第6章實數(shù)大單元教學(xué)設(shè)計滬科版數(shù)學(xué)七年級下冊

滬科版（2024）七年級下第6章實數(shù)大單元教學(xué)設(shè)計一、單元主題實數(shù)二、單元說明本單元內(nèi)容“實數(shù)”是初中數(shù)學(xué)知識體系的重要基石，它在有理數(shù)的基礎(chǔ)上進行拓展與深化。從知識發(fā)展脈絡(luò)來看，學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)，對數(shù)字有了一定的認知。而本單元引入無理數(shù)，構(gòu)建起完整的實數(shù)體系，使學(xué)生對數(shù)的認識實現(xiàn)從有理數(shù)到實數(shù)的跨越。在生活實際應(yīng)用中，實數(shù)無處不在。例如，在測量物體長度、計算圖形面積體積時，會遇到無法用有理數(shù)精確表示的情況，這時就需要無理數(shù)和實數(shù)的知識。從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部來看，實數(shù)的學(xué)習(xí)為后續(xù)方程、函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，如在一元二次方程求根時，根的情況可能涉及無理數(shù)；在函數(shù)圖像中，坐標(biāo)值也可能是無理數(shù)。因此，本單元知識具有承上啟下的關(guān)鍵作用，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升至關(guān)重要。三、課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根。2.了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負整數(shù)）的立方根。3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值。4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。5.了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并會按問題的要求對結(jié)果取近似值。四、教材分析本單元教材編排邏輯清晰，內(nèi)容豐富。在內(nèi)容呈現(xiàn)上，教材從生活實例和學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識出發(fā)，引出平方根、立方根的概念。例如，通過正方形面積與邊長的關(guān)系，讓學(xué)生理解平方根的概念；借助正方體體積與棱長的關(guān)系，引入立方根的概念。在講解無理數(shù)和實數(shù)概念時，教材通過計算一些無限不循環(huán)小數(shù)，如的近似值，引導(dǎo)學(xué)生認識無理數(shù)，進而構(gòu)建實數(shù)體系。教材注重知識的前后聯(lián)系，將實數(shù)的運算與有理數(shù)的運算規(guī)則進行類比和拓展，幫助學(xué)生理解和掌握。在欄目設(shè)置上，教材設(shè)有“思考”“探究”等欄目，如在探究無理數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系時，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，在數(shù)軸上嘗試表示無理數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和思維能力。同時，教材配備了豐富的例題和習(xí)題，從基礎(chǔ)到拓展，逐步提升學(xué)生對知識的應(yīng)用能力。五、核心素養(yǎng)鏈接1.數(shù)學(xué)眼光：通過對平方根、立方根、無理數(shù)等概念的引入，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，如從幾何圖形的邊長、體積計算中發(fā)現(xiàn)數(shù)的新特征，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的數(shù)學(xué)眼光。2.數(shù)學(xué)思維：在實數(shù)的運算、比較大小以及探索實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系等過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、運算能力和空間觀念。例如，通過對無理數(shù)運算規(guī)則的推導(dǎo)，鍛煉學(xué)生的邏輯推理思維；在利用數(shù)軸比較實數(shù)大小時，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維。3.數(shù)學(xué)語言：讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)符號語言準(zhǔn)確表達平方根、立方根、實數(shù)等概念和運算過程，如用表示a的平方根，用數(shù)學(xué)語言描述實數(shù)的性質(zhì)和運算法則，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達和交流能力。六、大概念數(shù)系的擴充源于實際需求和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展，實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱，它構(gòu)建了一個完備的數(shù)的體系，在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界中具有廣泛應(yīng)用。七、核心問題1.從有理數(shù)到實數(shù)，數(shù)系是如何擴充的？擴充的必要性體現(xiàn)在哪些方面？2.實數(shù)與數(shù)軸有著怎樣緊密的聯(lián)系？如何利用這種聯(lián)系解決數(shù)學(xué)問題？八、核心任務(wù)開展“探索數(shù)的奧秘——實數(shù)之旅”項目式學(xué)習(xí)活動。學(xué)生分組，通過查閱資料、實際測量、數(shù)學(xué)計算等方式，探究生活中哪些場景會出現(xiàn)無理數(shù)，如何用實數(shù)知識解決相關(guān)實際問題，并制作一份圖文并茂的項目報告，在班級中進行展示交流。九、教學(xué)安排（一）第一部分：平方根、立方根子任務(wù)一：認識平方根創(chuàng)設(shè)情境：展示一個面積為25平方米的正方形花壇，提問學(xué)生如何求其邊長。學(xué)生通過回憶正方形面積公式，能輕松得出邊長為5米。接著展示面積為2平方米的正方形，詢問邊長是多少，此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法用有理數(shù)準(zhǔn)確表示，從而引發(fā)認知沖突，引出平方根的概念。知識講解：教師給出平方根的定義：如果一個數(shù)x的平方等于a，即=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根。以9為例，講解因為=9，=9，所以9的平方根是3。同時，介紹平方根的表示方法，用表示a的平方根，其中a稱為被開方數(shù)，強調(diào)被開方數(shù)必須是非負數(shù)。練習(xí)鞏固：讓學(xué)生求16、0、等數(shù)的平方根，教師巡視指導(dǎo)，及時糾正學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤，如忽略負平方根等問題。設(shè)計意圖：從實際問題引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，讓學(xué)生在具體情境中理解平方根的概念，通過練習(xí)鞏固對概念的掌握。子任務(wù)二：探究算術(shù)平方根對比引入：在學(xué)生掌握平方根概念后，教師提出問題：在實際生活中，我們求正方形邊長時，邊長通常是一個正數(shù)。對于一個正數(shù)的平方根，其中那個正的平方根具有特殊的意義，我們把它叫做算術(shù)平方根。引導(dǎo)學(xué)生對比平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系。舉例說明：以16為例，它的平方根是，而算術(shù)平方根是4，用=4表示。強調(diào)0的算術(shù)平方根是0。拓展應(yīng)用：給出一些實際問題，如一個正方形場地的面積為36平方米，求其邊長（用算術(shù)平方根求解），讓學(xué)生體會算術(shù)平方根在實際中的應(yīng)用。設(shè)計意圖：通過對比，加深學(xué)生對算術(shù)平方根概念的理解，明確其與平方根的關(guān)系，通過實際應(yīng)用，提高學(xué)生運用知識解決問題的能力。子任務(wù)三：立方根的學(xué)習(xí)類比遷移：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平方根的學(xué)習(xí)過程，提出如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)與a有怎樣的關(guān)系呢？從而引出立方根的概念。類比平方根的定義，給出立方根的定義：如果一個數(shù)x的立方等于a，即=a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根，用表示。實例分析：以8為例，因為=8，所以8的立方根是2，即=2；對于8，因為=8，所以8的立方根是2，即=2。讓學(xué)生思考立方根的性質(zhì)，與平方根進行對比，總結(jié)出正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0。課堂練習(xí)：安排學(xué)生求27、1、等數(shù)的立方根，強化對立方根概念的理解和計算能力。設(shè)計意圖：利用類比的方法，讓學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上自主探究立方根的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力和自主學(xué)習(xí)能力。綜合練習(xí)與總結(jié)綜合練習(xí)：給出一些綜合性的題目，如已知=16，求x；已知=27，求y；已知+=0，求a+b的值等，考查學(xué)生對平方根、算術(shù)平方根和立方根知識的綜合運用能力。課堂總結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平方根、算術(shù)平方根和立方根的概念、表示方法、性質(zhì)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系。設(shè)計意圖：通過綜合練習(xí)，提升學(xué)生對知識的綜合運用和解題能力，課堂總結(jié)有助于學(xué)生梳理知識，加深記憶。（二）第二部分：無理數(shù)和實數(shù)子任務(wù)一：發(fā)現(xiàn)無理數(shù)實驗探究：讓學(xué)生用計算器計算，觀察其小數(shù)點后的數(shù)字特征，發(fā)現(xiàn)它是一個無限不循環(huán)小數(shù)。接著讓學(xué)生在數(shù)軸上嘗試表示，通過尺規(guī)作圖的方法，以單位長度為邊長作一個正方形，其對角線長度即為，然后用圓規(guī)將其在數(shù)軸上表示出來。學(xué)生在操作過程中，體會到有些數(shù)無法用有理數(shù)精確表示，從而引出無理數(shù)的概念。概念講解：教師給出無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。并舉例說明，如、等都是無理數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生思考無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，有理數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)形式，而無理數(shù)不能。拓展延伸：讓學(xué)生思考生活中還有哪些地方可能會出現(xiàn)無理數(shù)，如在計算圓的周長和面積時用到的，在一些物理實驗數(shù)據(jù)中也可能出現(xiàn)無理數(shù)等，拓寬學(xué)生的視野。設(shè)計意圖：通過實驗探究和實際操作，讓學(xué)生直觀地感受無理數(shù)的存在，理解無理數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探究精神。子任務(wù)二：構(gòu)建實數(shù)體系分類歸納：教師引導(dǎo)學(xué)生將有理數(shù)和無理數(shù)進行整合，給出實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。然后讓學(xué)生對實數(shù)進行分類，按照定義可分為有理數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)）和無理數(shù)；按照正負可分為正實數(shù)、零、負實數(shù)。通過列表的方式，讓學(xué)生清晰地看到實數(shù)的分類結(jié)構(gòu)。數(shù)軸對應(yīng)：進一步探究實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，讓學(xué)生思考每一個實數(shù)是否都能在數(shù)軸上找到對應(yīng)的點，反之，數(shù)軸上的每一個點是否都表示一個實數(shù)。通過之前在數(shù)軸上表示等無理數(shù)的操作，以及有理數(shù)在數(shù)軸上的表示方法，引導(dǎo)學(xué)生得出實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的結(jié)論。教師強調(diào)這一結(jié)論的重要性，它為后續(xù)利用數(shù)軸解決實數(shù)問題提供了理論依據(jù)。設(shè)計意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建完整的實數(shù)體系，理解實數(shù)的分類和實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分類思想和數(shù)形結(jié)合思想。子任務(wù)三：實數(shù)的運算與大小比較運算規(guī)則：教師類比有理數(shù)的運算規(guī)則，講解實數(shù)的運算。對于加、減、乘、除、乘方運算，在有理數(shù)運算的基礎(chǔ)上，將無理數(shù)納入運算范圍。例如，2+就是一個實數(shù)加法運算，其結(jié)果仍然是一個實數(shù)。對于實數(shù)的混合運算，同樣遵循先乘方、開方，再乘除，最后加減的順序，如果有括號，先算括號里面的。通過具體的例題，如(2+)×，詳細演示運算過程，讓學(xué)生掌握實數(shù)運算的方法。大小比較：介紹實數(shù)大小比較的方法。對于有理數(shù)和無理數(shù)的比較，可通過估算無理數(shù)的大致范圍來進行。例如，比較3和的大小，因為=3，>，所以>3。對于兩個無理數(shù)的比較，可采用平方法、作差法等。如比較和+1的大小，可將它們分別平方，()^2=5，(+1)^2=3+2+1=4+2，因為4+2>5，所以+1>。通過大量的實例練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握實數(shù)大小比較的方法。課堂練習(xí)：安排學(xué)生進行實數(shù)運算和大小比較的練習(xí)，題目涵蓋不同類型，如簡單的加減乘除運算、含根號的混合運算、實數(shù)大小比較等，教師巡視指導(dǎo)，及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。設(shè)計意圖：讓學(xué)生掌握實數(shù)的運算規(guī)則和大小比較方法，提高學(xué)生的運算能力和邏輯思維能力，通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識。項目式學(xué)習(xí)活動指導(dǎo)活動布置：在本部分教學(xué)接近尾聲時，布置“探索數(shù)的奧秘——實數(shù)之旅”項目式學(xué)習(xí)活動任務(wù)。向?qū)W生詳細說明活動要求，包括分組方式（每組45人）、探究內(nèi)容（生活中的無理數(shù)實例、用實數(shù)知識解決實際問題）、報告制作規(guī)范（包含文字說明、數(shù)據(jù)圖表、實際案例分析等）以及展示時間安排等。過程指導(dǎo)：在學(xué)生開展項目活動過程中，教師定期組織小組匯報進展，了解學(xué)生在探究過程中遇到的問題和困難，并給予針對性的指導(dǎo)。例如，當(dāng)學(xué)生在尋找生活中無理數(shù)實例遇到困難時，教師可引導(dǎo)學(xué)生從建筑設(shè)計中的分割比例、機械制造中的零件尺寸精度等方面思考；當(dāng)學(xué)生在運用實數(shù)知識解決實際問題時方法不當(dāng)，教師可提示學(xué)生回顧所學(xué)的實數(shù)運算、大小比較等知識，重新梳理問題解決思路。設(shè)計意圖：通過項目式學(xué)習(xí)活動，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力、團隊協(xié)作能力和創(chuàng)新實踐能力，讓學(xué)生在實踐中深化對實數(shù)知識的理解和應(yīng)用。十、教學(xué)評價1.課堂表現(xiàn)評價：觀察學(xué)生在課堂討論、小組活動、回答問題等環(huán)節(jié)中的參與度和表現(xiàn)。例如，在探究無理數(shù)與數(shù)軸關(guān)系的小組活動中，評價學(xué)生是否積極參與討論、提出有價值的觀點，是否能與小組成員有效合作完成任務(wù)等，及時給予鼓勵和指導(dǎo)。2.作業(yè)評價：認真批改學(xué)生的課后作業(yè)，包括書面作業(yè)和項目報