高考數(shù)學(xué)培優(yōu)微專題《斜柱體旋轉(zhuǎn)體為載體的度量計(jì)算問(wèn)題》解析版

⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A=A1D.(2)若此四棱柱的體積為2求二面角A-A1B-M的正弦值.因?yàn)锳1A=A1D，所以A1O⊥AD.又因?yàn)槠矫鍭1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，A1O?平面A1D1DA，所以A1O⊥平面ABCD，因此A1O為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.設(shè)AB=a，則AD=2AB=2a.因?yàn)锳A1⊥A1D，所以A1O=a，因?yàn)锳1O⊥平面ABCD，OM?平面ABCD，所以A1O⊥OM.OM.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(——→),OM)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(——→),OD)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—),O)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(→),1)因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，所以AB⊥A1D.又A1D⊥A1A，A1A∩AB=A，A1A，AB?平面A1B1BA，所以A1D⊥平面A1B1BA，因此平面AA1B的一個(gè)法向量因此sinθ=即二面角A-A1B-M的正弦值為2.如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=A1B=A1C=2，AC=3BC,AC⊥BC，D是AA1的中點(diǎn).A1⊥平面ABC；(Ⅱ)求直線DB與平面A1BC所成角的正弦值.所以CM=1，又因?yàn)锳A1=A1B=2，所以A1M⊥AB，且A1M=1，所以A1M2+CM2=A1C2，所以A1M⊥CM，又AB,CM?平面ABC，AB∩CM=M，A1M?平面ABC，所以A1M⊥平面ABC，而A1M?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.所以sinθ=3.如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，ΔABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O為BC的中點(diǎn)，A1O⊥平面ABC，點(diǎn)M在AO上，AM=2MO，NA1；(2)求二面角A1-OC1-B的正弦值.又AM=2MO，∴又MN?平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1A1.(2)因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O點(diǎn)，A1O⊥平面ABC，“BB1與平面ABC所成的角為，又AA1ⅡBB1，:AA1與平面ABC所成的角為，又A1O丄平面ABC，:AA1與平面ABC所成的角為上A1AO，即上A1AO=設(shè)二面角A1-OC1-B的大小為θ,即二面角A1-OC1-B的正弦值為.EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),AC)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),BC)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),BC)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),BC)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),BC)角的余弦值.:PO丄平面ABC，又BCC平面ABC，:PO丄BC，“E為劣弧BC的中點(diǎn)，:BC丄OE，“PO∩OE=O，PO，OEC平面POE，:BC丄平面POE.EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),BC)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),AC)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(八),BC)設(shè)平面PEO與平面PEB的夾角的平面角為θ,,(2)求二面角B-PC-B的余弦值.則，CO=BO=所以PA2+PB2==AB2，則∠APB=90°,所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB=P，所以PA⊥平面PBC；軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為=1，得≈2=-,y2=故cos<設(shè)二面角B-PC-B的大小為θ,則cosθ=______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.如圖，已知在斜平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB1⊥A1D1，A1B=AB=BB1=4，AD=2，A1C=25.A1⊥平面A1BC；(2)求二面角A-CA1-B的余弦值.因?yàn)锽C?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ABB1A1，所以平面ABCD⊥平面CDD1C1.在斜平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，由AB=BB1=4得四邊形ABB1A1為菱形，所以四邊形CDD1C1為菱形. 1=-，令z2=1，得y2=、3，所以平面BA1C的一個(gè)法向量為由圖可知二面角A-CA1-B為銳二面角，故二面角A-CA1-B的余弦值為.2.如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB//CD，AD=CD=BC=AB，E在以AB為直徑的半圓上(2)當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時(shí)，求二面角N-AE-B的余弦值.因?yàn)锳B?平面ABE，MF?平面ABE，所以MF∥平面ABE，同理可得NF//平面ABE，因?yàn)镸F∩NF=F，MF?平面MNF，NF?平面MNF，所以平面MNF//平面ABE，因?yàn)镸N?平面MNF，所以MN//平面ABE.因?yàn)槠矫鍱AB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD=AB，EO?平面ABE，所以EO⊥平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧AEB的中點(diǎn)，所以O(shè)與AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=DC=CD=AB=a，所以AE=EB===平面ABE的一個(gè)法向量為=(0,0,1(，則cos<,>==nmn由圖可知二面角N-AE-B的平面角為銳角， =3 =3,所以二成角N-AE-B的余弦值為.A1A=A1C=AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn).(Ⅱ)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.1EA1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，⊥BC.所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC.由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1是矩形.11BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上，連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線由于O是A1G的中點(diǎn)，故EO=OG=因此，直線EF與平面A1BC所成角的余，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以A1E⊥平面ABC.xyz.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(—→),F)，BEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(—→),C)=(-、3,1,0)，由=0，得EF⊥BC.(Ⅱ)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ,由(Ⅰ)得BEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—→),C)=(-、3,1,0)，AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—→),1C)=(0,2,-2、3(設(shè)平面A1BC的法向量n=(x,y,z(，則因此，直線EF與平面A1BC所成角的余4.在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O'的直(I)已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)已知EF=FB=AC=2，AB=BC．求二面角F-BC-A的余弦值.又HI∩GI=I,所以平面GHI?平面ABC，(II)解法一：連接OO',則OO'⊥平面ABC，又AB=BC,且AC是圓O的直徑，所以BO⊥AC.由題意得，過(guò)點(diǎn)F作FM垂直O(jiān)B于點(diǎn)M，所以=3,可得F故-23,-23,0),B—EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(—→),F)=(0,-3,3).設(shè),y,z)是平面BCF的一個(gè)法向量．由可得可得平面BCF的一個(gè)法因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量0,0,1),所以cos<所以二面角F-BC-A的余弦值為.又OO'⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC,可得FM=過(guò)點(diǎn)M作MN垂直BC于點(diǎn)N，連接FN，可得FN⊥BC,從而∠FNM為二面角F-BC-A的平面角.又因?yàn)锳B=BC,AC是圓O的直徑，所以MN=BMsin45°=從而可得cos∠FNM=所以二面角F-BC-A的余弦值為.形，且邊長(zhǎng)為3,E在母線PC上，且AE=3,CE=1,EC⊥BD.(1)求證：平面BED⊥平面ABD；(2)設(shè)線段PO上動(dòng)點(diǎn)為M，求直線DM與平面ABE所成角的正弦值的最大值.【解析】證明：如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)F,連接EF，易知PO⊥BD，又EC⊥BD,EC∩PO=P,EC,PO?平面AEC,∴BD⊥平面AEC，又EF?平面AEC,∴EF⊥BD．又△ABD是底面圓的內(nèi)接正由，可得AF=，AC=2．又AE=，CE=1，∴AC2=AE2+CE2,即∠AEC=90°.又，∴△ACE～△ACE，∴∠AFE=∠AEC=90°,即EF⊥AC．又AC,BD?平面ABD，AC∩BD=F，∴EF⊥平面ABD．又EF?平面BED，∴平面BED⊥平面ABD.則,0,0(,B(0,,0(,D(0,-,0(，E(0,0,(,P((,O(,0,0(設(shè)平面ABE的法向量為=(x,y,z(，設(shè)直線DM與平面ABE所成的角為θ,則sinθ=故直線DM與平面ABE所成角的正弦值的最大值為1.6.（24年高考題改編）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB(2)若AD⊥DC，且平面PAB與平面PCD所成的角的余弦值為求AD.【解析】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA