高考數(shù)學(xué)解題技巧知識大全

高考數(shù)學(xué)解題技巧知識大全

第一部分高中數(shù)學(xué)活題巧解方法總論

一、代入法

若動點(diǎn)P（x,y）依賴于另一動點(diǎn)。（乙,打）而運(yùn)動，而。點(diǎn)的軌跡方程已知（也可能易

于求得）月.可建立關(guān)系式/=/（%）,%=g（x），于是將這個。點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式代入已知（或

求得）曲線的方程，化簡后即得P點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉(zhuǎn)移法或相關(guān)

點(diǎn)法。

【例1】（2009年高考廣東卷）已知曲線C：y=/與直線/：%—y+2=0交于兩點(diǎn)

&/，以）和8（4，%）,且記曲線,在點(diǎn)力和點(diǎn)6之間那一段/與線段46所圍

成的平面區(qū)域（含邊界）為D.設(shè)點(diǎn)P（s,f）是L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)尸與點(diǎn)A和點(diǎn)8均不重合.

若點(diǎn)。是線段48的中點(diǎn)，試求線段9的中點(diǎn)歷的軌跡方程；

【巧解】聯(lián)立y=》2與y=x+2得XA=-1，工8=2,則45中點(diǎn)。（萬,/）,

15

----FS----Ft

設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（x,y）,則x=2]—,》=2萬_,

即s=2x—」/=2y-2,又點(diǎn)P在曲線C上，

22

...2y-2=（2x—'）2化筒可得y=/—x+U,又點(diǎn)P是L上的任一點(diǎn)，

228

且不與點(diǎn)A和點(diǎn)8重合，則—1<2X—,<2,即一」<X<3,

244

中點(diǎn)M的軌跡方程為y=》2—x+U（-l<x<-）.

844

【例2】（2008年，江西卷）設(shè)Pa。，%）在直線x=m（yR±m(xù),0（加<1）上，過點(diǎn)P作雙

曲線/一/=1的兩條切線PA、PB,切前為A、B,定點(diǎn)、MC,0）。過點(diǎn)A作直線x-y=0

的垂線，垂足為N,試求AAMN的重心G所在的曲線方程。

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【巧解】設(shè)4內(nèi),必）,8（孫%），由已知得到必為?0,且片一＞=1，X-,⑴垂

線AN的方程為：y-y,=-%+%,,

由Pf=f+*得垂足N（?,土乜

,設(shè)重心G(x,y)

x-y=022

9x-3y——

1,1%+必、m

x=-（玉+—+」~」■）VY4

所以'3m2解得,

y=-（yi+o+-VJ-）9y-3x+—

D乙_m

仁v4

由x；—y；-1可得（3x—3y）（3x+3y—)=2

mn

i7

即（x—」一）2—產(chǎn)=士為重心G所在曲線方程

3m9

巧練一：（2005年，江西卷）如圖，設(shè)拋物線::y=—的焦點(diǎn)為F,動點(diǎn)P在直線

/:x—y—2=0上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B

兩點(diǎn).，求△APB的重心G的軌跡方程.

巧練二：（2006年，全國I卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個以5（0,-百）和心（0,百）

為焦點(diǎn)、離心率為且的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線G動點(diǎn)夕在。上，，在點(diǎn)P

2

處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為/、B,且向量?！?04+06,求點(diǎn)"的軌跡方程

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二、直接法

直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法叫直接法。從近幾年全國

各地的高考數(shù)學(xué)試題來看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。但解題時(shí)也要“盯住選項(xiàng)

特點(diǎn)”靈活做題，一邊計(jì)算，一邊對選項(xiàng)進(jìn)行分析、驗(yàn)證，或在選項(xiàng)中取值帶入題設(shè)計(jì)算，

驗(yàn)證、篩選而迅速確定答案。

22

【例1】（2009年高考全國II卷）已知雙曲線。：土？一4=1（?！?,/?＞0）的右焦點(diǎn)為F,

ab

過F且斜率為省的直線交C于A、B兩點(diǎn)。若港=4而，則C的離心率為（）

A7父Q

（A）-（B）-（C）-（D）-

5555

【巧解】設(shè)A（X］，H）,8（々,乃），E（c,O），由萬^=4而，得（c—玉,一%）=4（々一，,力）

；.%=-4y2,設(shè)過F點(diǎn)斜率為V3的直線方程為x=1+c,

x=+C、成*b22、22b2c4n

由＜5/3消去x得：(----a)y4—y+b=0>

b2x2-a2y2-a2h2^03C

6b2c6b2c

-3y2=-

V3(/?2-3?2)

，將必=-4為代入得＜化簡得

3b&3b4

~b2-3a2

2b2c

「2=限3-3a?).4/J=3-

’,2二，'*3(b2-3a2)2~4s2—3/)，

力~~4(b2-3a2)

6

化簡得：16c2=9(3/—b2)=9(3a2—c2+02),，25c2=36。2,e?=||,Mpe

u=5-

故本題選(A)

【例2】(2008年，四川卷)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x>/(x+2)=13,若

/⑴=2,貝丫(99)=()

132

(A)13(B)2(C)——(D)—

213

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【巧解】???/(x+2)=-^13-,.?./(x+4)=―1-3-=13=f(x)

〃x)/(x+2)13

fW

1313

.?.函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且T=4,.?./(99)=/(4x24+3)=/(3)=——=—

f(1)2

故選(C)

1,一

巧練一：(2008年，湖北卷)若/(x)=—耳/+/?始(》+2)在(―l,+oo)上是減函數(shù)，則力的取

值范圍是()

A.[—l,+oo)B.(—1,4-co)C.(-00,—1]D.(-oo,—1)

巧練二：(2008年，湖南卷)長方體ABCD—AIBTC以的8個頂點(diǎn)在同一個球面上，且AB2

AD二?AAi=lf則頂點(diǎn)48間的球面距離是()

A.2岳B,岳C.叵D.叵

24

三、定義法

所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。選擇題的命題側(cè)重于對圓錐曲線定義的考查，

凡題目中涉及焦半徑、通徑、準(zhǔn)線、離心率及離心率的取值范圍等問題，用圓錐曲線的第一和

第二定義解題，是種重要的解題策略。

[例1](2009年高考福建卷，理13)過拋物線V=2Px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的

直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的長為8,則/?=.

{__p_

【巧解】依題意直線的方程為y=x—K,由―5消去y得：

-y2=2px

x?-3px+』j-=0,設(shè)4七，%)，B(x2,y2),：.x{+x2=3p,根據(jù)拋物線的定義。

IBF1=x2+,IAF1=X]+],IAB\=+x2+p=4p=8,'?p=2,

故本題應(yīng)填2,

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【例2】(2008年，山東卷，理10)設(shè)橢圓G的離心率為二，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26.若

13

曲線G上的點(diǎn)到橢圓G的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8,則曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

2222

(A)[-々=1(B)二-4=1

423213252

2222

?『Ji(D)—

3242132122

【巧解】由題意橢圓的半焦距為c=5,雙曲線。2上的點(diǎn)「滿足

IIPF,I-1PF211=8<1F,F2I,.?.點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，其中c=5,a=4,：.b=3,故

22

雙曲線方程為二一2r=1，???選(A)

4232

巧練一：(2008年，陜西卷)雙曲線>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F”F,

a2b~2

過Fi作傾斜角為30。的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若垂直于x軸，則雙曲線的離心率為

()

A.y/hB.V3C.V2I).---

3

巧練二：(2008年，遼寧卷)已知點(diǎn)P是拋物線V=2x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)

的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()

(A)J(B)3(C)yfs(D)-

22

四、向量坐標(biāo)法

向量坐標(biāo)法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過坐標(biāo)化，把長度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)之

間的關(guān)系，使問題易于解決，并從一定程度上揭示了問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。在解題實(shí)踐中若能做到

多用、巧用和活用，則可源源不斷地開發(fā)出自己的解題智慧，必能收到事半功倍的效果。

【例11(2008年，廣東卷)在平行四邊形/靦中，AC與BD交于■點(diǎn)、0,￡是線段切的中點(diǎn)，

的延長線與切交于點(diǎn)五若HC=a,BD=b,則AE=()

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?21,

A.—a+—bB.—a+—bC.—a+—b

423324

【巧解】如圖所示，選取邊長為2的正方形4BCO

則B(2,0),C(2,2),0(0,2),0(1,1),E4》

y—3x2

...直線AE的方程為y=3x,聯(lián)立得/(一,2)

.y=23

、2'???'?一

...AF=(-,2)，設(shè)AF=xAC+yBD,則AF=x(2,2)+y(—2,2)=(2x-2y,2x+2y)

)一§解之得X=—，y=--AF=-AC+-BD=-a+-b,故本題選B

2x+2y=2333333

【例2】已知點(diǎn)。為A4BC內(nèi)一點(diǎn)，且04+206+300=0,則A4O8、AAOC、ABOC

的面積之比等于)

A.9：4：1B.1：4：9C.3：2：1D.1：2：3

【巧解】不妨設(shè)為等腰三角形，ZB=90°

AB=BC^3,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)5(0,0)

A(0,3),C(3,0),設(shè)。(x,y),

■:0A+20B+3OC=0,即(-x,3-y)+2(-x,-y)+3(3-x,-y)=(0,0)

6x=93i

：.\解之得x=—,y=—,即0(—又直線AC的方程為x+y—3=0,則點(diǎn)。

[6y=32-222

I-+1-3I

到直線AC的距離4=2__^=乂2,?,-|ACh372,因此SgoB=工1

TFTF224

1313

故選

S^oc--\BC\-\y\^-,S^oc^-\AC\-h^-,C

巧練一：(2008年，湖南卷)設(shè)D、E、F分別是AABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且

皮=2而，而=2豆，第=2而，則而+而+而與就()

A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直

巧練二：設(shè)。是A48C內(nèi)部一點(diǎn)，且豆+而=—2而，則A4O8與A4OC面積之比

是.

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五、查字典法

查字典是大家比較熟悉的，我們用類似“查字典”的方法來解決數(shù)字排列問題中數(shù)字比

較大小的問題，避免了用分類討論法時(shí)容易犯的重復(fù)和遺漏的錯誤，給人以“神來之法”的

味道。利用“查字典法”解決數(shù)字比較大小的排列問題的思路是“按位逐步討論法”（從最高

位到個位），查首位時(shí)只考慮首位應(yīng)滿足題目條件的情況；查前“2”位時(shí)只考慮前“2”位

中第“2”個數(shù)應(yīng)滿足條件的情況；依次逐步討論，但解題中既要注意數(shù)字不能重復(fù)，又要有

充分的理論準(zhǔn)備，如奇、偶問題，3的倍數(shù)和5的倍數(shù)的特征，0的特性等等。以免考慮不全

而出錯。

【例1】（2007年，四川卷）用數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000

大的五位偶數(shù)共有（）

（A）288個（B）240個（C）144個（D）126個

【巧解】本題只需查首位，可分3種情況，①個位為0,即xxxxO型，首位是2,3,4,5

中的任一個，此時(shí)個數(shù)為其田；②個位為2,即xxxx2,此種情況考慮到萬位上

不為0,則萬位上只能排3,4,5,所以個數(shù)為③個位為4,xxxx4型，此種

特點(diǎn)考慮到萬位上不為0,則萬位上只能排2,3,5,所以個數(shù)為故共有

=240個?故選（B）

【例2】（2004年全國II卷）在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，

大于23145且小于43521的數(shù)共有（）

A.56個B.57個C.58個D.60個

【巧解】（1）查首位：只考慮首位大于2小于4的數(shù)，僅有1種情況：即3xxxx型，此特點(diǎn)

只需其它數(shù)進(jìn)行全排列即可。有種，

（2）查前2位：只考慮前“2”位中比3既大又小的數(shù)，有4種情況：

24xxx,25xxx,41xxx,42xxx型，而每種情況均有種滿足條件，故共有4A?

種。

（3）查前3位：只考慮前“3”位中既比1大又小于5的數(shù)，有4種情況：

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234xx,235xx,431xx,432xx型，而每種情況均有A；種滿足條件，故共有48種。

（3）查前4位：只考慮前“4”位中既比4大又小于2的數(shù)，此種情況只有

23154和43512兩種情況滿足條件。故共有A：+4A：+4用+2=58個，故選C

巧練一：用數(shù)字0,12,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且不大于4310的四位偶數(shù)共有（）

A.110種B.109種C.108種D.107種

巧練二：（2007年,四川卷）用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字,并且比20000大的五

位偶數(shù)共有（）

（A）48個（B）36個（C）24個（D）18個

六、擋板模型法

擋板模型法是在解決排列組合應(yīng)用問題中，對一些不易理解且復(fù)雜的排列組合問題，當(dāng)

元素相同時(shí)，可以通過設(shè)計(jì)一個擋板模型巧妙解決，否則，如果分類討論，往往費(fèi)時(shí)費(fèi)力，

同時(shí)也難以解決問題。

【例1】體育老師把9個相同的足球放入編號為1,2,3的三個箱中，要求每個箱子放球的個

數(shù)不少于其編號，則不同的放球方法有（）

A.8種B.10種C.12種D.16種

【巧解】先在2號盒子里放1個小球，在3號盒子里放2個小球，余下的6個小球排成一排

為：。0。。0。，只需在6個小球的5個空位之間插入2塊擋板，如：00\00\00,每一

種插法對應(yīng)著一種放法，故共有不同的放法為=10種.故選B

【例2】兩個實(shí)數(shù)集A=｛q,4,…,%。｝，8=他也，…仇5｝，若從A到B的映射/使得B中

每個元素都有原象，且/（6）?/（a2）>--->f（a50）,則這樣的映射共有（）個

A.父：B.C49C.C50D.

【巧解】不妨設(shè)A和5兩個集合中的數(shù)都是從小到大排列，將集合A的50個數(shù)視為50個相

同的小球排成一排為：OOOOOOO……00,然后在50個小球的49個空位中插入24塊木

板，每一種插法對應(yīng)著一種滿足條件/（可"/（出）2…2/（%））對應(yīng)方法，故共有不同映

射共有種.故選B

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巧練一：兩個實(shí)數(shù)集合A={&,az,a,-,,,國—與!?-b2,b3,—,bio},若從A到B的是映

射『使B中的每一個元素都有原象，且（優(yōu)）W…WfE0）〈f（au）<…<f（a"），則這樣

的映射共有（）

A.G%個B.C；個C.個D.5'°-A'?

巧練二：10個完全相同的小球放在標(biāo)有1、2、3、4號的四個不同盒子里，使每個盒子都不空

的放法有（）種

A.24B.84C.120D.96

七、等差中項(xiàng)法

等差中項(xiàng)法是根據(jù)題目的題設(shè)條件（或隱含）的特征，聯(lián)想到等差數(shù)列中的等差中項(xiàng)，構(gòu)

造等差中項(xiàng)，從而可使問題得到快速解決，從而使解題過程變得簡捷流暢，令人賞心悅目。

【例1】（2008年，浙江卷）已知a20220,月4+匕=2,則（）

（A）ab<-（B）ab>-（C）a2+b2>2（D）a2+b2<3

22

【巧解】根據(jù)a+〃=2特征，可得成等差數(shù)列，1為。與b的等差中項(xiàng)?？稍O(shè)

ci=1—xf。=1+冗，其中一則ub=1—%2,ci2+b~=2+2x",

又0?工241,故2<a2+b2<4,由選項(xiàng)知應(yīng)選（C）

【例2】（2008年，重慶卷）已知函數(shù)y=J匚嚏+J7用的最大值為必最小值為必，則△的

M

值為（）

(A)-(B)-(C)—(D)—

4222

【巧解】由y：=J1-x+Jx+3可得，上為Jl—x與Jx+3的等差中項(xiàng)，

2

令—x=—+1fJx+3=——19其中If)，

222

則(上+。2+(工_。2=l—x+x+3=4,即(=2—匕,又則

2242

222

0</2<—,故042—匕〈匕，解之得24y42后，即M=2行，m=2

444

m2

=故選（C）

2

9/129

巧練：(2008年，江蘇卷)x,y,zeR*,x-2y+3z=0,1—的最小值_____________.

XZ

八、逆向化法

逆向化法是在解選擇題時(shí)，四個選項(xiàng)以及四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的都是

解題重要的信息。逆向化策略是把四個選項(xiàng)作為首先考慮的信息，解題時(shí)，要“盯住選項(xiàng)”,

著重通過對選項(xiàng)的分析，考查，驗(yàn)證，推斷進(jìn)行否定或肯定，或者根據(jù)選項(xiàng)之間的關(guān)系進(jìn)行邏

輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項(xiàng)。

【例1】(2008年，湖北卷)函數(shù)[(x)=L]n(Jx2—3x+2+J-%2-31+4)的

x

定義域?yàn)?)

A.(-a),-4]U[2,+a))B.(-4,0)11(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

【巧解】觀察四個選項(xiàng)取端點(diǎn)值代入計(jì)算即可，取x=l,出現(xiàn)函數(shù)的真數(shù)為0,不滿足，排

含有1的答案C,取x=-4代入計(jì)算解析式有意義，排不含有-4的答案B,取x=2出現(xiàn)二

次根式被開方數(shù)為負(fù)，不滿足，排含有2的答案A,故選D

評析：求函數(shù)的定義域只需使函數(shù)解析式有意義，凡是考查具體函數(shù)的定義域問題都可用特

值法代入驗(yàn)證快速確定選項(xiàng)。

【例2】(2008年，江西卷)已知函數(shù)/(x)=2機(jī)》?一2(4—〃?)x+l,g(x)=mx,若對于任一

實(shí)數(shù)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,8)

C.(2,8)D.(-00,0)

【巧解】觀察四個選項(xiàng)中有三個答案不含2,那么就取〃?=2代入驗(yàn)證是否符合題意即可，

取機(jī)=2,則有/(X)=4X2-4X+1=(2X-1)\這個二次函數(shù)的函數(shù)值/(x)>0對

xeR且XH；恒成立，現(xiàn)只需考慮g(x)=2x當(dāng)x=g時(shí)函數(shù)值是否為正數(shù)即可。這顯然

為正數(shù)。故機(jī)=2符合題意，排除不含機(jī)=2的選項(xiàng)A、C、Do所以選B

21+1

巧練一：(2007年，湖北卷)函數(shù)y=1—(X0)的反函數(shù)是()

2x—1

A.y=10g,￡±l(X-l)B.y=log,W(?1)

x—ix—l

10/129

c.y=log,三!?(K-l)D.y=log,±l(X>1)

x+1x+1

2

巧練二：(2004年，重慶卷)不等式x+——>2的解集是()

x+l

A.(—l,0)U(l,+8)B.(-o),-l)U(0,l)

C.(-l,0)U(0,l)D.(—8,-l)U(l,+8)

九、極限化法

極限化法是在解選擇題時(shí),有一些任意選取或者變化的元素,我們對這些元素的變化趨勢

進(jìn)行研究,分析它們的極限情況或者極端位置,并進(jìn)行估算，以此來判斷選擇的結(jié)果.這種通過

動態(tài)變化,或?qū)O端取值來解選擇題的方法是一種極限化法.

ApCF

【例1】正三棱錐A-BCD中，E在棱4B上，/在棱CO上，使——=——=/I(2>0),

EBFD

設(shè)a為異而直線EF與AC所成的角，，為異面直線EF與8。所成的角，則萬的

值是()

.71?7t「冗、7t

A.—B.—C.—D.—

6432

【巧解】當(dāng)/If0時(shí)，E->A,且尸一>C,從而EE->AC。因?yàn)锳C，80,排除選

擇支A,8,C故選D(或;If+8時(shí)的情況，同樣可排除A,8,C),所以選D

【例2】若〃=(3)"/=/,《=10821，當(dāng)/>1時(shí)，a,瓦c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

2

【巧解】當(dāng)xf0時(shí)，blT,cf0,故c<Q<b,所以選B

3

-jr

巧練一：若0<x<一,則2x與3sinx的大小關(guān)系()

2

A.2x>3sinxB.2x<3sinxC.2x=3sinxD.與x的取值有關(guān)

巧練二：對于任意的銳角a,夕，下列不等關(guān)系式中正確的是()

(A)sin(a+夕)>sina+sin，(B)sin(￡Z+/?)>cosa+cos(3

(C)cos(a+/7)>sina+sin/3(〃)cos(a+)3)<cosa+cosJ3

十、整體化法

整體化法是在解選擇題時(shí),有時(shí)并不需要把題目精解出來,而是從題目的整體去觀察,分

析和把握,通過整體反映的性質(zhì)或者對整體情況的估算,確定具體問題的結(jié)果，例如,對函數(shù)問

11/129

題,有時(shí)只需要研究它的定義域，值域,而不一定關(guān)心它的解析示式,對函數(shù)圖象,有時(shí)可以從

它的整體變化趨勢去觀察，而不一定思考具體的對應(yīng)關(guān)系,或者對4個選項(xiàng)進(jìn)行比較以得出結(jié)

論,或者從整體,從全局進(jìn)行估算,而忽略具體的細(xì)節(jié)等等，都可以縮短解題過程,這是一種從

整體出發(fā)進(jìn)行解題的方法.

【例1】已知。是銳角，那么下列各值中，sin。+cos?？赡苋〉降闹凳?)

A.-B.-C.-D.-

4332

【巧解】?.?sine+cos6=J^sin(0+X),又。是銳角，〈工

42

-<0+-<—,：.—<sin(^+-)<1,B|J1<V2sin(^+-)<V2,故選B

444244

[例2](2002年,全國卷)據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報(bào)告》指出“2001

年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上一年增長7.3%.”如果“十?五”期間(2001-2005年)

每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值按此年增長率增長，那么，到“十?五”末，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約為()

(A)115000億元(B)120000億元

(C)127000億元(D)135000億元

【巧解】注意到已知條件給出的數(shù)據(jù)非常精確，2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，精確

到億元,而四個選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)都是近似值，精確到千億元,即后三位都是0,因此,可以從整

體上看問題，忽略一些局部的細(xì)節(jié).

把95933億元近似地視為96000億元,又把0.0732近似地視為0.005,這樣一來,就有

95933x(l+7.3%)4?96000(1+4x0.073+6x0.0732)

?96000x(l+0.292+6x0.005)=126720?127000.

12/129

巧練二：(全國卷)如圖，在多面體/加如'中，I知面4及力是邊長為3的正方形，EF//AB,

3

EF=~,ZF與面的距離為2,則該多面體的體

2

9

?)-(8)5

2

96(〃)—

2

十一、參數(shù)法

在解題過程中，適當(dāng)引入一個或幾個新變量代替原式中的某些量，使得原式中僅含有這些

新變量，以此作為媒介，在進(jìn)行分析和綜合，然后對新變量求出結(jié)果，從而解決問題的方法

叫參數(shù)法。

/2

【例1】(2008年，安徽卷)設(shè)橢圓C:-y+4=l(a>8>0)過點(diǎn)用(及，1)，且左焦點(diǎn)為

ah

￡（-血,0）

(I)求橢圓。的方程;

(II)當(dāng)過點(diǎn)P(4,l)的動直線/與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,8時(shí)，在線段A3上取點(diǎn)Q,滿

足網(wǎng)?網(wǎng)=|網(wǎng)?網(wǎng),證明:點(diǎn)?？傇谀扯ㄖ本€上。

,2=2

21X1v2

【巧解】(1)由題意：1=+與=1,解得。2=4,〃=2,所求橢圓方程為上+—=1

a'b-42

c2=a2-b2

(2)由|而卜|誣|=|而卜|而|得："%設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為

...................................\PB\\QB\

由題設(shè)知網(wǎng)，廊，網(wǎng),網(wǎng)均不為零，記”標(biāo)=局,則

(匕y),(苞，乂),。2，%)

幾>0且；1*1,又A,P,B,Q四點(diǎn)共線，從而而=一4而，而=4班,

于是4=.內(nèi)]_NT%,=再+4%+?%

1-/1'1-2''1+2''1+2

x；一儲X；

從而=4x,①NJ②

1-22

又點(diǎn)A、B在橢圓C上，B|J

13/129

x：+2y；=4,...(3)x；+2y；=4,....④

①+②x2并結(jié)合③，④得4x+2y=4,即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線2x+y-2=0上。

【例2】（2004年，遼寧卷）設(shè)橢圓方程為/+竺=1,過點(diǎn)M（0,1）的直線/交橢圓于點(diǎn)

4

*]**11

A、B,0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP=5（OA+。B）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5,5）,當(dāng)/繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)

時(shí)，求動點(diǎn)P的軌跡方程；

【巧解】直線/過點(diǎn)M（0,1）設(shè)其斜率為k,則/的方程為y=Ax+l.

記4為，%）、8（々，乃），由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（占，%）、（/，力）是方程組

)'=丘+1①

的解.

一+?=1②

將①代入②并化簡得，（4+公）/+2任—3=0,所以

2k

X]+x

2-4+公

于是

8

%+。24+1.

而=1(3+而)=

）一（4+*4+儲

222

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則

-k

x,——,

<4+K消去參數(shù)k得4/+y2一y=（）③

4

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）,也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程

為41+y2-y=0.

巧練一：（2008年，全國I卷）直線土+）=1通過點(diǎn)M（cosa,sina）,則有（）

ab

A.a2+b2<1B.a2+b2>1C.與+與21D.與+二Kl

a2b2a2b2

巧練二：如圖，已知直線/與拋物線/=4y相切于點(diǎn)P（2,1）,且與x軸交于點(diǎn)4。為坐

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標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)6的坐標(biāo)為（2,0）.

（I）若動點(diǎn)M滿足瓦?麗+四1育1=0,求點(diǎn)M的軌跡C；

十二、交軌法

如果所求軌跡是兩條動曲線（包括直線）的交點(diǎn)所得，其般方法是恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)?個參數(shù),

寫出兩條動曲線的方程，消去參數(shù)，即得所求的軌跡方程，所以交軌法是參數(shù)法的一種特殊情

況。

【例1】已知橢圓G4+4=1（〃>%>0）的離心率為在，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)尸的距離

a2b23

為百.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)直線/經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)F交橢圓C交于A、B兩點(diǎn),分別過A、B作橢圓的兩條切線，

A、B為切點(diǎn)，求兩條切線的交點(diǎn)尸的軌跡方程。

cV6

【巧解】（I）設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意‘「=一-7'解之得c=J5

y

.=.?.所求橢圓方程為二+)，2=1.

3

(II)由⑴知尸(血,0),設(shè)B(x2,y2),P(Xo，y°),對橢圓/+/=]

2xxx

求導(dǎo)：—+2yy'=0,即y'=--,則過A點(diǎn)的切線方程PA為y-％=---(x-x)

33y3y1

整理得x/+3%y=3①同理過B點(diǎn)的切線方程PB為/x+3y2y=3②，又

15/129

P（Xo，y。）在兩切線PA、PB上，x/o+3%匕）=3

X2》0+3y2yo=3,因此，A（X]，M）,8。2，為）兩點(diǎn)在均在直線％0》+3）\）?=3上，

oB

又?.?以/1（））在直線/》+3孔>=3上，；.Xo及+3y0x0=3,即/=彳一為交點(diǎn)P的

軌跡方程

【例2】過拋物線C：y=/上兩點(diǎn)M,N的直線/交y軸于點(diǎn)P（0,b）.

（I）若NM0N是鈍角（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（H）若b=2,曲線C在點(diǎn)M,N處的切線的交點(diǎn)為Q.證明：點(diǎn)Q必在一條定直線上

運(yùn)動.

【巧解】（I）設(shè)點(diǎn)M,N坐標(biāo)分別為（王,x：）,（x2，x；）（x尸七）,則麗=（X],x；）,而=（x?,x；）.由題

（△=42+4/?>0

意可設(shè)直線/方程為y=kx+b,由Jy=/,

由'汨去y得x-kx-b=0,.\<x+x-k

[y=kx+b}2

[Xi-x2=-b

OM.ON

NMON是鈍角,/.cos/MON=~v0,且cos/MONw-1.

\0M\\0N\

由麗.而=占三+占2年=-b+b2<0,得0<b<l.

此時(shí)O,”,N三點(diǎn)不共勢,