小題突破導(dǎo)數(shù)?？夹☆}歸納【切線單調(diào)性極值最值與不等式】

【導(dǎo)數(shù)?？夹☆}題型歸納】【真題+模擬精選】總覽總覽題型梳理題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：在某點出的切線方程】知識講解知識講解1.明確切線的定義：切線是指一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。對于函數(shù)，在點處的切線，是當割線的兩個端點無限趨近于該點時，割線的極限位置所確定的直線。2.求切線斜率：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處切線的斜率。所以，首先需要對函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)函數(shù)中，得到切線的斜率。3.確定切點坐標：已知要求切線方程的點為，其中。這個點既在曲線上，也在切線上。4.使用點斜式求切線方程：點斜式方程為，將求得的斜率和切點坐標代入點斜式方程，即可得到曲線在點處的切線方程。例題精選例題精選【例題1】（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.故選：A.【例題2】（2023·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C【例題3】（2021·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2019·天津·高考真題）曲線在點處的切線方程為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程．【詳解】，當時其值為，故所求的切線方程為，即．【點睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．【相似題2】（2019·全國I卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】.【分析】本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】準確求導(dǎo)數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導(dǎo)數(shù)的運算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計算錯誤．求導(dǎo)要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．【相似題3】（2015·新課標Ⅱ·高考真題）已知曲線在點處的切線與曲線相切,則a=．【答案】8【詳解】試題分析：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以切線方程為；曲線的導(dǎo)函數(shù)的為，因與該曲線相切，可令，當時，曲線為直線，與直線平行，不符合題意；當時，代入曲線方程可求得切點，代入切線方程即可求得.考點：導(dǎo)函數(shù)的運用.【方法點睛】求曲線在某一點的切線，可先求得曲線在該點的導(dǎo)函數(shù)值，也即該點切線的斜率值，再由點斜式得到切線的方程，當已知切線方程而求函數(shù)中的參數(shù)時，可先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)的值等于切線的斜率，這樣便能確定切點的橫坐標，再將橫坐標代入曲線（切線）得到縱坐標得到切點坐標，并代入切線（曲線）方程便可求得參數(shù)．【題型2：過某點的切線方程或未知切點的切線問題】知識講解知識講解1.判斷該點是否在曲線上 把該點的坐標代入曲線方程，如果等式成立，則該點在曲線上；否則，該點不在曲線上。2.當點在曲線上時 設(shè)切點坐標為，因為點在曲線上，所以。 對函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點處的切線斜率。 由點斜式可得切線方程為。3.當點不在曲線上時 設(shè)切點坐標為，則。 對函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，那么切線斜率。 由點斜式寫出切線方程。 因為切線過已知點，將其代入切線方程可得。 又因為，所以得到關(guān)于的方程，解這個方程求出的值。 將的值代入和，再利用點斜式即可寫出切線方程。例題精選例題精選【例題1】（2007·全國·高考真題）已知曲線y＝－3lnx的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)切點為，，由題知：，所以，解得：或（舍去）.故選：A【例題2】（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．【答案】【分析】分和兩種情況，當時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當時設(shè)切點為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；解：因為，當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.【例題3】（2020·全國I卷·高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.【答案】【分析】設(shè)切線的切點坐標為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】設(shè)切線的切點坐標為，，所以切點坐標為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2004·湖南·高考真題）經(jīng)過點P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線平行的直線的方程是．【答案】2x－y＋4＝0.【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再根據(jù)兩直線平行得到所求直線的斜率，最后根據(jù)點斜式即可求得答案.【詳解】因為y′＝6x－4，所以y′|x＝1＝2，所以所求直線方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.故答案為：2x－y＋4＝0【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了直線方程的點斜式，屬于基礎(chǔ)題.【相似題2】（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（e，1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.【答案】.【分析】設(shè)出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.【詳解】設(shè)點，則.又，當時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當時，，當時，，且，當時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標為.【點睛】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．【相似題3】（2008·江蘇·高考真題）直線是曲線的一條切線，則實數(shù)．【答案】【詳解】本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法．，令得，故切點為，代入直線方程，得，所以．【題型3：切線的條數(shù)問題】知識講解知識講解1.設(shè)切點設(shè)切點坐標為，其中。因為切線是在切點處與曲線相切的直線，所以設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵第一步。2.求切線方程對函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點處的切線斜率。由點斜式可得切線方程為。3.代入已知點如果是過某已知點作曲線的切線，將該點代入切線方程，得到。4.轉(zhuǎn)化為方程求解將代入上式，得到關(guān)于的方程。此時方程的解的個數(shù)就是切線條數(shù)。一般來說，這個方程可能是一個超越方程或高次方程，需要通過分析函數(shù)的性質(zhì)來確定解的個數(shù)。5.分析函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)：將關(guān)于的方程變形為的形式，構(gòu)造函數(shù)。求導(dǎo)分析單調(diào)性：對求導(dǎo)，分析其單調(diào)性和極值情況。通過判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值與的關(guān)系，來確定函數(shù)與軸的交點個數(shù)，即方程的解的個數(shù)，從而得出切線條數(shù)。例題精選例題精選【例題1】（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.【例題2】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）過軸上一點可以作函數(shù)圖像的3條切線，則的取值范圍是：（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出切線方程，將點代入切線方程，轉(zhuǎn)化為交點問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，所以，設(shè)切點為，則切線方程，而過，將代入方程得到，令，，令，，此時單調(diào)遞減，令，，此時單調(diào)遞增，故有極小值，有極大值，則得到，故A正確.故選：A.【例題3】（2024·山東·模擬預(yù)測）若過點可以作的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出切點坐標，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，用表示出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象性質(zhì)，進而求出的范圍.【詳解】依題意，設(shè)切點坐標為，由，求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，由切線過點，得，令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，，當或時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得極小值，而當時，恒有，又，因此當時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點處的切線斜率，切點未知，設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)出切點橫坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：【相似題2】（2425高三下·湖南永州·開學(xué)考試）若曲線與曲線有三條公切線，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，分別設(shè)出兩條曲線的切線方程，將問題轉(zhuǎn)化為一條直線與一條曲線交點個數(shù)問題，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)公切線為是與的切點，由，得，設(shè)是與的切點，由，得，所以的方程為，因為，整理得，同理，因為，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個不等實根，設(shè)，即直線與曲線有三個不同的交點，因為，令，則，當或時，；當時，，所以有極小值為，有極大值為，因為，，，所以，當趨近于時，趨近于0；當趨近于時，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當，即時，直線與曲線有三個交點，故答案為：【題型4：公切線問題，切線垂直問題】知識講解知識講解1.明確兩條曲線的方程 設(shè)兩條曲線分別為和，清楚它們的具體表達式，以便后續(xù)進行求導(dǎo)等運算。2.分別求兩條曲線的導(dǎo)數(shù) 對求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點處切線的斜率，所以和分別表示兩條曲線在任意點處切線的斜率。3.設(shè)公切線與兩條曲線的切點 設(shè)公切線與曲線的切點為，與曲線的切點為。 則，。4.根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出公切線方程 對于曲線，在點處的切線方程為，即。 對于曲線，在點處的切線方程為，即。5.利用公切線的條件建立等式 因為是公切線，所以兩條切線方程表示的是同一條直線，那么它們的斜率和截距都相等。 可得方程組。6.分析方程求解及公切線條數(shù) 通過解方程組來確定和的值。 一般情況下，將進行變形，用表示（或反之），代入中，得到一個關(guān)于（或）的方程。 然后分析這個方程解的個數(shù)： 若方程有唯一解，則公切線有條。 若方程有兩個不同的解，則公切線有條。 若方程無解，則公切線不存在。 在分析方程解的個數(shù)時，可能需要對得到的方程進行進一步的變形和分析，比如構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)來確定函數(shù)零點的個數(shù)，即方程解的個數(shù)，從而確定公切線條數(shù)。例題精選例題精選【例題1】（2020·全國III卷·高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題【例題2】（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：【例題3】（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）已知曲線的切線與曲線也相切，若該切線過原點，則．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點處的切線方程過原點得出切線方程為，再次利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的切點，再帶入點計算求參.【詳解】因為的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點為，所以切線斜率為，所以曲線在處的切線過原點，所以，即，所以，切線為，又切線與曲線相切，設(shè)切點為，因為，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為：.【相似題2】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則.【答案】/【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可分別用和表示出切線方程，根據(jù)切線方程相同可構(gòu)造方程組，化簡得到，代入所求式子整理即可.【詳解】曲線在點處的切線與曲線相切于點，，∴曲線在點處的切線斜率，曲線在點處的切線斜率，∴曲線在點處的切線方程為，或，，即，，易知，，.故答案為：.【點睛】思路點睛：求導(dǎo)數(shù)中的公切線問題的基本思路是假設(shè)切點坐標后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義分別表示出兩函數(shù)切點處的切線方程，由兩方程形式一致可構(gòu)造方程組來求解相關(guān)問題.【相似題3】（2025·浙江·一模）在動畫和游戲開發(fā)中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩條曲線在公共點處有相同的切線，且曲線不重合，則稱兩條曲線相切.設(shè)兩拋物線與相切，則.【答案】/0.375【分析】由題意得出兩拋物線在第一象限相切，設(shè)兩拋物線的公共切點為，借助導(dǎo)數(shù)，求出兩條曲線在該點處的切線斜率，利用斜率相等建立方程求出切點坐標，代入函數(shù)即可得解.【詳解】由題意可知，兩拋物線與只可能在第一象限相切；設(shè)兩個拋物線相切于，在該點處的切線的斜率為，拋物線在第一象限的圖象為函數(shù)在第一象限的圖象,函數(shù)在該點處的切線的斜率為：，所以有，解方程得：，所以切點為代入，解得.故答案為：【題型5：求函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)范圍】知識講解知識講解導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性知識講解：對于函數(shù)，在某區(qū)間內(nèi)，若，函數(shù)單調(diào)遞增；若，函數(shù)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)為零的點是駐點，駐點對單調(diào)性判斷有重要意義。解題思路對函數(shù)求導(dǎo)得。令，求駐點。依據(jù)駐點劃分定義域區(qū)間，判斷各區(qū)間正負。根據(jù)正負確定函數(shù)在各區(qū)間單調(diào)性。已知單調(diào)性求參數(shù)范圍知識講解：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，是將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的不等式恒成立問題，再求解參數(shù)范圍。解題思路若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則在區(qū)間恒成立；若單調(diào)遞減，則在區(qū)間恒成立。把（或）轉(zhuǎn)化為含參數(shù)不等式。通過分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)等方法解不等式，得出參數(shù)取值范圍。例題精選例題精選【例題1】（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．【例題2】（2019·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是．【答案】1;.【分析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)的解析式可得a的取值范圍.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則，對任意的恒成立.若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,.即實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問題.注重重點知識?基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查.【例題3】（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2014·大綱版·高考真題）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】解法一：時，是減函數(shù)，又，∴由得在上恒成立，．解法二：由，令，則，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以在遞減，又的對稱軸為，且開口向下，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【相似題2】（2025·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定的單調(diào)性列出恒成立的不等式求解.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，而當時，，則，所以a的取值范圍為.故答案為：【相似題3】（2025·山西·一模）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，由，進而可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進而可得.【詳解】，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，又，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，的取值范圍是.故答案為：【題型6：函數(shù)的極值與最值】知識講解知識講解導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值知識講解：函數(shù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0（但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點）。若在點左側(cè)，右側(cè)，則為極大值點；反之，左側(cè)，右側(cè)，為極小值點。解題思路對函數(shù)求導(dǎo)得。令，求解得到可能的極值點。以這些點劃分區(qū)間，判斷各區(qū)間正負，確定是極大值點還是極小值點，進而求出極值。導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值知識講解：函數(shù)在閉區(qū)間$[a,b]$上的最值，可能在端點處取得，也可能在極值點處取得。解題思路按求極值步驟求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值。計算函數(shù)在區(qū)間端點與的值。比較極值與端點值，其中最大的為最大值，最小的為最小值。例題精選例題精選【例題1】（2022·全國乙卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D【例題2】（2022·全國甲卷·高考真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.【例題3】（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】多選題（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD【相似題2】（2022·全國乙卷·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．【相似題3】（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）函數(shù)的最小值為.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.【題型7：三次函數(shù)的性質(zhì)】知識講解知識講解1.表達式：三次函數(shù)的一般形式為（）。2.單調(diào)性 當時，函數(shù)先遞減后遞增再遞減，或先遞增后遞減再遞增。 當時，函數(shù)先遞增后遞減再遞增，或先遞減后遞增再遞減。 其單調(diào)性可通過求導(dǎo)來確定，對求導(dǎo)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性。3.極值：三次函數(shù)可能有兩個極值點，也可能沒有極值點。令，根據(jù)判別式來判斷： 當時，函數(shù)有兩個不同的極值點。 當時，函數(shù)無極值點。4.對稱性：三次函數(shù)的圖像是中心對稱圖形，其對稱中心的橫坐標為，將代入函數(shù)可得到對稱中心的縱坐標。5.零點個數(shù) 當時，若函數(shù)的極大值大于且極小值小于，則函數(shù)有三個不同的零點；若極大值等于或極小值等于，則函數(shù)有兩個零點；若極大值小于或極小值大于，則函數(shù)有一個零點。 當時，情況與時類似，只是極大值與極小值的大小關(guān)系相反。6.漸近線：三次函數(shù)沒有漸近線。7.值域：當時，值域為；當時，值域也為。8.拐點：三次函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，令，解得，所以三次函數(shù)的拐點為，這也是函數(shù)的對稱中心。在拐點處，函數(shù)的凹凸性發(fā)生改變。例題精選例題精選【例題1】多選題（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.【例題2】多選題（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.【例題3】多選題（2025·河北石家莊·一模）函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當時，的極小值為0B．若有3個零點，，，則C．若，則為奇函數(shù)D．當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的極小值，即可判斷A；利用韋達定理求出的零點之和判斷B；利用奇函數(shù)的定義判斷C；利用的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負判斷D.【詳解】對于A，當時，，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以為的極小值，故A錯誤；對于B，由可知是其一個零點，令，令，設(shè)是的兩個根，由韋達定理得，所以，若函數(shù)的3個零點為，，，則，故B正確；對于C，令，當時，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，，因為當時，，當時，，所以，所以，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】多選題（2025·遼寧鞍山·二模）已知函數(shù)滿足，，則（

）A．B．對于任意，有三個零點C．對于任意，有兩個極值點D．存在，使得點為曲線對稱中心【答案】AB【分析】根據(jù)，即可判斷A；由A選項知，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)零點的存在性定理即可判斷B；舉出反例，結(jié)合極值點的定義即可判斷C；要使點為曲線對稱中心，則為定值，由此即可判斷D.【詳解】對于A，由，，可得，即，故A正確；對于B，由A選項可得，則，則，當時，令，則，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，可得，而，所以，又當時，，當時，，所以函數(shù)在和都存在一個零點，所以對于任意，有三個零點，故B正確；對于C，當時，，則，由，得恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無極值點，故C錯誤；對于D，要使點為曲線對稱中心，則為定值，而，因為為定值，所以，解得，所以不存在，使得點為曲線對稱中心，故D錯誤.【相似題2】多選題（2025·江西宜春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．有3個零點B．的圖象關(guān)于點對稱C．既有極大值又有極小值D．經(jīng)過點且與的圖象相切的直線有2條【答案】ACD【分析】因式分解，解方程可判斷A的真假；求的值，可判斷B的真假；結(jié)合函數(shù)草圖，可判斷C的真假；寫出函數(shù)在處的切線方程，根據(jù)切線過點確定的個數(shù)，判斷D的真假.【詳解】對A：由或或.所以函數(shù)有3個零點.故A正確；對B：因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B錯誤；對C：因為函數(shù)有3個零點，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)草圖如下：所以函數(shù)既有極大值又有極小值.故C正確；對D：設(shè)函數(shù)圖象上任意一點，因為，所以函數(shù)在該點處的切線方程為：，因為切線過點，所以，整理得：，因式分解得：或.故過點與函數(shù)的圖象相切的直線有兩條.故D正確.故選：ACD【相似題3】多選題（2425高三下·甘肅白銀·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．0是的極小值點B．當時，C．若，則D．若存在極大值點，且，其中，則【答案】ACD【分析】討論a的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進而判斷A；當時，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，判斷，的大小關(guān)系，進而判斷B；根據(jù)題意推得，在根據(jù)對稱性計算即可判定C；若存在極大值點，則，即，因為，化簡等式，即可判斷【詳解】由題意可得，令，當時，得或，對于A，當時，令，解得或，則在和上單調(diào)遞增，令，解得，則在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，同理，當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；對于B，當時，在上單調(diào)遞減，又，，所以，故B錯誤；對于C，若，則，則.所以，，則，故C選項正確.對于D，若存在極大值點，則，即，因為，所以，所以，，即，又，所以，故D正確.故選：ACD.【題型8：函數(shù)的零點問題】知識講解知識講解1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對給定的函數(shù)求導(dǎo)，得到。通過導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)。2.分析函數(shù)單調(diào)性：根據(jù)的正負性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令，解得的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解得的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。3.確定函數(shù)的極值點和極值：令，求出函數(shù)的極值點。將極值點代入中得到對應(yīng)的極值。這些極值對于判斷函數(shù)零點的個數(shù)非常關(guān)鍵。4.分析函數(shù)的端點值或極限值：計算函數(shù)在區(qū)間端點處的值，或者考慮當趨近于正無窮、負無窮時函數(shù)的極限值。結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值，來確定函數(shù)與軸的交點情況。5.根據(jù)零點存在定理判斷零點個數(shù)：如果函數(shù)在某區(qū)間兩端點的值異號，即，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點。再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，進一步確定零點的具體個數(shù)。例題精選例題精選【例題1】（2023·全國乙卷·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.【例題2】（2015·新課標Ⅰ·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數(shù)，，當時，；當時，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點且斜率為，故且，解得，故選D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.【例題3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得到，設(shè)，，作出與的大致圖象求解.【詳解】令，得，設(shè)，，則，易知當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當時，，當時，，當時，．當時，，易得的圖象在處的切線方程為，作出與的大致圖象如圖1所示，可知與的圖象有且僅有一個交點，即只有一個零點，不符合題意；當時，作出與的大致圖象如圖2所示，可知與的圖象沒有交點，即沒有零點，不符合題意；當時，作出與的大致圖象如圖3所示，可知與的圖象有兩個交點，即有兩個零點，符合題意．綜上，實數(shù)的取值范圍為，故選：B．（另解：令，得．令，，通過研究，的圖象的交點情況求解）相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·廣東·一模）函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用參變分類可得和的圖象有兩個交點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論后者的性質(zhì)后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，則問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個交點，而，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，當時，的圖象有兩個交點；當時，的圖象有兩個交點；大致圖象如右所示：結(jié)合圖象可知，的取值范圍是，故選：D【相似題2】（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測）已知函數(shù)設(shè)，若函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化問題為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個交點，作出函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析求解即可.【詳解】因為函數(shù)僅有一個零點，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個交點.函數(shù)恒過定點，，同一坐標系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象已經(jīng)有一個交點.時，，其導(dǎo)函數(shù)，當直線與函數(shù)在處相切時，只有一個交點，此時，解得，則當時，有兩個交點.時，，其導(dǎo)函數(shù)，當直線與函數(shù)在處相切時，只有一個交點，此時，解得，則當時，有兩個交點.綜上，要使函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【相似題3】（2025·江西九江·二模）已知函數(shù)恰好有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】解法一：先通過等價變形將函數(shù)的三個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個零點；再根據(jù)奇函數(shù)的定義得出函數(shù)是上的奇函數(shù)，進一步將條件轉(zhuǎn)化為在上有一個零點；最后求出，分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)和零點存在性定理判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可求解.解法二：先根據(jù)，為上偶函數(shù)，將題目條件轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有一個交點；再利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上單調(diào)性，求出函數(shù)值域，即可求解.解法三：先根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，，與都是上的奇函數(shù)，將題目條件問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上恰有一個交點；再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可解答.【詳解】解法一：.，的零點等價于函數(shù)的零點.又函數(shù)定義域為，且是上的奇函數(shù)，只需要考慮在上有一個零點即可.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的值域是.當時，，此時在上單調(diào)遞增，，無零點，不符合題意；當時，，此時在上單調(diào)遞減，，無零點，不符合題意；當時，由零點存在性定理知，必存在唯一的正數(shù)，使.當時，，此時在上單調(diào)遞增，，；當時，，此時在上單調(diào)遞減；又，，，，在上存在唯一零點，符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.解法二：，是的一個零點.當時，由，得，令，.函數(shù)定義域為，為上偶函數(shù).則問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有一個交點.由，可得，設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，則，即當時，，在上單調(diào)遞減.又，，在上的值域為，故，即，故實數(shù)的取值范圍是.解法三：令，得，設(shè).，.函數(shù)的定義域為，且；函數(shù)的定義域為，且，與都是上的奇函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上恰有一個交點.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，.又，，在單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)與直線的圖象，，即，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【題型9：構(gòu)建函數(shù)比較大小】知識講解知識講解1.觀察式子特征，構(gòu)造函數(shù) 分析結(jié)構(gòu)相似性：觀察待比較大小的兩個式子，尋找它們結(jié)構(gòu)上的相似之處，以此為依據(jù)構(gòu)造函數(shù)。例如，若兩個式子都形如與，且和中的次數(shù)、運算關(guān)系有規(guī)律，可嘗試構(gòu)造。比如比較與的大小，可構(gòu)造。 考慮常見函數(shù)模型：聯(lián)系常見函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，如指數(shù)函數(shù)（）、對數(shù)函數(shù)（）、冪函數(shù)（）等。若式子中出現(xiàn)，可構(gòu)造，其導(dǎo)數(shù)。2.對構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo) 運用求導(dǎo)公式和法則：準確運用求導(dǎo)公式、、等，以及求導(dǎo)的四則運算法則，，對構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)。例如，對求導(dǎo)，根據(jù)上述公式和法則可得。3.分析導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)單調(diào)性 判斷導(dǎo)數(shù)正負：根據(jù)給定的的取值范圍，分析導(dǎo)數(shù)的正負情況。例如在中，當時，，所以；當時，，則。 確定函數(shù)單調(diào)性：由導(dǎo)數(shù)正負確定函數(shù)單調(diào)性。當時，函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間單調(diào)遞減。所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。4.利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 找到對應(yīng)自變量值：確定所比較大小的兩個數(shù)在構(gòu)造函數(shù)定義域內(nèi)對應(yīng)的自變量，。例如要比較與的大小，此時。 依據(jù)單調(diào)性判斷：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，若且函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則。對于，因為在單調(diào)遞增，，，所以，即。例題精選例題精選【例題1】（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．【例題2】（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故【例題3】（2025·山西臨汾·二模）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可證明，即可求解，進而根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】記則，故當時，，故在單調(diào)遞增，當時，，故在單調(diào)遞減，故，因此對任意的，都有，當且僅當時取到等號，故，故，故，由于，因此，故選：A相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·云南·一模）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得不等式求解．【詳解】設(shè)，，則.令得，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.因為，所以，即，所以．故選：C【相似題2】（2025·海南·模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進而比較函數(shù)值大小.【詳解】依題意，，令，則，在上單調(diào)遞增，則，即，因此，即；令，則當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，因此，即.2，即，所以.故選：D【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.【相似題3】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有，，構(gòu)造研究的大小，即可得答案.【詳解】因為，故，而，設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)．又，所以，即，所以．綜上，．故選：D【題型10：不等式的恒成立問題】知識講解知識講解1.變量分離 將不等式中的參數(shù)與變量分離，使不等式一邊只含有參數(shù)，另一邊只含有變量及其函數(shù)形式。例如對于不等式（）恒成立，可變形為（）。這樣就把問題轉(zhuǎn)化為求右邊函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題。2.構(gòu)造函數(shù) 根據(jù)分離變量后的式子，構(gòu)造一個新的函數(shù)。如上述例子中構(gòu)造函數(shù)（）。構(gòu)造函數(shù)時要注意函數(shù)的定義域，需與原不等式中變量的取值范圍一致。3.求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性 對構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)，得到。利用求導(dǎo)公式和法則準確計算導(dǎo)數(shù)。例如對于，根據(jù)除法求導(dǎo)法則，，，，，可得。 接著分析在定義域內(nèi)的正負性。通過對進一步分析（如再求導(dǎo)判斷其單調(diào)性等），確定的單調(diào)區(qū)間。例如設(shè)，對求導(dǎo)得，當時，，在單調(diào)遞增，，即，所以在單調(diào)遞增。4.求函數(shù)最值 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值。若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則最小值在區(qū)間左端點取得（若左端點取不到，則求極限值）；若單調(diào)遞減，則最大值在區(qū)間左端點取得。如在單調(diào)遞增，（利用等價無窮小或洛必達法則），所以。5.確定參數(shù)范