四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

威遠(yuǎn)中學(xué)屆高二下期半期考試數(shù)學(xué)（命題人：第三小組）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分分，考試時間分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共分）選擇題：本大題共85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D2.在等比數(shù)列中，，，則（）第1頁/共15頁A.4B.8C.10D.12【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)運算即可.【詳解】由題意，且，所以.故選：B.3.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.和C.D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由題設(shè)，且，可得，所以遞增區(qū)間為.故選：C4.在等比數(shù)列{a}中，a>0，且a+a=1，a+a=9，則a+a5的值為（）A.16B.27C.36D.81【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的基本量的運算，由，根據(jù)a>0可得q=3，再根據(jù)，即可得解.【詳解】a+a=1，a+a=9，q2=9.q=3（q=3a+a=（a+a）q=27.故選：B第2頁/共15頁5.已知等差數(shù)列的公差，，n項和為的最大值為（）A.20B.24C.36D.40【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出及通項公式，再確定所有非負(fù)數(shù)項即可得解.【詳解】等差數(shù)列中，公差，即數(shù)列是遞減等差數(shù)列，顯然，而，且，解得，則，前9項均10項起均為負(fù)數(shù)，所以的最大值為.故選：C.6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用的圖象分析的正負(fù)情況，從而分類討論即可得解.【詳解】由圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，；第3頁/共15頁而等價于①，或②，由①得或，則，由②得，則，綜上，.故選：B.7.已知數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（）A.360B.480C.960D.1280【答案】D【解析】的前40項中的奇數(shù)項的和及偶數(shù)項的和即可.【詳解】當(dāng)n為奇數(shù)，，，當(dāng)n為偶數(shù)，，，因此，的奇數(shù)項是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列；的偶數(shù)項是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以.故選：D8.的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.1B.1C.2D.2【答案】A第4頁/共15頁【解析】【分析】對兩邊取對數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.【詳解】對兩邊取對數(shù)，，兩端同時求導(dǎo)可得：所以，所以，故選：A二多選題（本題共3個小題，每題6分，有多個選項，共分）9已知數(shù)列滿足，則（）A.B.的前n項和為C.的前100項和為100D.的前30項和為357【答案】AD【解析】【分析】當(dāng)時，，兩式相減可求出，檢驗滿足，可判斷A；由等差數(shù)列的前項和公式可判斷B；由分組求和法可判斷C，D.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減可得：，所以，顯然當(dāng)時，滿足，故，故A正確；由等差數(shù)列求和公式知的前項和為，故B錯誤；令，的前100項和為：，故C錯誤；第5頁/共15頁令，所以的前30項和為：，故D正確.故選：AD.10.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極大值為D.方程有兩個不同的解【答案】BC【解析】ABC對于D，函數(shù)與的交點個數(shù)判斷【詳解】對于A，由（，，則，所以在處的切線方程為，所以A錯誤，對于B，由，得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以B正確，對于C，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得極大值，所以C正確，對于DC選項可知的最大值為時，時，，所以函數(shù)與的交點個數(shù)為1，所以有1個解，所以D錯誤，故選：BC已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.為等比數(shù)列B.的通項公式為第6頁/共15頁C.為遞增數(shù)列D.的前n項和【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項結(jié)合等比數(shù)列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：ABD.第7頁/共15頁第Ⅱ卷（非選擇題共分）三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分，請把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知數(shù)列的前項和為，，則________.【答案】【解析】【分析】利用前項和與通項公式的關(guān)系求解通項公式即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，不符，故.故答案為：13.曲線上的點到直線的最短距離是________．【答案】【解析】【分析】求出和平行的直線和相切，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點坐標(biāo)即可得到結(jié)論.【詳解】與平行的直線和相切，則斜率為，因為，所以，令，解方程得，代入直線方程得切點，則點到直線的距離就是曲線的點到直線的最短距離，由點到直線的距離公式知，故答案為：.第8頁/共15頁14.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，，則________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造數(shù)列，得其為常數(shù)列，進(jìn)而求得，再由錯位相減法求解即可.【詳解】由可得，令，；①，②，①減②得：，∴，∴.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知曲線.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求過點且與曲線相切的直線方程.【答案】（1）（2）和.【解析】第9頁/共15頁1（2.【小問1詳解】，當(dāng)時，，所以曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由（1）知切線的斜率為，故切線方程為，因為切線過點，所以，即，所以或，故過點且與曲線相切的直線有兩條，其方程分別是和，即和.16.已知數(shù)列的前n項和，數(shù)列的前n項和．（1）求，的通項公式；（2）若，求的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】1）由通項公式與前n項和的關(guān)系，作差即可求解；第10頁/共15頁（2）由錯位相減法即可求解；【小問1詳解】因為數(shù)列的前n項和，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時滿足上式，故．因為數(shù)列的前n項和，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時滿足上式，故．【小問2詳解】因為，所以，則，兩式相減得，化簡得．17已知數(shù)列，若，且．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（2）若，且數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1）證明見解析，第11頁/共15頁（2）【解析】1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可，求出的通項，即可得到的通項公式；（2）由（1）可得，則，利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】因為，所以，又，所以，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，則.【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值；（2）【解析】1）將代入，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的增減關(guān)系，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得答案；第12頁/共15頁（2）由題意可得即恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可．【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，則，故在上單調(diào)遞減，而，因此0是在上的唯一零點，即0是在上的唯一零點，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；所以的極大值為，無極小值；【小問2詳解】由題意知，即，即，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，第13頁/共15頁所以．所以的取值范圍為．19.已知函數(shù)，記，且，（1）求，；（2）設(shè)，，（?。┳C明：數(shù)列是等差數(shù)列；（ⅱ）數(shù)列的前n項和為，且對任意的，滿足，求的取值范圍.【答案】（1），（2【解析】1）利用求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運算法則求出的導(dǎo)數(shù)，再求的導(dǎo)數(shù)即得.（2i）求得，且ii）由等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和，不等式恒成立分離參數(shù)后求最大值即可得解.【小問1詳解】函數(shù)，，.【小問2詳解】（i）由（1）知，，又，可得，而，則，第14頁/共15頁所以數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，故，則，，從而