數(shù)學(xué)微專題限時(shí)強(qiáng)化訓(xùn)練《向量法度量角度和距離問題》解析版

①線線角_________________________________②線面角_________________________________③面面角_________________________________①線線角_________________________________②線面角_________________________________③面面角_________________________________點(diǎn).(1)求直線AB與DE所成角的余弦值；若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=設(shè)二面角F-DE-C的大小為θ,求sinθ的值.例2如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為矩形，AD=2AB，M為BC中D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A=A1D.(2)若此四棱柱的體積為2求二面角A-A1B-M的正弦值..因?yàn)锳1A=A1D，所以A1O⊥AD.又因?yàn)槠矫鍭1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，A1O?平面A1D1DA，所以A1O⊥平面ABCD，因此A1O為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.設(shè)AB=a，則AD=2AB=2a.因?yàn)锳A1⊥A1D，所以A1O=a，=1.因?yàn)锳1O⊥平面ABCD，OM?平面AB1因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，所以AB⊥A1D.又A1D⊥A1A，A1A∩AB=A，A1A，AB?平面A1B1BA，所以A1D⊥平面A1B1BA，因此平面AA1B的一個(gè)法向量設(shè)平面A1BM的法向量為,y，z)，因此sinθ=即二面角A-A1B-M的正弦值為(1)求平面PAB與平面PCD所成夾角的余弦值(2)設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，求直線l與平面PAB所成角的正弦值.所以PF⊥面ABCD，又因BF⊥CD，故以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz，則P=(-1,1，-、5)，A=(1,0,0)，設(shè)平面PAB的法向量為,y,z)，延長DA和CB，使其相交于點(diǎn)E，則面PAD與面PBC的交線l即為PE設(shè)直線l與平面PAB所成的角為θ,則sinθ=|cos<例1.在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點(diǎn).BD；(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.(3)求點(diǎn)A到B1C的距離；交A1B于點(diǎn)E，連接DE，則點(diǎn)E為AB1中點(diǎn)，因?yàn)镈E?平面A1BD，B1C?平面A1BD，所以B1C1BD；BD，所以B1C到平面A1BD的距離就等于點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.因?yàn)锳B=BC，且D是AC的中點(diǎn)，故BD⊥AC，而由直三棱柱的性質(zhì)可得，AA1⊥底面ABC，而AC，BDC底面ABC，故AA1丄BD，AA1丄AC，而AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點(diǎn)，故AD=DC=1，BD=32-1=22，設(shè)平面A1BD的法向量為=(x,y,z(，故直線B1C到平面A1BD的距離則A到B1C的距離為例2.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA丄平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).“底面ABCD為菱形，:AC丄BD，AC∩PA=A，AC，PAC平面PAC，:BD丄平面PAC，BDC平面PBD，:平面PBD丄平面PAC;解：-ABCD=2-ABCD=4-ACD=設(shè)菱形ABCD的邊長為a，取BC中點(diǎn)M，連接AM，結(jié)合題意得AM丄AD，“PA丄平面ABCD，AM、AD在平面ABCD內(nèi)， :PA丄AM、PA丄AD，:AM，AD，AP兩兩互相垂直，∴D到面AEC的距離為例3.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)=AB=4，E為棱AA1的中點(diǎn).所以B=(2,0,-2)，E=(2,2,2)，所以B·E=2×2+0+2×(-2)=0，所以B⊥E，故BC⊥C1E；(2)因?yàn)锽=(0,4,0)，=(-2,2,-2)，所以B=B+=B+λ=(2-2λ,2λ,-2-2λ)，設(shè)平面BB1M的法向量為,y,z)，則x+2λy-z=0，令x=1+λ,則因?yàn)锽=(2,0,-2)，1.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1丄平面ABCD，且AB=AD=(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B-A1D-A的余弦值.“AA1丄平面ABCD，AD、AxC平面ABCD，:AA1丄Ax，AA1丄AD，立空間直角坐標(biāo)系.:異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為；:二面角B-A1D-A的余弦值為平面A1BD；(2)求二面角A-A1D-B的正弦值；:AO丄BC.B1C1CB=BC，AOC平面ABC，:AO丄平面B1C1CB，“A.B=-2+2=0，A.B=-1+4-3=0:AB1丄BD，AB1丄BA1，即AB1丄BD，AB1丄BA1，又BD∩BA1=B，且BD，BA1C平面A1BD，:AB1丄平面A1BD；⊥平面A1BD，∴AB1為平面A1BD的法向量.∴二面角A-A1D-B的余弦值為-二面角A-A1D-B的正弦值為：BD的法向量，面ABC.(2)若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值為2，試求DC的長.又∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC又AD?平面ACD，∴AD⊥BC.不妨令x=1，則y=，又二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，:cosθ=4.在三棱錐A-BCD中，已知CB=CD=點(diǎn)F在BC上，滿足BF=(1)求點(diǎn)A到平面DEF的距離；—→—→—→令y1=-7，:x1=2，:=(-1,0,-2((Ⅱ)求點(diǎn)A到平面PBD的距離；(Ⅲ)求二面角A-PB-D的余弦值.“ABCD是菱形，:AC丄BD—→—→:DB.AP=0:DB丄AP“AC丄BD，AC∩AP=A:DB丄平面PAC，又DBC平面PDB:平面PBD丄平面PAC…(4分):點(diǎn)A到平面PBD的距離+y2=0:二面角A-PB-D的余弦值為12分)A1=C1B1=、5.B1C1..，AA1=2GO.B1=60。所以AO丄A1B1.又平面AA1B1B丄平面A1B1C1，平面A