數(shù)字圖像處理課件 第4章（上） 圖像變換學(xué)習(xí)資料

圖像變換的作用傅立葉變換離散傅立葉變換傅立葉變換的性質(zhì)二維傅立葉變換離散余弦變換圖像變換的一般表達(dá)式圖像變換的矩陣表達(dá)式沃爾什變換哈達(dá)瑪變換小波變換第4章圖像變換

一.圖像變換的作用

圖像變換的定義 是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換

圖像變換的作用我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。但是，往往許多問題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面。

1.方便處理

2.便于抽取特性常用的變換傅立葉變換FourierTransform2.離散余弦變換DiscreteCosineTransform3.沃爾什－哈達(dá)瑪變換Walsh-HadamardTransform4.小波變換WaveletTransform二.傅立葉變換

傅立葉變換的作用（1）可以得出信號(hào)在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個(gè)不同的角度來看待圖像的問題，有時(shí)在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。

傅立葉變換的定義

傅立葉變換若f(x)為一維連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：

函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。傅里葉變換的條件

傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；

(2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；

(3)絕對可積;F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。高斯函數(shù)的定義為：例1高斯函數(shù)的傅立葉變換根據(jù)傅立葉變換的定義可得：令x+ju=t，上式可以化為：結(jié)論:與即，高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù)為傅立葉變換函數(shù)對。例2.矩形函數(shù)

矩形函數(shù)形式如下:

根據(jù)傅立葉變換的定義，其傅立葉變換如下：可得矩形函數(shù)f(x)的傅立葉頻譜為：幾何圖形如下頁圖(b)所示線性系統(tǒng)與傅立葉變換傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用

變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值。在小波變換沒有提出時(shí)，用來進(jìn)行壓縮編碼?？紤]到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用直接進(jìn)行時(shí)域中的卷積運(yùn)算是很復(fù)雜的。傅立葉變換將時(shí)域的卷積變換為頻域的乘積。三.離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義

要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個(gè)問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號(hào)，而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號(hào)（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。

離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義離散傅立葉正變換:離散傅立葉逆變換:四.傅立葉變換的性質(zhì)

共軛對稱性加法定理位移定理相似性定理卷積定理能量保持定理

共軛對稱性

加法定理

位移定理

相似性定理結(jié)論：一個(gè)“窄”的函數(shù)有一個(gè)“寬”的頻譜

旋轉(zhuǎn)不變性

由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)θ角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖所示。(a)(b)(d)(c)圖離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉(zhuǎn)45°后的圖像；（d）圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜

卷積定理能量保持定理五.二維傅立葉變換1.二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:二維傅立葉逆變換:采樣定理一維采樣定理：如果連續(xù)信號(hào)所含有的最高截止頻率為fc，則采樣率必須滿足： 才能保證采樣信號(hào)不失真地表示原信號(hào)，否則會(huì)產(chǎn)生頻率混迭誤差。采樣定理二維采樣定理：如果二維信號(hào)f(x,y)的傅立葉頻譜F(u,v)滿足： 其中Uc,Vc為相應(yīng)于空間位移變量x和y的最高截止頻率，則當(dāng) 采樣周期Δx，Δy滿足

時(shí)，用采樣信號(hào)f(Δx,Δy)m,n=-∞,…,-1,0,1,…,+∞能唯 一地恢復(fù)原信號(hào)f(x,y)2.二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義

根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個(gè)具有M×N個(gè)樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：(1)二維離散傅立葉正變換(2)二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：Δx、Δy和Δu、Δv，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關(guān)系：

式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實(shí)序列和虛序列。二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下：F(u，v)可以表示為如下形式：(1)．線性特性3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)(1)比例性質(zhì)=(3)平移性質(zhì)

二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用乘以f(x，y)，然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時(shí)，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。(4)可分離性

二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個(gè)二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進(jìn)行一維傅立葉變換在此基礎(chǔ)上對x進(jìn)行一維傅立葉變換變量分離步驟如圖所示

若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應(yīng)逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換N-1(0,0)f(x,y)N-1yxN-1(0,0)F(u,y)N-1yuN-1(0,0)F(u,v)N-1vu逐列變換逐行變換優(yōu)點(diǎn)：可以用同一個(gè)程序做兩次，簡化了編程(5)周期性

如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性：(6)共軛對稱性(7)旋轉(zhuǎn)不變性

圖像f(x，y)可以表示為f(r，θ)。同樣，空間頻率域的F(u，v)采用極坐標(biāo)可以表示為F(ρ，)。二維離散傅立葉存在如下旋轉(zhuǎn)特性：

(a)原始圖像(b)DFT變換(c)原始圖像旋轉(zhuǎn)45o(d)旋轉(zhuǎn)之后DFT變換結(jié)果(8)微分性質(zhì)(9)平均值性質(zhì)平均值定義如下平均值性質(zhì)如下：即：

結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點(diǎn)處值的1/MN。二維傅立葉變換(幅值及相位)意義左邊一列:

上方為原始圖像,下方為本圖的相關(guān)說明說明;中間一列:

上圖幅值譜,下圖為根據(jù)幅值譜的傅立葉逆變換(忽略相位信息,設(shè)相位為0);右邊一列:

上圖相位譜,下圖為根據(jù)相位譜的傅立葉逆變換(忽略幅值信息,設(shè)幅值為某一常數(shù));圖像的說明1.問題的提出：傅立葉變換的一個(gè)最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。六.離散余弦變換2.正變換：3.逆變換：其中：4.DCT變換的應(yīng)用：余弦變換實(shí)際上是傅立葉變換的實(shí)數(shù)部分。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國際壓縮標(biāo)準(zhǔn)的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。給高頻系數(shù)大間隔量化，低頻部分小間隔量化。返回返回Fourier變換的高通濾波另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1

返回壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1返回Fourier變換的低通濾波圖像變換的一般表達(dá)式正變換：反變換：圖像變換的一般表達(dá)式把常數(shù)因子分寫到正、反變換中，并令：圖像變換的一般表達(dá)式正、反變換的一般表達(dá)式可以寫成：g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)被稱為正、反變換核圖像變換的一般表達(dá)式正、反變換核是可分的：則正反變換的一般表達(dá)式可寫成：圖像變換