2024年指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)有詳細(xì)知識點(diǎn)和習(xí)題詳解

一、指數(shù)的性質(zhì)（一）整數(shù)指數(shù)冪1．整數(shù)指數(shù)冪概念：2．整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，假如一種數(shù)的次方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的次方根，即：若，則叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．闡明：①若是奇數(shù)，則的次方根記作；若則，若則；②若是偶數(shù)，且則的正的次方根記作，的負(fù)的次方根，記作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶數(shù)，且則沒意義，即負(fù)數(shù)沒有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式，叫根指數(shù)，叫被開方數(shù)。∴．．4．的次方根的性質(zhì)一般地，若是奇數(shù)，則；若是偶數(shù)，則．5．例題分析：例1．求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）解：略。例2．已知，化簡：．解：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，原式當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，原式因此，．例3．計(jì)算：解：例4．求值：．解：（二）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：即當(dāng)根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；假如冪的運(yùn)算性質(zhì)（2）對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也合用，例如：若，則，，∴．即當(dāng)根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式也可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。規(guī)定：（1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是；（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是．2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也同樣合用即闡明：（1）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣合用；（2）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒意義。3．例題分析：例1．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表達(dá)下列各式：，，.解：=；=；=．例2．計(jì)算下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）．（1）；（2）；解（1）==；（2）==．例3．計(jì)算下列各式：（1）（2）．解：（1）====；（2）=．（三）綜合應(yīng)用例1．化簡：.解：===.例2．化簡：.解：．評述：此題重視了分子、分母指數(shù)間的聯(lián)絡(luò)，即，由此聯(lián)想到平方差公式的特點(diǎn)，進(jìn)而使問題得到處理。例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），∴，又由得，∴，因此.（2）（法一），（法二）而∴，又由得，∴，因此.二、指數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)定義域是．2．指數(shù)函數(shù)在底數(shù)及這兩種狀況下的圖象和性質(zhì)：圖象性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）過點(diǎn)，即時(shí)（4）在上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)例1．求下列函數(shù)的定義域、值域：（1）（2）（3）（4）．解：（1）∴原函數(shù)的定義域是，令則∴得，因此，原函數(shù)的值域是．（2）∴原函數(shù)的定義域是，令則，在是增函數(shù)∴，因此，原函數(shù)的值域是．（3）原函數(shù)的定義域是，令則，在是增函數(shù)，∴，因此，原函數(shù)的值域是．（4）原函數(shù)的定義域是，由得，∴，∴，因此，原函數(shù)的值域是．闡明：求復(fù)合函數(shù)的值域通過換元可轉(zhuǎn)換為求簡樸函數(shù)的值域。例2．當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)是奇函數(shù)。證明：由得，，故函數(shù)定義域有關(guān)原點(diǎn)對稱。∴因此，函數(shù)是奇函數(shù)。例3．設(shè)是實(shí)數(shù)，，（1）試證明：對于任意在為增函數(shù)；（2）試確定的值，使為奇函數(shù)。分析：此題雖形式較為復(fù)雜，但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進(jìn)行證明。還應(yīng)規(guī)定學(xué)生注意不一樣題型的解答措施。（1）證明：設(shè)，則，由于指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，且，因此即，又由，得，，因此，即．由于此結(jié)論與取值無關(guān)，因此對于取任意實(shí)數(shù)，在為增函數(shù)。評述：上述證明過程中，在對差式正負(fù)判斷時(shí)，運(yùn)用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性。（2）解：若為奇函數(shù)，則，即變形得：，解得：，因此，當(dāng)時(shí),為奇函數(shù)。三、對數(shù)的性質(zhì)1．對數(shù)定義：一般地，假如（）的次冪等于N,就是，那么數(shù)b叫做a為底N的對數(shù)，記作，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。即，指數(shù)式底數(shù)冪指數(shù)對數(shù)式對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)闡明：1．在指數(shù)式中冪N>0，∴在對數(shù)式中，真數(shù)N>0．（負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)）2．對任意且,均有∴，同樣：．3．假如把中的寫成，則有（對數(shù)恒等式）．2．對數(shù)式與指數(shù)式的互換例如：例1．將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．簡介兩種特殊的對數(shù)：①常用對數(shù)：以10作底寫成②自然對數(shù)：以作底為無理數(shù)，=2.71828……，寫成．例2．（1）計(jì)算：，．解：設(shè)則，,∴；令，∴,,∴．（2）求x的值：①；②．解：①；②但必須：，∴舍去，從而．（3）求底數(shù)：①，②．解：①∴；②,∴．4．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：假如a>0，a1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．例3．計(jì)算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=．5．換底公式：(a>0,a1；)證明：設(shè)，則，兩邊取認(rèn)為底的對數(shù)得：，∴，從而得：，∴．闡明：兩個(gè)較為常用的推論：（1）；（2）（、且均不為1）．證明：（1）；（2）．例4．計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．例5．已知，，求（用a,b表達(dá)）．解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．例6．設(shè)，求證：．證明：∵，∴，∴．例7．若，，求．解：∵，∴，又∵，∴，∴∴．四、對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。2．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（2）圖象：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，因此對數(shù)函數(shù)的圖象只須由對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象作有關(guān)的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分與兩種狀況歸納，以（圖1）與（圖2）為例。1111（圖1）11（圖2）（3）對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列表：圖象性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）過點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，（4）在（0，+∞）上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)例1．求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）．分析：此題重要運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的定義域求解。解：（1）由>0得，∴函數(shù)的定義域是；（2）由得，∴函數(shù)的定義域是；（3）由9-得-3，∴函數(shù)的定義域是．例2．比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。海?），；（2），；（3），.解：（1）對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是；（2）對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是；（3）當(dāng)時(shí)，對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是，當(dāng)時(shí)，對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是．例3．比較下列比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。海?），；（2），；（3），，；（4），，．解：（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．（3）∵，，，∴．（4）∵，∴．例4．已知，比較，的大小。解：∵，∴，當(dāng)，時(shí)，得，∴，∴．當(dāng)，時(shí)，得，∴，∴．當(dāng)，時(shí)，得，，∴，，∴．綜上所述，，的大小關(guān)系為或或．例5．求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）（且）．解：（1）令，則，∵，∴，即函數(shù)值域?yàn)椋?）令，則，∴，即函數(shù)值域?yàn)椋?）令，當(dāng)時(shí)，，即值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即值域?yàn)椋?．判斷函