四川省峨眉第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷

峨眉二中高級高一下期3月考數(shù)學(xué)試卷本試卷滿分分，考試時(shí)間分鐘.注意事項(xiàng)：答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上，條碼要粘貼在條碼框內(nèi).答選擇題時(shí)，必須使用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.答非選擇題時(shí)，必須使用毫米黑色筆跡的簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共分只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知非零向量與共線，下列說法正確的是（）A.與共線B.與不共線C.若，則D.若，則是一個(gè)單位向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線，向量相等及單位向量的定義分別判斷各選項(xiàng).，，，四點(diǎn)在一條直線上時(shí)，與與AB選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，無法確定向量方向，不能確定向量相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)單位向量定義可知若，則是一個(gè)單位向量，D選項(xiàng)正確；故選：D.2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D第1頁/共14頁【解析】【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則.故選：D.3.已知單位向量滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用單位向量的定義?數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：C4.已知，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求得答案.【詳解】由，得，，所以在上的投影向量為.故選：A5.已知為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，，，則在基下的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】A第2頁/共14頁【解析】【分析】代入進(jìn)行線性運(yùn)算即可.【詳解】，則在基下的坐標(biāo)為.故選：A.6.已知，則（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)化簡可得.【詳解】.故選：C7.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第3頁/共14頁【分析】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到，結(jié)合周期可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)圖象可由向左平移個(gè)單位得到，又最小正周期為，所以只有C符合.故選：C.8.如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，，則的最小值（）A.2B.8C.9D.18【答案】C【解析】【分析】由向量加法及數(shù)乘的幾何意義得，再由向量共線的結(jié)論有，最后應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求最小值.【詳解】由題意，，又共線，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為9.故選：C二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分）第4頁/共14頁9.下列各組向量中，不可以作為基底的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一組基底，判斷每個(gè)選項(xiàng)的向量是否共線即可得到答案.【詳解】A選項(xiàng)：零向量和任意向量都共線，不能作為一組基底；B選項(xiàng)：，兩向量不共線，可以作為一組基底；C選項(xiàng)：，兩向量共線，不能作為一組基底；D選項(xiàng)：，兩向量共線，不能作為一組基底.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱第5頁/共14頁D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】【分析】利用周期，帶點(diǎn)求出解析式，再利用變換解題即可.【詳解】A.，故A正確；B.，，由圖知，則，即，因，故，則，當(dāng)時(shí)，，故，故B錯(cuò)誤；C.新函數(shù)，因，故C正確；D.新函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.若在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D.若在上最小值為，則【答案】ACD【解析】第6頁/共14頁【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性的結(jié)論判斷A；求出函數(shù)其中的2個(gè)零點(diǎn)，可知在上只有一aBC數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解，即可判斷D.【詳解】由題意知，對于A，，即的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；對于B，由，得或，由于在上有2解，即，，結(jié)合在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，可知需在上只有一解，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故要使在上只有一解，需或，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，令，，，則在上單調(diào)遞減，而圖象對稱軸為，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，令，，，則化為，第7頁/共14頁該函數(shù)圖象對稱軸，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，綜合上述在上的最小值為，則，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于D的判斷，解答時(shí)將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，分類討論進(jìn)行求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】將已知等式平方后結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系可得.【詳解】，即.故答案為：.13.已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】1【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解?故答案為：第8頁/共14頁14.若平面有不共線的五點(diǎn)A，B，C，D，O，記，，，，滿足.，，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】利用平面向量的幾何意義，結(jié)合圖像即可得到答案.【詳解】由,可得，且，即.作，如圖所示，則，，均正三角形，且，由，得，化簡可得，，所以在直線上.由圖像可知，，所以，可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓E上，所以.如圖過E作MN垂線垂足為C，交圓E于D點(diǎn)，則顯然，此時(shí)的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）第9頁/共14頁【解析】1）將兩邊平方，求出，即可得解；（2）首先求出，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，，所以，?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以.16.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，．（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算，求得，再判斷與的關(guān)系，即可證明.（2）根據(jù)向量平行的結(jié)論，求參數(shù)的值.【小問1詳解】由已知，得．第10頁/共14頁因?yàn)椋?又與有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線．【小問2詳解】由（1，若，且，可設(shè)（所以，即．又，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得．17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，若的最大值為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期；（2可求得的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可得出函數(shù)可求出實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】.所以，函數(shù)的最小正周期為.【小問2詳解】第11頁/共14頁當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，解得.18.如圖，點(diǎn)、分別是角、的終邊與單位圓的交點(diǎn)，.（1）若，，求的值；（2）證明角、在上述范圍下的兩角差的余弦公式，即.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到差角公式，即可求解；（2）根據(jù)條件得，再利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，又，則，又，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，、在單位圓上，則，，，所以，，第12頁/共14頁則，即.19.在銳角中，，，點(diǎn)為的外心.（1）求證：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）證出，設(shè)出與的夾角為，計(jì)算得到，由可得，即可證得結(jié)論；（2的外接圓半徑為的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得的取值范圍.【小問1詳解】由，則，則，即，設(shè)，所以，即，又，而，，所以，令與夾角為，則，即，第13頁/共14頁即，所以，得證.【小問2詳解】因則,