紅、小剛3位同學(xué)合影留念，3人隨機(jī)站成一排，那么小明、小剛兩人恰好相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列舉法求概率，由題意可得出所有等可能的結(jié)果以及小明、小剛兩人恰好相鄰的結(jié)果，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：將小明、小紅、小剛3位同學(xué)分別記為，，，3人隨機(jī)站成一排，所有等可能的結(jié)果有：，，，，，，共6種，其中小明、小剛兩人恰好相鄰的結(jié)果有：，，，，共4種，小明、小剛兩人恰好相鄰的概率為．故選：C．32．（2024·廣東汕頭·二模）學(xué)習(xí)電學(xué)知識(shí)后，李紅同學(xué)用四個(gè)開關(guān)A、B、C、D，一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖，現(xiàn)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：列表如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，即、、、、、，∴小燈泡發(fā)光的概率為，故選：B．?題型05畫樹狀圖法/列表法求概率33．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）文房四寶是我國(guó)傳統(tǒng)文化中的文書工具，即筆、墨、紙、硯．某禮品店將傳統(tǒng)與現(xiàn)代相結(jié)合，推出文房四寶盲盒，盲盒外觀和重量完全相同，內(nèi)含對(duì)應(yīng)文房四寶之一的卡片．若從一套四個(gè)盲盒（筆墨紙硯盲盒各一個(gè)）機(jī)選兩個(gè)，則恰好抽中筆和紙的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了畫樹狀圖法求概率，正確畫圖解題的關(guān)鍵．畫出樹狀圖，用符合情況的情況數(shù)除以等可能發(fā)生的情況數(shù)即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：一共有12種等可能性，其中恰好抽中內(nèi)含紙和筆的可能性有2種，故恰好抽中紙和筆的盲盒的概率是，故選：A．34．（2024·廣東汕尾·模擬預(yù)測(cè)）將分別標(biāo)有“善”、“行”、“日”、“照”四個(gè)漢字的小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機(jī)摸出一球，不放回，再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“日照”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了用列表法或樹狀圖求概率．根據(jù)題意畫出樹狀圖，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再用概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“日照”的結(jié)果有2種，∴兩次摸出的球上的漢字組成“日照”的概率為，故選：A．35．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）第屆深圳國(guó)際導(dǎo)熱散熱材料及設(shè)備展覽會(huì)將于年月日在深圳國(guó)際會(huì)展中心舉辦，若小張隨機(jī)從三個(gè)入口中選擇一個(gè)進(jìn)入，再隨機(jī)從兩個(gè)出口中選擇一個(gè)離開，則小張從口進(jìn)入，口離開的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率，畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖即可求解，掌握樹狀圖法或列表法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有種等結(jié)果，其中小張從口進(jìn)入，口離開的結(jié)果只有種，∴小張從口進(jìn)入，口離開的概率是，故選：．36．（23-24九年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期中）通常情況下無(wú)色酚酞試液遇酸性溶液（或中性溶液）不變色，遇堿性溶液變?yōu)榧t色．實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有四瓶因標(biāo)簽污損無(wú)法分辨的無(wú)色溶液，實(shí)驗(yàn)課上老師讓學(xué)生用無(wú)色酚酞試液檢測(cè)其酸堿性，已知這四種溶液分別是．鹽酸（呈酸性），．白醋（呈酸性），．氫氧化鈉溶液（呈堿性），．氫氧化鈣溶液（呈堿性）中的一種．學(xué)生小剛同時(shí)任選兩瓶溶液用無(wú)色酚酞試液進(jìn)行檢測(cè)，則兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖即可求解，掌握樹狀圖法或列表法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中兩瓶溶液均變紅色的結(jié)果有種，∴兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為，故選：．?題型06幾何概率37．（2024·廣東深圳·二模）小文根據(jù)“趙爽弦圖”設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的的正方形飛鏢盤，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．根據(jù)概率公式直接求解即可．【詳解】解：∵陰影部分的面積占總面積的，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．故選：B．38．（2024·廣東汕尾·二模）某商場(chǎng)為吸引顧客設(shè)計(jì)了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，每位顧客均能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，如果轉(zhuǎn)盤停止后，當(dāng)指針指向陰影部分時(shí)，該顧客可獲得獎(jiǎng)品一份，那么該顧客獲獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了幾何概率，陰影部分的圓心角占的比值即為概率，由此可得到答案；【詳解】解：指針指向陰影部分的概率是，該顧客獲獎(jiǎng)的概率為．故選：．39．（2023·山東東營(yíng)·一模）一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機(jī)的，則停留在陰影區(qū)域上的概率是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用陰影部分的面積比上總面積，即可得解．【詳解】解：由圖可知：陰影部分的面積占到總面積的，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算．熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．40．（2023·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是一個(gè)等腰直角三角形紙板，，在此三角形內(nèi)部作一個(gè)正方形，使在邊上，點(diǎn)，分別在，邊上．將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到這個(gè)紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用陰影的面積除以的面積即可．【詳解】解：如圖，

是一個(gè)等腰直角三角形，，設(shè)，的面積為，，四邊形為正方形，是一個(gè)等腰直角三角形∴，，陰影區(qū)域的面積為，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率，求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．?題型07由頻率估計(jì)概率41．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）廣東的氣候適合很多花卉的生長(zhǎng)，某大型花卉研究中心為了測(cè)試某種花的種子在一定條件下的發(fā)芽率，做了大量的種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，得到如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量n/顆100200500100020005000發(fā)芽種子數(shù)量m/顆9318847395419064748種子發(fā)芽的頻率(精確到)則任取一粒種子，估計(jì)它能發(fā)芽的概率為（

）(結(jié)果精確到0.01)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查頻率估計(jì)概率，讀懂表格是關(guān)鍵．根據(jù)表格即可求出．【詳解】解：由表格可得：隨著實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量的增加，其發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在左右，即估計(jì)它能發(fā)芽的概率為，故選：C．42．（2023·廣西南寧·二模）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（

）A．6 B．8 C．12 D．15【答案】C【分析】設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右列出關(guān)于x的方程，求解即可解答．【詳解】解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意，得：，解得：，即袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是12，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，熟知經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)所得的頻率可以近似認(rèn)為是事件發(fā)生的概率是解題關(guān)鍵．43．（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅色、白色小球共25個(gè)，這些小球除顏色外其他完全相同．?dāng)噭蚝髲闹须S機(jī)摸出一個(gè)，記下顏色，放回，重復(fù)上述過(guò)程，小林通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，其中摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.4，則口袋中紅色小球的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，設(shè)紅色小球x個(gè)，由題意可知摸到紅色小球的概率為0.4，再根據(jù)概率公式列出方程，求出答案即可．【詳解】解：設(shè)紅色小球x個(gè)，根據(jù)題意，得，解得．故選：C．44．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖）．規(guī)定：顧客購(gòu)物100元以上可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一個(gè)區(qū)域就獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．經(jīng)過(guò)多次試行，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)n次轉(zhuǎn)盤時(shí)，其中指針有m次落在“鉛筆”區(qū)域，則估計(jì)“飲料”區(qū)域所在扇形的圓心角度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性“定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值“就是這個(gè)事件的概率”用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．利用頻率估計(jì)概率，可知當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近其概率，所以可估計(jì)指針落在“飲料”區(qū)域的概率，用乘概率即可得出答案．【詳解】解：轉(zhuǎn)動(dòng)n次轉(zhuǎn)盤時(shí)，其中指針有m次落在“鉛筆”區(qū)域，則指針落在“飲料”區(qū)域的次數(shù)為次，“飲料”區(qū)域所在扇形的圓心角度數(shù)是，故選：B．?題型08概率的應(yīng)用45．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）“交通文明，讓長(zhǎng)沙與我一起白頭偕老”．自長(zhǎng)沙開展“文明城市創(chuàng)建”以來(lái)，我市學(xué)生更加自覺遵守交通規(guī)則．某校學(xué)生小明每天騎自行車上學(xué)時(shí)都要經(jīng)過(guò)一個(gè)路口，該路口有紅、黃、綠三色交通信號(hào)燈，他在路口遇到綠燈的概率為，遇到黃燈的概率為，那么他遇到紅燈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了概率的應(yīng)用．掌握事件的所有情況的概率之和為1成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)事件的所有情況的概率之和為1解答即可．【詳解】解：∵他在路口遇到綠燈的概率為，遇到黃燈的概率為，∴他遇到綠燈的概率是：．故選：C．46．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測(cè)）小明和小剛各自擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若兩人的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，則小明積1分，若兩人的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，則小剛積1分，此游戲（

）A．對(duì)小明有利 B．對(duì)小剛有利 C．是公平的 D．無(wú)法判斷【答案】C【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方取勝的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等，據(jù)此來(lái)求解．【詳解】解：解：設(shè)(x，y)表示小明拋擲骰子點(diǎn)數(shù)是x，小剛拋擲骰子點(diǎn)數(shù)是y，則該概率屬于古典概型．所有的基本事件是：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，即有36種基本事件，其中點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的基本事件有：(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)，即有18種，所以小剛得(1分)的概率是，則小明得(1分)的概率是，則小明獲勝的概率與小剛獲勝的概率相同，游戲公平．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷，判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平，概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．47．（2021·浙江紹興·一模）籠子里關(guān)著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開，松鼠要先經(jīng)過(guò)第一道門（A，，或C），再經(jīng)過(guò)第二道門（或）才能出去．問松鼠走出籠子的路線（經(jīng)過(guò)的兩道門）有（

）種不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2【答案】B【分析】解決本題的關(guān)鍵是分析兩道門各自的可能性情況，然后再進(jìn)行組合得到打開兩道門的方法，這類題要讀懂題意，從中找出組合的規(guī)律進(jìn)行求解，本題不同的是首先分析每道門的情況數(shù)，然后整體進(jìn)行組合即可得解．【詳解】解：因?yàn)榈谝坏篱T有A、B、C三個(gè)出口，所以出第一道門有三種選擇；又因第二道門有兩個(gè)出口，故出第二道門有D、E兩種選擇，因此小松鼠走出籠子的路線有6種選擇，分別為AD、AE、BD、BE、CD、CE．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率、所有可能性統(tǒng)計(jì)，通過(guò)列舉法可以舉出所有可能性的路徑．48．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）某口袋中有10個(gè)球，其中白球個(gè)，綠球個(gè)，其余為黑球，從袋中任意摸出一個(gè)球，若為綠球，則小星獲勝，若為黑球，則小紅獲勝，要使游戲?qū)π⌒?、小紅雙方公平，則的值是（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了概率的計(jì)算，掌握概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得黑球有個(gè)，根據(jù)概率公式可得摸到綠球的概率為，摸到黑球的概率為，使得游戲公平，則概率相等，由此列式求解即可．【詳解】解：口袋中有10個(gè)球，其中白球個(gè)，綠球個(gè)，其余為黑球，∴黑球有個(gè)，∴摸到綠球的概率為，摸到黑球的概率為，∵使游戲?qū)π⌒?、小紅雙方公平，∴，解得，，故選：B．?題型09概率與統(tǒng)計(jì)綜合49．（2022·廣東佛山·三模）如圖是計(jì)算機(jī)“掃雷”游戲的畫面，在個(gè)小方格的雷區(qū)中，隨機(jī)地埋藏著顆地雷，每個(gè)小方格最多能埋藏顆地雷．(1)如圖，小南先踩中一個(gè)小方格，顯示數(shù)字，它表示圍著數(shù)字的個(gè)方塊中埋藏著顆地雷（包含數(shù)字的黑框區(qū)域記為A）．接著，小語(yǔ)選擇了右下角的一個(gè)方格，出現(xiàn)了數(shù)字（包含數(shù)字的黑框區(qū)域記為B，A與B外圍區(qū)域記為）．二人約定：在區(qū)域內(nèi)的小方格中任選一個(gè)小方格，踩中雷則小南勝，否則小語(yǔ)勝，試問這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．(2)如圖，在，，三個(gè)黑框區(qū)域中共藏有顆地雷（空白區(qū)域無(wú)地雷）．則選擇，，三個(gè)區(qū)域踩到雷的概率分別是______．【答案】(1)這個(gè)游戲不公平，說(shuō)明見解析(2)，，【分析】（1）求出小南勝的概率和小語(yǔ)勝的概率，再比較即可；（2）分別求出D，E，F(xiàn)三個(gè)黑框區(qū)域中共藏的地雷顆數(shù)，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：這個(gè)游戲不公平，理由如下：在區(qū)域的（個(gè)）方塊中隨機(jī)埋藏著（顆）地雷，區(qū)域中有（個(gè)）方塊中沒有地雷，小南勝的概率為，小語(yǔ)勝的概率為，，這個(gè)游戲不公平；（2）解：圍著數(shù)字的個(gè)方塊中埋藏著顆地雷，空白區(qū)域無(wú)地雷，區(qū)域中有個(gè)地雷，選擇區(qū)域踩到雷的概率為；圍著數(shù)字的個(gè)方塊中埋藏著顆地雷，空白區(qū)域無(wú)地雷，區(qū)域中有個(gè)地雷，選擇區(qū)域踩到雷的概率為；在，，三個(gè)黑框區(qū)域中共藏有顆地雷空白區(qū)域無(wú)地雷，區(qū)域中有：（顆），選擇區(qū)域踩到雷的概率為；故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了游戲公平性以及概率公式等知識(shí)，概率相等游戲就公平，否則就不公平；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．50．（2022·廣東佛山·一模）為提高教育質(zhì)量，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳頒布了“雙減”政策．為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“雙減”政策的了解程度，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)網(wǎng)上調(diào)查的方式在本校學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí)：A．非常了解；B．比較了解；C．基本了解；D．不了解．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖的統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問題：(1)若該校有學(xué)生2000人，請(qǐng)根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)這些學(xué)生中“比較了解”“雙減”政策的人數(shù)約為多少？(2)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于“雙減”政策宣傳工作，要從某班“非常了解”的小明和小剛中選一個(gè)人參加，現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來(lái)確定，具體規(guī)則是：在一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，它們除了顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球顏色相同，則小明去；否則小剛?cè)ィ?qǐng)用樹狀圖或列表法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平．【答案】(1)約為400人(2)不公平，理由見解析【分析】（1）用總?cè)藬?shù)乘以“比較了解”所占的百分比即可；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與摸出兩個(gè)球顏色相同與不同的情況，再利用概率公式求解，比較概率大小，即可判斷游戲規(guī)則是否公平．【詳解】（1）解：本次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：（人），這些學(xué)生中“比較了解”“雙減”政策的人數(shù)約為：（人），答：這些學(xué)生中“比較了解”“雙減”政策的人數(shù)約為400人．（2）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，兩個(gè)球顏色相同的有4種情況，兩個(gè)球顏色不同的有8種情況，兩個(gè)球顏色相同的概率為，兩個(gè)球顏色不相同的概率為，，游戲規(guī)則不公平．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹狀圖法求概率，條形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是利用樹狀圖法求出概率，比較概率，判斷是否公平．51．（2025·廣東深圳·一模）小聰爸爸為了了解國(guó)產(chǎn)吉他的品質(zhì)（指板材質(zhì)、發(fā)出的聲音等），對(duì)甲、乙兩種品牌進(jìn)行了抽樣調(diào)查．在相同條件下，隨機(jī)抽取了兩種品牌的吉他各9份樣品，對(duì)吉他的品質(zhì)進(jìn)行評(píng)分（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理，下面給出兩種品牌吉他得分的統(tǒng)計(jì)圖表．甲、乙兩種品牌吉他得分表序號(hào)123456789甲（分）818283889090909295乙（分）747585888990919797甲、乙兩種吉他得分統(tǒng)計(jì)表品牌平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲87.990乙87.397(1)________，________；(2)從方差的角度看，________種吉他的得分較穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）；(3)你會(huì)建議小聰爸爸選擇哪種品牌吉他？請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表中的信息寫出你的理由．【答案】(1)，(2)甲(3)建議購(gòu)買甲品牌，理由見解析【分析】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）由甲、乙兩種吉他得分的方差，比較得出，即可得解；（3）根據(jù)平均數(shù)的定義解答即可．【詳解】（1）解：由乙種吉他得分可得，處在中間位置的一個(gè)數(shù)是，即，由甲種吉他得分可得，出現(xiàn)次數(shù)最多的是90分，即；（2）解：，故，∴甲吉他的得分較穩(wěn)定；（3）解：建議購(gòu)買甲品牌，因?yàn)榧灼放频钠骄鶖?shù)更高，所以甲品牌吉他更好．52．（2025·廣東揭陽(yáng)·一模）植樹節(jié)是按照法律規(guī)定宣傳保護(hù)樹木，并組織動(dòng)員群眾積極參加以植樹造林為活動(dòng)內(nèi)容的節(jié)日．按時(shí)間長(zhǎng)短可分為植樹日、植樹周和植樹月，共稱為國(guó)際植樹節(jié)．提倡通過(guò)這種活動(dòng)，激發(fā)人們愛林造林的熱情、意識(shí)到環(huán)保的重要性．1928年，國(guó)民政府為紀(jì)念孫中山逝世三周年，將植樹節(jié)改為3月12日．新中國(guó)成立后的1979年，在鄧小平提議下，第五屆全國(guó)人大常委會(huì)第六次會(huì)議決定將每年的3月12日定為植樹節(jié)．某學(xué)校在植樹節(jié)到來(lái)之際，舉辦了一場(chǎng)環(huán)保主題的知識(shí)競(jìng)賽，八年級(jí)其中一個(gè)班級(jí)的成績(jī)作如下整理，部分信息如下：組別成績(jī)m/分頻數(shù)A2BaC14DbE10

完成下面問題：(1)________，________；(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，A組對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為________；(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(4)八年級(jí)一共有480人，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)八年級(jí)中分?jǐn)?shù)在80分到90分的人數(shù)．【答案】(1)4；20(2)(3)見解析(4)人【分析】本題考查頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是從頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖中獲取關(guān)鍵信息．（1）根據(jù)E組頻數(shù)及所占百分?jǐn)?shù)求出班級(jí)的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可求出a、b；（2）先求出本次調(diào)查中A組的占比，再與相乘，即可作答．（3）根據(jù)（1）中求出的a、b補(bǔ)全即可，（4）先求出本次調(diào)查中八年級(jí)中分?jǐn)?shù)在80分到90分的占比，再與相乘，即可作答．【詳解】（1）解：班級(jí)總?cè)藬?shù)為：，，，故答案為：4；20；（2）解：依題意，，∴A組對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為，故答案為：；（3）解：補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（4）解：依題意，（人），∴估計(jì)八年級(jí)中分?jǐn)?shù)在80分到90分的人數(shù)為人．基礎(chǔ)鞏固單選題1．（2024·廣東深圳·中考真題）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時(shí)間以及大自然中一些物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個(gè)節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了概率公式．根據(jù)概率公式直接得出答案．【詳解】解：二十四個(gè)節(jié)氣中選一個(gè)節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個(gè)，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為，故選：D．2．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知一種彩票的中獎(jiǎng)概率是，則買10000張這樣的彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)B．?dāng)?shù)據(jù)2，3，7，8，3，4，3，8的眾數(shù)是8C．調(diào)查深圳市人民對(duì)政府服務(wù)的滿意程度適合用抽樣調(diào)查D．“甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)參加端午節(jié)賽龍舟比賽，甲隊(duì)獲得冠軍”是必然事件【答案】C【分析】本題考查概率的意義、眾數(shù)、抽樣調(diào)查等知識(shí)，利用考點(diǎn)知識(shí)逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】A、某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，每買10000張彩票，不一定有一張中獎(jiǎng)，故說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、數(shù)據(jù)2，3，7，8，3，4，3，8，其中3出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是3，故說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、調(diào)查深圳市人民對(duì)政府服務(wù)的滿意程度適合用抽樣調(diào)查，說(shuō)法正確，符合題意；D、“甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)參加端午節(jié)賽龍舟比賽，甲隊(duì)獲得冠軍”是偶然事件，故說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．3．（2024·廣東河源·一模）圍棋起源于中國(guó)，棋子分黑白兩色．一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)黑色棋子和9個(gè)白色棋子，每個(gè)棋子除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)棋子，摸到黑色棋子的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，根據(jù)題意可知一共12個(gè)棋子，黑色棋子3個(gè)，用概率公式求解即可．【詳解】解：∵一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)黑色棋子和9個(gè)白色棋子，共12個(gè)棋子，∴任意摸出一個(gè)棋子，摸到黑色棋子的概率是．故選：D．4．（2024·廣東廣州·二模）從下列一組數(shù)，，，，0，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了無(wú)理數(shù)、簡(jiǎn)單事件的概率，判斷無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再用概率公式計(jì)算即可.【詳解】，，，，0，中,，是無(wú)理數(shù)，共有6個(gè)數(shù)據(jù)，兩個(gè)無(wú)理數(shù)，∴隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率為，故選：D5．（2024·廣東·三模）在學(xué)?？萍夹麄骰顒?dòng)中，某科技活動(dòng)小組從“北斗”“天眼”“高鐵”“人工智能”4個(gè)內(nèi)容中，隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行介紹．科技活動(dòng)小組恰好選中“高鐵”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查判斷事件發(fā)生可能性的大小，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)概率公式計(jì)算科技活動(dòng)小組恰好選中“高鐵”的概率，即可得出答案．【詳解】解：∵共有4個(gè)內(nèi)容，∴科技活動(dòng)小組恰好選中“高鐵”的概率為，故選：B．二、填空題6．（2025·廣東深圳·一模）一個(gè)盒子中有12個(gè)紅球和若干個(gè)白球，這些球除顏色外都相同．從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，經(jīng)過(guò)多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)盒子中白球有個(gè)．【答案】8【分析】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量問題，分式方程的應(yīng)用，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即概率值是解題的關(guān)鍵．設(shè)袋子中白球約有x個(gè)，根據(jù)題意可知從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率為，由此根據(jù)概率公式建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)袋子中白球約有x個(gè)，∵通過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在附近，∴從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率為，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴袋子中白球約有8個(gè)，故答案為：8．7．（2025·廣東深圳·一模）非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是我國(guó)傳統(tǒng)文化的優(yōu)秀代表．深圳市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)有上川黃連勝醒獅舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戲、沙頭角魚燈舞等．小聰和小穎商定從“上川黃連勝醒獅舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戲”、“沙頭角魚燈舞”四種中各隨機(jī)選擇一種，用于宣傳深圳的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，兩人恰好選中同一種的概率是．【答案】【分析】本題考查了畫樹狀圖法求概率,畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意，“上川黃連勝醒獅舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戲”、“沙頭角魚燈舞”四種非物質(zhì)文化遺產(chǎn)分別記為畫出樹狀圖如下：一共有16種等可能的情況，兩人恰好選中同一種的情況有4種，（兩人恰好選中同一種）．故答案為：．8．（2024·廣東肇慶·一模）在一個(gè)透明的盒子里裝有2個(gè)紅球和個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)，摸出紅球的概率是0.2，則值為．【答案】8【分析】本題考查概率的求法與運(yùn)用，根據(jù)概率公式求解即可：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．根據(jù)紅球的概率結(jié)合概率公式列出關(guān)于n的方程，求出n的值即可．【詳解】解：∵摸到紅球的概率為∴解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．故答案為：8．9．（2024·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某游戲的規(guī)則為：選手蒙眼在一張如圖所示的正方形黑白格子紙（九個(gè)小正方形面積相等）上描一個(gè)點(diǎn)，若所描的點(diǎn)落在黑色區(qū)域，獲得筆記本一個(gè)；若落在白色區(qū)域，獲得鋼筆一支．選手獲得筆記本的概率為【答案】【分析】此題考查了幾何概率計(jì)算公式以及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意面積之比幾何概率．利用擊中黑色區(qū)域的概率等于黑色區(qū)域面積與正方形總面積之比，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：整個(gè)正方形被分成了9個(gè)小正方形，黑色正方形有5個(gè)，落在黑色區(qū)域即獲得筆記本的概率為，故答案為：．三、解答題10．（2025·廣東深圳·一模）深圳市某學(xué)校為了貫徹落實(shí)黨的相關(guān)精神，引導(dǎo)全體師生了解和掌握社會(huì)主義核心價(jià)值觀的基本內(nèi)容和實(shí)踐要求，更加深入地理解社會(huì)主義核心價(jià)值觀的內(nèi)涵，增強(qiáng)對(duì)國(guó)家、社會(huì)和公民個(gè)人層面價(jià)值觀念的認(rèn)同感，特意舉辦了社會(huì)主義核心價(jià)值觀知識(shí)競(jìng)賽．以下是社會(huì)主義核心價(jià)值觀的具體內(nèi)容國(guó)家層面：富強(qiáng)、民主、文明、和諧；社會(huì)層面：自由、平等、公正、法治；個(gè)人層面：愛國(guó)、敬業(yè)、誠(chéng)信、友善．(1)初賽時(shí)，小軍同學(xué)從會(huì)主義核心價(jià)值觀十二個(gè)方面的知識(shí)中隨機(jī)抽取了其中一個(gè)方面的知識(shí)，恰好抽中“富強(qiáng)”的概率為________．(2)復(fù)賽時(shí)，抽簽只分為三大類：國(guó)家層面（A）、社會(huì)層面（B）、個(gè)人層面（C）．小軍同學(xué)抽簽后，把簽放回去，重新洗均勻，小剛同學(xué)再抽簽，利用畫樹狀圖或列表的方法求兩人抽到相同的簽的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式．（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）利用樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，再找出兩人抽到相同的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】（1）解：恰好抽中“富強(qiáng)”的概率為：，故答案為：；（2）解：樹狀圖如圖由圖可知共有9種等可能的情況，兩個(gè)人抽到相同簽情況共有3種，．答：兩個(gè)人抽到相同簽的概率為．11．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)積極落實(shí)國(guó)家“雙減”教育政策，決定增設(shè)“廚藝”“繪畫”“陶藝”“街舞”等四門校本課程以提升課后服務(wù)質(zhì)量，為了解學(xué)生對(duì)這四門課程的選修情況（要求必須選修—門且只能選修一門），學(xué)校從七年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)結(jié)合上述信息，解答下列問題：(1)共有_____名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查；“廚藝”在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所對(duì)應(yīng)的圓心角是_____度？(2)補(bǔ)全調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)小剛和小毅分別從“廚藝”“繪畫”“陶藝”“街舞”等四門校本課程中任選一門，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．【答案】(1)50，；(2)見詳解；(3)【分析】（1）用“街舞”的人數(shù)除以占比得到總?cè)藬?shù)；用“廚藝”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以即可求解；（2）先求出選擇陶藝的人數(shù)，然后即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）用列表法求得概率即可求解．【詳解】（1）解：（人），共有50名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查．，“廚藝”在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所對(duì)應(yīng)的圓心角是．（2）選擇陶藝的人數(shù)有：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）列表如下：廚藝?yán)L畫陶藝街舞廚藝(廚藝，廚藝)(繪畫，廚藝)(陶藝，廚藝)(街舞，廚藝)繪畫(廚藝，繪畫)(繪畫，繪畫)(陶藝，繪畫)(街舞，繪畫)陶藝(廚藝，陶藝)(繪畫，陶藝)(陶藝，陶藝)(街舞，陶藝)街舞(廚藝，街舞)(繪畫，街舞)(陶藝，街舞)(街舞，街舞)一共有16中可能，小剛和小毅恰好選到同一門課程的情況有4種，∴小剛和小毅恰好選到同一門課程的情況的概率有：【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，用列表法或畫樹狀圖法求概率；列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果數(shù)，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．能對(duì)圖表信息進(jìn)行具體分析和熟練掌握概率公式．能力提升一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于“深圳人”來(lái)說(shuō)，沒有花展的三月就不能稱作春天．“綠美灣區(qū)，詩(shī)意繁花”，2024粵港澳大灣區(qū)花展將于3月23日至4月1日在主會(huì)場(chǎng)筆架山（體育）公園、蓮花山公園、分會(huì)場(chǎng)香蜜湖·四季花谷舉行．若小明周末想去其中一個(gè)公園參觀花展，則他去蓮花山公園的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了概率公式，根據(jù)題意確定所有等可能結(jié)果數(shù)和滿足題意結(jié)果數(shù)成為解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可知小明有三種選擇，其中去蓮花山公園的可能只有一種，然后運(yùn)用概率公式即可即可.【詳解】解：由題意可得：小明有三種選擇，其中去蓮花山公園的可能只有一種，則他去蓮花山公園的概率是.故選B.2．（2024·山東濟(jì)南·二模）為了弘揚(yáng)雷鋒精神，某校組織“學(xué)雷鋒，爭(zhēng)做新時(shí)代好少年”的宣傳活動(dòng)，需招募兩名宣傳員．現(xiàn)從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機(jī)選取兩人，則兩人恰好是一男一女的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了畫樹狀圖或列表法求概率，正確的畫出樹狀圖或表格是解題的關(guān)鍵．先列出表格得到所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找到恰好是一男一女的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率的計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：兩名男生用表示，兩名女生用表示，所有結(jié)果列表格如下：由表格可知，一共有12種結(jié)果，其中恰好是一男一女的結(jié)果有8種，∴兩人恰好是一男一女的概率為，故選：C．3．（2025·廣東佛山·一模）甲、乙、丙同時(shí)在的范圍內(nèi)隨機(jī)取整數(shù)的值，每個(gè)數(shù)被取到的可能性相等，設(shè)甲取到的值為，乙取到的值為，丙取到的值為，則滿足的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，由題意可得共有種結(jié)果，再求出的情況，最后再由概率公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵在的范圍內(nèi)取整數(shù)可以為，，，，，∴甲、乙、丙同時(shí)在的范圍內(nèi)隨機(jī)取整數(shù)的值，每個(gè)數(shù)被取到的可能性相等，設(shè)甲取到的值為，乙取到的值為，丙取到的值為，共有種結(jié)果，其中的情況有：，，，，，，，，，，共10種，∴滿足的概率為，故選：B．4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的口袋中有五個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5．隨機(jī)摸取一個(gè)小球然后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球．兩次取出的小球標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先畫樹狀圖展示所有25種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次取出的小球標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的占13種，然后根據(jù)概率的概念計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：共有25種等可能的情況數(shù)，其中兩次取出的小球標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的有13種，則兩次取出的小球標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率是．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（2024·廣東廣州·一模）如圖，電路圖上有個(gè)開關(guān)，電源、小燈泡和線路都能正常工作，若隨機(jī)閉合個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖即可求解，掌握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有種等結(jié)果，其中能使小燈泡發(fā)光的有種，∴小燈泡發(fā)光的概率為，故選：．6．（2023·河北邢臺(tái)·一模）如圖是由個(gè)大小相同的小正方體組成的幾何體，隨機(jī)移走標(biāo)號(hào)為①～⑤的小正方體中的一個(gè)，左視圖不發(fā)生改變的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，以及概率的定義，可得答案．【詳解】解：去掉的小正方體，左視圖改變；去掉的小正方體中的一個(gè)，左視圖不變，所以左視圖不發(fā)生改變的概率是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，概率的定義，解題的關(guān)鍵是掌握從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．二、填空題7．（2024·廣東深圳·三模）在深圳中考體育科目中，分為必考項(xiàng)目和選考項(xiàng)目，其中男生的必考項(xiàng)目為在200米和1000米項(xiàng)目中二選一；女生的必考項(xiàng)目為在200米、800米項(xiàng)目中二選一，小明（男生）、小花（女生）（兩人選擇每個(gè)項(xiàng)目的可能性一樣）所選的必考項(xiàng)目不同的概率是【答案】【分析】本題主要考查了列表法求概率，根據(jù)題意正確列表成為解題的關(guān)鍵．先列表求出所有等可能結(jié)果數(shù)和兩人選擇每個(gè)項(xiàng)目一樣的結(jié)果數(shù)，然后運(yùn)用概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：200米800米200米（200米，200米）（200米，800米）1000米（1000米，200米）（1000米，800米）共有4種等可能的結(jié)果，其中小明、小花所選的必考項(xiàng)目不同的結(jié)果有：（200米，800米），（1000米，200米），（1000米，800米），共3種，∴小明、小花所選的必考項(xiàng)目不同的概率為．故答案為：．8．（2024·廣東廣州·三模）明明與慧慧玩一種比數(shù)字大小的小游戲：兩人各有三張卡片，明明的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，6，慧慧的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，5，兩人各從自己的卡片中隨機(jī)抽一張，則慧慧所抽數(shù)字大于明明的概率是．【答案】【分析】畫樹狀圖法計(jì)算概率即可．本題考查了畫樹狀圖法計(jì)算概率，熟練掌握計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，畫圖如下：一共有9種等可能性，其中慧慧所抽數(shù)字大于明明的有5種，故慧慧所抽數(shù)字大于明明的概率是．故答案為：．9．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）從，，這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)分別記為x，y，把點(diǎn)的坐標(biāo)記為，若點(diǎn)為，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過(guò)第二象限的概率為．【答案】【分析】本題考查了求概率、一次函數(shù)的圖像，正確找出當(dāng)直線經(jīng)過(guò)第二象限時(shí)，點(diǎn)的所有符合條件的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)共有種：，，，，，，點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)第二象限，點(diǎn)的坐標(biāo)有，，，，共四種情況；在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過(guò)第二象限的概率為，故答案為：．10．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）小英同時(shí)擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的小立方體（立方體的每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6）．記甲立方體朝上一面上的數(shù)字為x，乙立方體朝上一面朝上的數(shù)字為y，這樣就確定點(diǎn)P的一個(gè)坐標(biāo)，那么點(diǎn)P落在直線上的概率為．【答案】【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，一次函數(shù)的性質(zhì)，注意畫樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與點(diǎn)P落在直線上的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖如下：故所有等可能結(jié)果為；；；；；，共36種等可能結(jié)果．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故有，，，，滿足在直線上，共5種情況，∴點(diǎn)P落在直線上的概率為．故答案為：．三、解答題11．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）我市某中學(xué)在參加“爭(zhēng)創(chuàng)衛(wèi)生城市”書畫比賽中，楊老師從全校30個(gè)班中隨機(jī)抽取了4個(gè)班(用A，B，C，D表示)，對(duì)征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)楊老師采用的調(diào)查方式是

(填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”)；(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并估計(jì)全校共征集作品的件數(shù)；(3)如果全校征集的作品中有3件獲得特等獎(jiǎng)，其中有2名作者是男生，1名作者是女生，現(xiàn)要在獲得特等獎(jiǎng)的作者中選取兩人參加表彰座談會(huì)，請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學(xué)生是一男一女的概率．【答案】(1)抽樣調(diào)查(2)補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖見解析；件(3)【分析】