數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末檢測(cè)試卷(二)-2024-2025學(xué)年高二下北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

章末檢測(cè)試卷(二)(時(shí)間：120分鐘分值：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)1.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是()A.(x-2)'=-2xB.(xcosx)'=cosx-xsinxC.(ln10)'=1D.(2ex)'=ex2.函數(shù)f(x)=xln(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.[-e，0) B.-C.[-e，+∞) D.-3.已知函數(shù)f(x)=13x3-3x+2，則函數(shù)g(x)=f'(x)ex在區(qū)間[0，2]上的最小值為(A.-3e B.-2eC.e D.2e4.設(shè)曲線y=lnxx+1在點(diǎn)(1，0)處的切線與直線x-ay+1=0垂直，則a等于A.-12 B.C.-2 D.25.函數(shù)f(x)=ex3x的部分圖象大致為6.已知1是函數(shù)f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex的極值點(diǎn)，則a的值為()A.-2 B.3C.-2或3 D.-3或27.若函數(shù)f(x)=ax2x-1(x>1)有最大值-4，則實(shí)數(shù)aA.1 B.-1C.4 D.-48.定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-1>0，f(4)=2ln2，則不等式f(ex)<x的解集為()A.(0，2ln2) B.(-∞，2ln2)C.(2ln2，+∞) D.(1，2ln2)二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，函數(shù)y=xf'(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A.函數(shù)f(x)有極大值f(3)B.函數(shù)f(x)有極小值f(-3)C.函數(shù)f(x)有極大值f(3)D.函數(shù)f(x)有極小值f(-3)10.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值可以是()A.-3 B.-1C.3 D.211.設(shè)函數(shù)f(x)=13x-lnx(x>0)，則y=f(x)(A.在區(qū)間1eB.在區(qū)間1eC.在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D.在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，且f(x)=2f'(2)x+x3，則f'(2)=.

13.能說明“若f'(x)為偶函數(shù)，則f(x)為奇函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

14.如圖，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各剪去一個(gè)全等四邊形，再折起來(lái)做一個(gè)無(wú)蓋正六棱柱容器，其容積最大時(shí)，底面邊長(zhǎng)為.

四、解答題(本題共5小題，共77分)15.(13分)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2-3b，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x+y-4=0.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(6分)(2)若曲線C：y=-a12x3-4b，求曲線C過點(diǎn)(2，4)的切線方程.(7分16.(15分)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+4，x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(6分)(2)當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.(9分)17.(15分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5，x∈R.(1)求f'(2)的值；(3分)(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(5分)(3)若關(guān)于x的方程f(x)=a有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(7分)18.(17分)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品需向總公司繳納a元(a為常數(shù)，2≤a≤5)的管理費(fèi)，根據(jù)多年的管理經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元時(shí)，產(chǎn)品一年的銷售量為kex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))萬(wàn)件.已知當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬(wàn)件，經(jīng)物價(jià)部門核定，每件產(chǎn)品的售價(jià)x最低不低于35元，最高不超過41(1)求分公司經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(7分)(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L(x)最大？并求出L(x)的最大值.(10分)19.(17分)已知函數(shù)f(x)=2ax-bx+lnx(1)若f(x)在x=1，x=12處取得極值①求a，b的值；(3分)②若存在x0∈14，2，使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的最小值；(2)當(dāng)b=a時(shí)，若f(x)在(0，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.(8分)答案精析1.B[(x-2)'=-2x-3，故A錯(cuò)誤；(xcosx)'=cosx-xsinx，故B正確；(ln10)'=0，故C錯(cuò)誤；(2ex)'=2ex，故D錯(cuò)誤.]2.B[函數(shù)f(x)=xln(-x)的定義域?yàn)?-∞，0)，且f'(x)=ln(-x)+1，令f'(x)≤0，解得-1e≤x<0所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是-1e3.B[因?yàn)閒(x)=13x3-3x+2，故可得f'(x)=x2-3，則g(x)=f'(x)ex=ex(x2-3)又g'(x)=ex(x+3)(x-1)，x∈[0，2]，令g'(x)>0，解得1<x<2，令g'(x)<0，解得0<x<1，故g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，2)上單調(diào)遞增，又g(1)=-2e，故g(x)在區(qū)間[0，2]上的最小值為-2e.]4.A[由題意得，y'=(ln=1+1x-lnx(∵曲線在點(diǎn)(1，0)處的切線與直線x-ay+1=0垂直，∴2-ln14=-a，解得a=-125.C[f(x)=ex3x，定義域?yàn)?-∞，0)∪(0，∵f(-x)=-ex3x=-f(∴f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B；f(1)=e3<1，故排除A∵當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)=(x又當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，∴f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故排除D.]6.B[由f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex，得f'(x)=(x2+2ax+2x-a2-a+3)ex，∵1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，∴f'(1)=(6-a2+a)e=0，解得a=3或a=-2，當(dāng)a=-2時(shí)，f'(x)=(x2-2x+1)ex≥0恒成立，即f(x)為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，舍去；當(dāng)a=3時(shí)，f'(x)=(x2+8x-9)ex=0時(shí)，x=1或x=-9，滿足1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，∴a=3.]7.B[由函數(shù)f(x)=ax2x-1(x>1)，得f'(x)=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax(x-2)(x-1)則當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即f(x)max=f(2)=4a2-1=-4，解得a=-1，滿足題意8.B[設(shè)g(x)=f(x)-lnx，x>0，則g'(x)=f'(x)-1x=xf'又xf'(x)-1>0，故g'(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，由f(4)=2ln2可得，g(4)=f(4)-ln4=0.不等式f(ex)<x，可變形為f(ex)-x<0，令ex=t>0，則f(t)-lnt<0，即g(t)<g(4)，則0<t<4，即ex<4，解得x<2ln2.]9.AD[當(dāng)x<-3時(shí)，y=xf'(x)>0，即f'(x)<0；當(dāng)-3<x<0時(shí)，y=xf'(x)<0，即f'(x)>0；當(dāng)0<x<3時(shí)，y=xf'(x)>0，即f'(x)>0；當(dāng)x>3時(shí)，y=xf'(x)<0，即f'(x)<0.∴f(x)的極大值是f(3)，f(x)的極小值是f(-3).]10.ABC[由題意得f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，則Δ=4a2-12≤0，解得-3≤a≤3.]11.AD[由題意得f'(x)=x-33x(x令f'(x)>0，得x>3；令f'(x)<0，得0<x<3；令f'(x)=0，得x=3，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為f(3)=1-ln3<0，又f(1)=13>0，f(e)=e3-1<0，f1e=所以f(x)在區(qū)間1e，1內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)12.-12解析由題意得f'(x)=2f'(2)+3x2，∴f'(2)=2f'(2)+12，∴f'(2)=-12.13.f(x)=x3+1(答案不唯一)解析若f(x)=x3+1，則f'(x)=3x2是偶函數(shù)，但f(-x)=-x3+1≠-f(x)，所以f(x)不是奇函數(shù)，能滿足“若f'(x)為偶函數(shù)，則f(x)為奇函數(shù)”為假命題.14.4解析設(shè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為x(0<x<2)，底面面積為S，高為d，易知d=2-x2×S=6×12x2sinπ3=33則正六棱柱容器的容積為V=Sd=332x=94(2x2-x3)對(duì)函數(shù)V求導(dǎo)，V'=9x-274x2=9x1-當(dāng)0<x<43時(shí)，V'>0，函數(shù)V當(dāng)43<x<2時(shí)，V'<0，函數(shù)V單調(diào)遞減故當(dāng)x=43時(shí)，V取得最大值15.解(1)f'(x)=ax+2x因?yàn)橹本€2x+y-4=0的斜率為-2，且過點(diǎn)(1，2)，所以f(1)=2,解得a(2)由(1)知y=x33+43，則y'=設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則切線斜率k=x0故切線方程為y-x033-43=x02(由切線過點(diǎn)(2，4)，代入可解得x0=2或x0=-1，∴切點(diǎn)為(2，4)或(-1，1)，則切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.16.解(1)由題意，得f'(x)=6x2-2ax，f'(1)=0，則a=3.f(x)=2x3-3x2+4，f'(x)=6x(x-1)，當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，0)和(1，+∞).(2)當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f'(x)，f(x)的變化情況如表所示：x-1(-1，0)0(0，1)1(1，2)2f'(x)+0-0+f(x)-1↗極大值↘極小值↗8當(dāng)x=-1時(shí)，f(-1)=2(-1)3-3(-1)2+4=-1；當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=2-3+4=3，所以當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為-1.17.解(1)∵f'(x)=3x2-6，∴f'(2)=6.(2)f'(x)=3(x2-2)，令f'(x)=0，得x1=-2，x2=2，當(dāng)x<-2或x>2時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)-2<x<2時(shí)，f'(x)<0，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-2)，(2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-2，2).∴當(dāng)x=-2時(shí)，f(x)取得極大值為f(-2)=5+42，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極小值為f(2)=5-42.(3)令g(x)=f(x)-a，則g'(x)=f'(x)，由(2)可得g(x)的極大值為5+42-a，極小值為5-42-a，∵g(x)=0有3個(gè)不同的實(shí)根，故5+4解得5-42<a<5+42，∴當(dāng)5-42<a<5+42時(shí)，f(x)=a有3個(gè)不同的實(shí)根，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(5-42，5+42).18.解(1)設(shè)該產(chǎn)品一年的銷售量為Q(x)=ke則ke40=500，所以k=500e則該產(chǎn)品一年的銷售量Q(x)=500e則該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)=(x-a-30)500=500e40·x-a-30ex((2)L'(x)=500e40·31+a①若2≤a≤4，則33≤a+31≤35，當(dāng)35≤x≤41時(shí)，L'(x)≤0，L(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=35時(shí)，L(x)取得最大值為500(5-a)e5；②若4<a≤5，則35<a+31≤36，令L'(x)=0，得x=a+31，易知當(dāng)x=a+31時(shí)，L(x)取得最大值為500e9-a.綜上所述，當(dāng)2≤a≤4，且每件產(chǎn)品的售價(jià)為35元時(shí)，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為500(5-a)e5萬(wàn)元；當(dāng)4<a≤5，且每件產(chǎn)品的售價(jià)為(31+a)元時(shí)，該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為500e9-a萬(wàn)元.19.解(1)①函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f'(x)=2a+bx2+∵f(x)在x=1，x=12∴f'(1)=0，f'12=0即2解得a②若存在x0∈14，2，使得不等式f(x0)-c≤0成立，則只需c≥f(x∵f'(x)=-23-13x2=-(2x∴當(dāng)x∈14，12時(shí)，f'(x)≤0，函數(shù)f當(dāng)x∈12，1時(shí)，f'(x)≥0，函數(shù)f(當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)在