選擇性75正態(tài)分布專題應(yīng)用

選擇性必修第三冊(cè)第七章7.5正態(tài)分布專題應(yīng)用一、知識(shí)構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)一正態(tài)曲線與正態(tài)分布1．我們稱f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱其圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．2．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．知識(shí)點(diǎn)二正態(tài)曲線的特點(diǎn)1．對(duì)?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線與x軸之間的面積為1.3．曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．4．曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．6．當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.知識(shí)點(diǎn)三正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則．二、類型歸納類型一正態(tài)函數(shù)圖像及性質(zhì)的理解類型二標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布應(yīng)用類型三指定和特定區(qū)間概率類型四根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)類型五3σ原則的應(yīng)用類型六正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用三、類型應(yīng)用【例1】（2324高二下·山東聊城·期末）設(shè)隨機(jī)變量，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)曲線的性質(zhì)、特殊區(qū)間的概率【分析】由密度曲線結(jié)合正態(tài)分布性質(zhì)求解即可.【詳解】的密度曲線的對(duì)稱軸在的密度曲線的對(duì)稱軸的左邊，即.的密度曲線較為分散，的密度曲線較為集中，即，故AB錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以D正確；故選：D【變式訓(xùn)練1】(2324高二下·江蘇常州金壇區(qū)·期中)如圖是三個(gè)正態(tài)分布，，的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【答案】A【來(lái)源】江蘇省常州市金壇區(qū)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【分析】先利用正態(tài)分布求出三個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，再利用當(dāng)較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”進(jìn)行判定.【詳解】由題意，得，，，因?yàn)楫?dāng)較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，且，所以三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為①，②，③.故選：A.【例2】（多選題）（2024·江蘇宿遷·一模）設(shè)隨機(jī)變量，其中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù) D．【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用【分析】由正態(tài)分布的表示可判斷A；由正態(tài)曲線及可判斷B，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判斷D.【詳解】隨機(jī)變量，則A正確；，則B錯(cuò)誤；隨機(jī)變量，結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線關(guān)于對(duì)稱，，則D正確，故選：ACD．【變式訓(xùn)練21】（2324高二下·江蘇淮安·期末）隨機(jī)變量，，若，則.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用、指定區(qū)間的概率【分析】分析可知，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可知，若，可得，所?故答案為：.【變式訓(xùn)練22】（2223高二下·山東青島·期中）隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.現(xiàn)已知隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布.若隨機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用【分析】由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義結(jié)合期望和方差的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以，所以，.即，解得，則.故答案為：.【變式訓(xùn)練23】（多選）（2223高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知某批零件的長(zhǎng)度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，若從中隨機(jī)取一件，則下列結(jié)論正確的是（

）．（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．A．B．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.6826C．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1599【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)密度函數(shù)、正態(tài)曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用、特殊區(qū)間的概率【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合圖像、題中所給公式逐一判斷即可．【詳解】由圖中密度函數(shù)解析式，可得，A選項(xiàng)正確；又由圖像可知，則長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為，B選項(xiàng)正確；長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為，C選項(xiàng)正確；長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.【變式訓(xùn)練24】（2324高二上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖分別是甲?乙?丙三種品牌手表日走時(shí)誤差分布的正態(tài)分布密度曲線，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等B．C．三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙D．三種品牌手表中甲品牌的質(zhì)量最好【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】概率分布曲線的認(rèn)識(shí)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用【分析】根據(jù)三種品牌手表誤差的正態(tài)分布曲線的圖象，結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)和圖象可得，三種品牌的手表日走時(shí)的誤差對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸都是軸，所以三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等，所以A正確；乙品牌對(duì)應(yīng)點(diǎn)的正態(tài)分布曲線在區(qū)間之間與圍成的面積與丙品牌對(duì)應(yīng)點(diǎn)的正態(tài)分布曲線在區(qū)間之間與圍成的面積相等，所以B不正確；由正態(tài)分布曲線的形狀，可得，所以三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲?乙?丙，所以C正確；由，可得甲種品牌手表的最穩(wěn)定，質(zhì)量最好，所以D正確.故選：B.【例3】（2425高二上·江西九江·期末）已知隨機(jī)變量，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)曲線的性質(zhì)、指定區(qū)間的概率【分析】掌握正態(tài)分布中的含義，結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D正確．故選：AD.【變式訓(xùn)練31】（2425高二上·江西·期末）已知隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)曲線的性質(zhì)、指定區(qū)間的概率【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由，得，故．故選：B【變式訓(xùn)練32】（2324高二下·山東濱州·期末）若隨機(jī)變量，且，則（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】特殊區(qū)間的概率【分析】由對(duì)稱性先得出，進(jìn)而得出.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D【變式訓(xùn)練33】（2324高二下·福建福州·期末）已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】特殊區(qū)間的概率、根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)【分析】由結(jié)合對(duì)稱性得出，再由對(duì)稱性得出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以A正確；故選：A【變式訓(xùn)練34】（2324高二下·河北·階段練習(xí)）已知，且，則.【答案】0.6/【知識(shí)點(diǎn)】指定區(qū)間的概率、根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)【分析】根據(jù)分析可知，結(jié)合正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則.因?yàn)椋?故答案為：0.6.【變式訓(xùn)練35】（多選）（2324高二上·廣西桂林·期末）某市對(duì)歷年來(lái)新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該正態(tài)分布的均值為 B．C． D．【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】概率分布曲線的認(rèn)識(shí)、指定區(qū)間的概率【分析】根據(jù)可得出該正態(tài)分布的均值，可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，該正態(tài)分布的均值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，，D錯(cuò).故選：AB.【例4】(2425·福建廈門(mén)·)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，且，則（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【來(lái)源】福建省廈門(mén)市20242025學(xué)年高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求得答案.【詳解】由題意知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，如圖所示，結(jié)合，得，可知關(guān)于對(duì)稱，所以，解得，故選：C．【變式訓(xùn)練41】（2425高二上·河北滄州·階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．5 B．3 C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)【分析】根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得，求解即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，可得，解得.故選：D.【變式訓(xùn)練42】（2425高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，，則等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)曲線的性質(zhì)、根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)【分析】利用正態(tài)曲線的圖象對(duì)稱性由即可求得的值.【詳解】，，，即，.故選：B.【例5】（2425高二·全國(guó)·課堂例題）設(shè)，試求：(1)；(2)；(3)．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】3δ原則、指定區(qū)間的概率【分析】（1）由題意可得，則，從而可求得答案；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，從而可求得答案；（3）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，從而可求得答案.【詳解】（1）．．（2），.（3），．【變式訓(xùn)練51】(2425高二上·吉林“BEST合作體”·期末)某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)聯(lián)考成績(jī)，如果規(guī)定大于或等于105分為數(shù)學(xué)成績(jī)“良好”，那么在參加考試的學(xué)生中隨機(jī)選擇一名，他的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡母怕适牵?/p>

）（提示：若，則，，）=0.9973）A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135【答案】B【來(lái)源】吉林省“BEST合作體”20242025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故選：B.【變式訓(xùn)練52】（2324高二下·四川眉山·期末）某種生態(tài)魚(yú)在某個(gè)池塘一年的生長(zhǎng)量X（單位：克）服從正態(tài)分布，則概率為（

）參考數(shù)據(jù)：①；②；③A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】3δ原則、指定區(qū)間的概率【分析】分析可知：，根據(jù)原則結(jié)合對(duì)稱性分析求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，，所以.故選：B.【變式訓(xùn)練53】（2425高三上·湖南·階段練習(xí)）某校高二年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷滿分為150分，90分以上（含90分）為及格．閱卷結(jié)果顯示，全年級(jí)1200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷的難度系數(shù)（難度系數(shù)平均分/滿分）為0.49，標(biāo)準(zhǔn)差為22，則該次數(shù)學(xué)考試及格的人數(shù)約為（

）附：若，記，則．A．136人 B．272人 C．328人 D．820人【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】3δ原則、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】首先求出平均數(shù)，即可得到學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，再根據(jù)所給條件求出，即可求出，即可估計(jì)人數(shù)．【詳解】由題得，，，，該校及格人數(shù)為（人），故選：B．【變式訓(xùn)練54】（2324高二下·河南信陽(yáng)·期末）某校進(jìn)行的“校園安全”知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)，若成績(jī)?cè)?0分以上為“優(yōu)秀”，該校有4000人參加競(jìng)賽，則獲得“優(yōu)秀”的人數(shù)為.（附：，）【答案】91【知識(shí)點(diǎn)】3δ原則、指定區(qū)間的概率、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得到，進(jìn)而得到，求出答案.【詳解】依題意，，，，，.故答案為：91【例6】（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）某地區(qū)組織了一次高三全體學(xué)生的模擬考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績(jī)高于115分的人數(shù)與低于75分的人數(shù)相同，那么估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均分為（

）A．85 B．90 C．95 D．100【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)曲線的性質(zhì)【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解即可.【詳解】由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，數(shù)學(xué)成績(jī)高于115分的人數(shù)與低于75分的人數(shù)相同，所以，故選：C【變式訓(xùn)練61】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）某地為了美化環(huán)境，購(gòu)買(mǎi)了棵杉樹(shù)樹(shù)苗，已知杉樹(shù)樹(shù)苗的高度近似服從正態(tài)分布，則樹(shù)苗高度在以上（含）的約有棵．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】特殊區(qū)間的概率、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)原則可求得，由此可計(jì)算求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，，，樹(shù)苗高度在以上（含）的約有棵.故答案為：.【變式訓(xùn)練62】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）2023年3月3日，教育部于《教育系統(tǒng)關(guān)于新時(shí)代學(xué)習(xí)弘揚(yáng)雷鋒精神深入開(kāi)展學(xué)雷鋒活動(dòng)的實(shí)施方案》中提出“教育系統(tǒng)要堅(jiān)持將雷鋒精神深度融入學(xué)校教育教學(xué)和人才培養(yǎng)的全過(guò)程、各方面”．某校積極的參與到該方案實(shí)施中，組織全體師生（共1600人）進(jìn)行了一次“雷鋒精神”相關(guān)的知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，所有參賽者的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，估計(jì)成績(jī)不低于75分的參賽者人數(shù)為．【答案】1346【知識(shí)點(diǎn)】指定區(qū)間的概率、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)求得，再求即可.【詳解】依題意可知，所以，所以，所以估計(jì)成績(jī)不低于75分的參賽者人數(shù)為．故答案為：1346【變式訓(xùn)練63】（多選）（2425高二上·廣西桂林·期末）在某市某次質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)合考試中，考生有30000人，考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布.已知隨機(jī)變量，若與的方差相同，則下列結(jié)論正確的是（

）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則A．B．C．D．估計(jì)該市數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的考生約645人【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的方差、指定區(qū)間的概率、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得方差，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，服從正態(tài)分布，所以，A選項(xiàng)正確.隨機(jī)變量，所以，所以，B選項(xiàng)正確.，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，估計(jì)該市數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的考生約人，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題，要牢記正態(tài)分布的期望，方差，以及正態(tài)分布的對(duì)稱性和特殊區(qū)間的概率值.在已知正態(tài)分布的參數(shù)和后，可利用這些性質(zhì)計(jì)算各種概率.對(duì)于二項(xiàng)分布，其方差，可根據(jù)此公式求出二項(xiàng)分布的方差，再結(jié)合與其他分布方差的關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題.【變式訓(xùn)練64】（2425高三上·云南保山·期中）某市共20000人參加一次物理測(cè)試，滿分100分，學(xué)生的抽測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布，則抽測(cè)成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為（

）（若，則）A．6828 B．5436 C．4773 D．2718【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)曲線的性質(zhì)、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得抽測(cè)成績(jī)?cè)趦?nèi)大約的學(xué)生人數(shù).【詳解】學(xué)生的抽測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布，則，由于總?cè)藬?shù)為20000，則抽測(cè)成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為，故選：D.【例7】（2425高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）某汽車(chē)公司研發(fā)了一款新能源汽車(chē)，并在出廠前對(duì)輛汽車(chē)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這輛汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為，根據(jù)大量的汽車(chē)測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程近似的服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）假設(shè)某企業(yè)從該汽車(chē)公司購(gòu)買(mǎi)了輛該款新能源汽車(chē)，記表示這輛新能源汽車(chē)中單次最大續(xù)航里程的車(chē)輛數(shù)，求；參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【知識(shí)點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、二項(xiàng)分布的均值、3δ原則【分析】（1）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加，可得出的值；（2）（i）由題意可得出，，則，可得出，即可得解；（ii）分析可知，，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得.（2）（i）由題意可得，，則，所以，；（ii）由題意可知，，故.【變式訓(xùn)練7】（2425高三上·山東·階段練習(xí)）為進(jìn)一步提升人才選拔的公正性，某省擬在三年內(nèi)實(shí)現(xiàn)高考使用新高考全國(guó)Ⅰ卷，為測(cè)試學(xué)生對(duì)新高考試卷的適應(yīng)性，特此舉辦了一次全省高三年級(jí)數(shù)學(xué)模擬考試（滿分150分），其中甲市有10000名學(xué)生參加考試．根據(jù)成績(jī)反饋，該省及各市本次模擬考試成績(jī)X都近似服從正態(tài)分布．(1)已知本次模擬考試甲市平均成績(jī)?yōu)?7.5分，成績(jī)位于區(qū)間內(nèi)的學(xué)生共有4772人．甲市學(xué)生A的成績(jī)?yōu)?14分，試估計(jì)學(xué)生A在甲市的大致名次；(2)在參加該省本次模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取500人作為研究樣本，隨機(jī)變量Y為本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)，求的概率及隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望．附：參考數(shù)據(jù)：參考公式：若有，．【答案】(1)1587名(2)，【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值、指定區(qū)間的概率、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】（1）考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，根據(jù)概率公式計(jì)算出概率后可得名次；（2）求出事件：在樣本中抽取的學(xué)生在本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾母怕?，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，由公式計(jì)算出概率，再由二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算出期望．【詳解】（1）已知本次模擬考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，由題意可得，，,即，解得，甲市學(xué)生A在該次考試中成績(jī)?yōu)?14分，且，又，即，，答：學(xué)生A在甲市本次考試的大致名次為1587名．（2）設(shè)事件：在樣本中抽取的學(xué)生在本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥?，由于成?jī)?cè)谥畠?nèi)的概率為0，9974，，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，，的數(shù)學(xué)期望為.【例8】（2425高三下·重慶·階段練習(xí)）智利的車(chē)?yán)遄釉谥袊?guó)市場(chǎng)上非常受歡迎，尤其是在春節(jié)前后，成為果品市場(chǎng)的“銷售冠軍”.進(jìn)口水果辦會(huì)對(duì)智利車(chē)?yán)遄舆M(jìn)行了分級(jí)，標(biāo)準(zhǔn)主要依據(jù)果實(shí)直徑進(jìn)行劃分，通常分為以下幾個(gè)等級(jí)：0級(jí)；直徑在24mm到26mm之間；J級(jí)：直徑在26mm到28mm之間；JJ級(jí)：直徑在28mm到30mm之間；JJJ級(jí)：直徑在30mm到32mm之間；JJJJ級(jí)：直徑在32mm以上.某商貿(mào)公司根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)每批次進(jìn)口車(chē)?yán)遄拥闹睆椒恼龖B(tài)分布并把直徑不小于的車(chē)?yán)遄臃Q為一等品，其余稱為二等品.現(xiàn)從某批次的車(chē)?yán)遄又须S機(jī)抽取100顆（直徑位于24mm至34mm之間）作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，車(chē)?yán)遄又睆降臉?biāo)準(zhǔn)差，用標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，用樣本平均數(shù)（按四舍五入取整數(shù)）作為的近似值.若從該批次中任取一顆，試估計(jì)該顆車(chē)?yán)遄訛橐坏绕返母怕剩ūＡ粜?shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字）；（①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，）(2)若從樣本中直徑在和的車(chē)?yán)遄又须S機(jī)抽取3顆，記其中直徑在的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【知識(shí)點(diǎn)】由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、寫(xiě)出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列、求離散型隨機(jī)變量的均值、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【分析】（1）先利用頻率分布直方圖求出樣本平均數(shù)，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知所取樣本個(gè)，直徑在的車(chē)?yán)遄佑袀€(gè)，得到的所有可能取值，根據(jù)古典概型的概率公式求分布列，再根據(jù)分布列和期望公式求期望即可.【詳解】（1）由題意，估計(jì)從該批次的車(chē)?yán)遄又须S機(jī)抽取顆的平均數(shù)為：，即，，所以，則，所以從車(chē)?yán)遄又腥稳∫活w，該車(chē)?yán)遄訛橐坏绕返母怕始s為.（2）由頻率分布直方圖可知，所以所取樣本個(gè)，直徑在的車(chē)?yán)遄佑袀€(gè)，故可能取的值為，相應(yīng)的概率為：，，，，隨機(jī)變量的分布列為：0123P所以的數(shù)學(xué)期望.【變式訓(xùn)練81】某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開(kāi)發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn)．其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：、、、、．根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)檢測(cè)結(jié)果，樣本中芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，可得到X服從的正態(tài)分布．求和的值；(2)從樣本中質(zhì)量指標(biāo)值在和的芯片中隨機(jī)抽取件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將指標(biāo)值不低于的芯片稱為等品．通過(guò)對(duì)芯片長(zhǎng)期檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，在生產(chǎn)線任意抽取一件芯片，它為等品的概率為，用第（1）問(wèn)結(jié)果試