高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員

考點(diǎn)一重點(diǎn)知識，壓軸選徑，系統(tǒng)掌握函數(shù)與方程

1.專題綜述

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過程，通過對2011

年新課標(biāo)卷的各省高考題的研究發(fā)現(xiàn)，本專題熱點(diǎn)考點(diǎn)可總結(jié)為六類：一是分段函數(shù)的求值問題，二是

函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，三是基本函數(shù)的圖像和性質(zhì)，四是函數(shù)圖像的應(yīng)用，五是方程根的問題，六是函

數(shù)的零點(diǎn)問題。涉及到得函數(shù)思想也是相當(dāng)?shù)呢S富，如分段函數(shù)問題常與分類討論思想相結(jié)合，有關(guān)方

程根的情況判斷常涉及函數(shù)與方程思想和等等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，研究函數(shù)的圖像問題和基本函數(shù)的性質(zhì)時(shí)常

利用數(shù)形結(jié)合思想等。高考常命制兩道小題，一道基礎(chǔ)題目，出現(xiàn)在前5道題目中，?？疾榛竞瘮?shù)的

性質(zhì)或零點(diǎn)問題，另一道常以壓軸的小題出現(xiàn)，常與方程的根或復(fù)合函數(shù)為背景考查，有一定的難度和

靈活性。

2.考綱解讀

（1）了解簡單的分段函數(shù)并能簡單應(yīng)用；

（2）理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，結(jié)合具體函數(shù)了解奇偶性的含義.；

（3）理解指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)的概念，理解指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)圖像經(jīng)

過的特殊點(diǎn)；結(jié)合常見的嘉函數(shù)圖像解決簡單問題；掌握二次函數(shù)的三個(gè)表達(dá)形式，能夠數(shù)形結(jié)合分析

二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系。

（4）會應(yīng)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；

（5）根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠運(yùn)用二分法求相應(yīng)方程的近似解；

（6）結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。

3.2012年高考命題趨向

（1）以分段函數(shù)為表示形式考查求值問題是一類基礎(chǔ)題目，常與指對數(shù)運(yùn)算結(jié)合在一起，同時(shí)也考查

學(xué)生能否發(fā)活運(yùn)用分類討論思想的解題能力。

（2）以二次函數(shù)、分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等為載體考查函數(shù)的性質(zhì)是熱點(diǎn)。研究函數(shù)的性質(zhì)可充分利用

函數(shù)的各種性質(zhì)所反映的函數(shù)特點(diǎn)，來解決函數(shù)的相關(guān)問題.命題思路常以函數(shù)的各種性質(zhì)相互交融，只

有仔細(xì)審題，充分挖掘，把題目隱含的條件一一挖掘出來，綜合利用性質(zhì)才能達(dá)到解決問題的目的.

（3）與指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)有關(guān)的綜合問題的考查，以函數(shù)某個(gè)性質(zhì)為核心，結(jié)合其他知識，把問題延

仲，主要考查知識的綜合運(yùn)用和能力發(fā)展為目的.

（4）函數(shù)圖象的考查涉及的知識面廣，形式靈活，經(jīng)常以新面孔出現(xiàn)，在基本的初等函數(shù)圖象熟練地

掌握基礎(chǔ)上，加以變換考查新函數(shù)的圖象、性質(zhì)等.

（5）利用轉(zhuǎn)化思想解決方程問題，利用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)應(yīng)用問題，利用數(shù)形結(jié)合思想研究方

程根的分布問題，是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，常作為壓軸的選擇題的形式出現(xiàn)。

（6）函數(shù)的零點(diǎn)，二分法是新增內(nèi)容，在高考中以選擇題、填空題的形式考查的可能性較大。對于用

二分法求方程的近似解應(yīng)引起重視，由于步驟的可重復(fù)性，故可與程序框圖相機(jī)合編寫部分題目，這也

是算法思想的的具體體現(xiàn)。解決由函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利

用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.

4.高頻考點(diǎn)解讀

考點(diǎn)一分段函數(shù)求值問題

2"v>0

【例1][2011?福建卷]已知函數(shù)/）=[二二若加）+汜）=0,則實(shí)數(shù)。的值等于（）

xI1fxWO.

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】由已知，得《1）=2；又當(dāng)心>0時(shí)，人工）=2">1,而大〃）+八1）=0,—2,且a<0,.3+1

=—2,解得&=一3,故選A.

[igx,x>0,

【例2][2011?陜西卷]設(shè)段）=……則歡-2））=________.

xWO,

【答「案】一2

Igx,x>0,

2

【解析】於）=……一2<0,2）=10-2；10-2>0,/./（10-）=lgl0^=-2.

,10,xWO,

【解題技巧點(diǎn)睛】求f（g（x））類型的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則，而對于分段函數(shù)的求值問題，必須

依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解，特別地對具有周期性的函數(shù)求值要用好其周期性..

考點(diǎn)二函數(shù)性質(zhì)的基本應(yīng)用

【例3][2011.課標(biāo)全國卷]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,+8）單調(diào)遞增的函數(shù)是（）

A.y=x3B.y=W+1C.y=—x2+lD.y=2"l

【答案】B

【解析】A選項(xiàng)中，函數(shù)y=V是奇函數(shù)；B選項(xiàng)中，），=|x|+l是偶函數(shù)，且在（0,+8）上是增函數(shù);

C選項(xiàng)中，>=一/+1是偶函數(shù)，但在（0，+8）上是減函數(shù)；D選項(xiàng)中，y=2-同=（；）忖是偶函數(shù)，但在

（0,+8）上是減函數(shù).故選B.

【例4][2011.遼寧卷]若函數(shù)Lx）飛不：（石）為奇函數(shù),貝11〃=（）

123

A，2B.gC]D.1

【答案】A

【解析】法一:由已知得=、定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,由于該函互定義域?yàn)?/p>

卜卜W—3且知〃=￡,故選A.

X

法二：?.了(x)是奇函數(shù)，：.fi-x)=-fix),又火x)=v2+(］_2a)x_a'

-x—X

則%―(1—24)xr=2？+(l—24)L/函數(shù)的定義域內(nèi)恒成立,可得一"2。)=1-2w，1-2”0,〃

【例5】【2011?新課標(biāo)全國】函數(shù)y=——的圖像與函數(shù)y=2sin乃x(-2<x<4)的圖像所有交點(diǎn)

1-x

的橫坐標(biāo)之和等于().

A.2B.4C.6D.8

【答案】D.

【解析】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)反比例函數(shù)圖像、三角函數(shù)圖像、圖像平移、對稱性、

數(shù)形結(jié)合思想等,是有難度的題目.利用數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是通性通法.在

同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像(注意利用函數(shù)圖像變換觀點(diǎn)求作函數(shù)圖像！

y=—=」一可看作由函數(shù)y=—向右平移一個(gè)單位得到)利用兩個(gè)函數(shù)有共同的

1-x-(x-1)-x

對稱中心(1,0),設(shè)S個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為々，弓，…，通，結(jié)合函數(shù)圖像，由對稱性

得士+/=2,弓+均=2,…，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于S.【解題技巧

點(diǎn)睛】在解決與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖，根據(jù)簡圖進(jìn)一步研究函數(shù)

的性質(zhì)，就可以把抽象問題變得直觀形象、復(fù)雜問題變得簡單明了，對問題的解決有很大的幫助.(1)一般

的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號，最后利用函

數(shù)的單調(diào)性判斷大小；(2)畫函數(shù)草圖的步蛛：由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置，然后利用單調(diào)性確定一段

區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定對稱區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.

考點(diǎn)三基本函數(shù)的性質(zhì)與圖像

/］、1叫0?3

【例6】［2011?天津卷］己知a=5嘀3?4,。=5峭36,c=，則().

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>hD.c>a>b

【答案】C

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知：。=5啕34,0=51。及屈,c=5"S/，再由指數(shù)函數(shù)

/(幻=5'為單調(diào)遞增函數(shù)，H^log2V3l6<log2V4=l.log23.4>log22=l,

log3與>log33=1,且log3與<log,與<log,3.4,所以a>c>匕.

a,〃一bWl,

【例7][2011?天津卷]對實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算"?"：a?b=,設(shè)函鷺Ax)=(f-2)?(x

b,a-b>\.

—￡）,XGR,若函數(shù)y=Kx）-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）

3

I/8-

A.V2

【答案】B

【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像。

x2—2,x2—2—（X—x2）^1,

fix）=1八

/—X2,^2—2—（X—^）＞1

[x2-2,-

Ix-x2,x＜—1,或x＞|\

則40的圖象如圖：

???y=/U）—c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

，y=Ax）與丁=。的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

3

由圖象知cW—2,或一1々＜一木

考點(diǎn)四函數(shù)圖像的應(yīng)用

【例8][2011?陜西卷]設(shè)函數(shù)0Oa^R）滿足|一力）=/（幻，於+2）=危），則＞=/）的圖像可能是（）

AB

八公三-7：序店；廠.

一S速XA：；洶閾W業(yè)…;

CD

【答案】B

【解析】由式-x）=/（x）可知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，可以結(jié)合選項(xiàng)排除A、C,再利用於

+2）=/（x）,可知函數(shù)為周期函數(shù)，且7=2,必滿足14）=式2）,排除D,故只能選B.

【例9][2011.課標(biāo)全國卷]己知函數(shù)y=?r）的周期為2,當(dāng)xG[-1,1]時(shí)人力=/,那么函數(shù)y=7（x）的

圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像的交點(diǎn)共有（）

A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【解析】考查數(shù)形結(jié)合思想，在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，故下圖.容易判斷出兩函數(shù)圖

像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)，故選擇A.

4-

3;

2：R3

:二二二二文此次^/,二,

?W：24681012M

-2：

【解題技巧點(diǎn)睛】函數(shù)圖象分析類試題，主要就是推證函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、特殊點(diǎn)的函

數(shù)值以及圖象的實(shí)際作出判斷，這類試題在?？疾楹瘮?shù)圖象的同時(shí)重點(diǎn)是考查探究函數(shù)性質(zhì)、用函數(shù)性質(zhì)

分析問題和解決問題的能力.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、對函數(shù)圖象作出分析判斷類的試題，已經(jīng)逐漸

成為高考的一個(gè)命題熱點(diǎn)。

考點(diǎn)五與方程根的相關(guān)問題

【例10】【2011?陜西】設(shè)〃eM,一元二次方程X2-4X+/?=0有黎教根的充要條件是

n=.

【答案】3或4.

【解析】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)

算?》=把當(dāng)士=2±4兀因?yàn)閤是整數(shù)，即為整數(shù)，所以為整數(shù),且〃”4,

又因?yàn)椤╡N+，取〃=1,2,3,4,驗(yàn)證可知“=3,4符合題意；反之〃=3,4時(shí)，可推出一元二次方程

產(chǎn)―4x+〃=0有整數(shù)根.

【例11][2011?北京卷]已知函數(shù)/(x)=Jx'-'若關(guān)于x的方程/(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則

Xx-1)3,x<2.

實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【答案】(0,1)

22

【解析】/(x)=—(xN2)單調(diào)遞減且值域?yàn)?0,1],/(x)=(x-l)3(x<2)單調(diào)遞增

x

且值域?yàn)?-8,1),函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，故/(X)=%有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)

k的取值范圍是(0,1).

考點(diǎn)六函數(shù)零點(diǎn)問題

【例12][2011?課標(biāo)全國卷]在下列區(qū)間中，函數(shù)Hx)=eX+4x—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

【答案】C

【解析】因?yàn)榫?=-2<0,7(1)=e1-l>0,所以

又因?yàn)楹瘮?shù)_y=e，是單調(diào)增函數(shù)，y=4x—3也是單調(diào)增函數(shù),

所以函數(shù)_/0)=6*+4x-3是單調(diào)增函數(shù)，

【例13][2011?山東卷]已知函數(shù)兀v)=logd+x一伙a>0,且。#1).當(dāng)2VaV3Vb<4時(shí),函數(shù)於)的

零點(diǎn)沏6(“，〃+1),"GN*,則”=.

【答案】2

【解析】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)定理的應(yīng)用.因?yàn)?</3,所以log“2<l=logw<log〃3,

因?yàn)?<*4,所以6-2>l>loga2,fe-3<l<log?3,所以/2)加3)=(log.2+2-b)(k)g“3+3一力<0,所以函

數(shù)的零點(diǎn)在(2,3)上，所以〃=2.

【例14][2011?陜西卷]函數(shù)./U)=W—cosx在[0,+8)內(nèi)()

A.沒有零點(diǎn)B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.有無

窮多個(gè)零點(diǎn)

【答案】B

QXXy/jw2xX

【解析】在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出丫=5與〉=8女的圖象如圖，

由圖象可得函數(shù)式x)=W-COSX在[0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)."I

【解題技巧點(diǎn)睛】判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體問題靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)

時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理

也無法判斷時(shí)可畫出圖象判斷.

針對訓(xùn)練一

選擇題

1.【北京市朝陽區(qū)2011-2012學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試】

已知函數(shù)/0)=以2+2ar+4(()<a<3),其圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)玉，馬滿足/〈/，

且$=1-。，則有

A-/(x,)>/(x2)B./Ui)=/(x2)

C./(%))</(%2)D./(芭),/(/)的大小不確定

答案：C

2

解析：/(')一/(工2)=。(龍：-X2)+2(2(X］-x2)=?(%,-x2)(x,+x2+2),

因?yàn)閄1<%2所以％-尤2<0，0<a<3,%,+X2+2=3-?>0,

。(玉-x2)(x,+x2+2)<0,/(%,)<f(x2)

2.［2012年長春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題卷】

“av-2”是“函數(shù)人0=6巨在區(qū)間［-1,2］上存在零點(diǎn)”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：人在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則即6^^^=右，，。>3或

33

4<-一，...“4V々”是“。>3或4<-］”的充分不必要條件，...“av以”是“函數(shù)人

在區(qū)間［-1,2］上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.

3.【銀川一中2012屆高三年級第四次月考】

若log“2<0(。>0且awl),則函數(shù)/(x)=log.(x+l)的圖像大致是()

F石上卜

A.B.C.D.

解析：log.2<0(a>0Ela1),log(,2<logu1,0<?<1.函數(shù)在定義域?yàn)闇p函數(shù)，將函數(shù)

y=k?g“響左平移一個(gè)單位得log“(x+l),故答案為B。

4.【銀川一中2012屆高三年級第四次月考】

lgx,x>0,

設(shè)若/(%)=〈/(/(1))=1,則a的值是()

x+[3rdt,x<0,

Jo

A.-1B.2C.1D.-2

解析：/(l)=lgl=0,/(0)=0+J。3Jdf="=1,a=1.

5.【安徽省示范高中2012屆高三第二次聯(lián)考】

實(shí)數(shù)。=0.2&力=1080().2,。=0”2的大小關(guān)系正確的是()

A：a<c<bB：a<b<cC：b<a<cD：b<c<a

答案：c

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)和附數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，Z?=log應(yīng)O.2<O<a=O.20<l<c=(夜嚴(yán)。

6.【安徽省示范高中2012屆高三第二次聯(lián)考】

函數(shù)/(x)=|x+2]—2，在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

(A)0(B)1(02(D)3

答案：D

解析：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|x+2|與y=2”的圖像，可以看到2個(gè)函數(shù)的圖像在第二象限有2

個(gè)交點(diǎn)，在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)/(x)=|x+2|-2"在定義域內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)。

7.【河北省唐山市2012屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)】

若函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m在0,y上有零點(diǎn)，則，"的取值范圍為()

A.[1,2+V2]B.[-1,2]C.[-1,2+V2]D.[1,3]

解析：由函數(shù)/(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m=l+sin2x+cos2x+l-m

=0sin(2x+?)+2—加得在0,y上的最大值是0+2—/”，最小值是1一機(jī)

所以[/⑼”=向2-加20,解得1W屋2+萬

J*)min=l一加<0

8.【河北省唐山市2012屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)】

已知/(幻是奇函數(shù)，且/(2-幻=/(幻，當(dāng)]時(shí)，/(x)=log2(xT)，則當(dāng)x?l,2]時(shí)/*)=

()

A.-log2(4-x)B.log2(4-x)C,-log2(3-x)D.Iog2(3-x)

解析：由/(x)是奇函數(shù)，且/(2—x)=/(%),得/(元+4)=/(幻，所以函數(shù)的周期7=4

又因?yàn)楫?dāng)xe[2,3]時(shí)，/(%)=10g2(x-l),所以當(dāng)XG[-2,-1]時(shí)，/(x)=log2(x+3),因?yàn)楹瘮?shù)/(x)

是奇函數(shù)，所以當(dāng)xe[1,2]時(shí)/(x)=-/(一幻=—log?(3—X).

9.【2012屆江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次聯(lián)考】

已知函數(shù)/(x)=[20則關(guān)于x的方程/[/(x)]+A=O,給出下列四個(gè)命題:

—2x,x<0

①存在實(shí)數(shù)攵，使得方程恰有1個(gè)不同實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)左，使得方程恰有2個(gè)

同實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)女，使得方程恰有3個(gè)不同實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)攵，使得方程

有4個(gè)不同實(shí)根；其中假命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案：C

解析：當(dāng)x20,/(/(切=/?)=e',當(dāng)x<0,/(/(%))=/(-2x)=e-2,

當(dāng)x?0,y=/是增函數(shù)，x<0,y=e3是減函數(shù)，由//(刈+A=0得"/(?)=—&,

方程./■(/(%))=-k解的個(gè)數(shù)即y=—左與y=/(/(%))的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖像得當(dāng)1K—kWe,有1

個(gè)解；當(dāng)-AN團(tuán)寸，有2解。

10.【2012年長春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題卷】

設(shè)/(幻是定義在R上的增函數(shù),且對于任意的I都有恒成立.如果實(shí)數(shù)“〃滿

足不等式組產(chǎn)華心，那么加+"的取值范圍是

A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49)D.(9,49)

答案：C

解析：由.tCEKJSW得_

???/(x)是R上的增函數(shù)，66K2"-^,

又m>3,結(jié)合圖象知J比+”為半圓毛工湃運(yùn)三亍《啟內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,故

V-&=S^A^1^-=S,.t.

-.填空題

11.[2012年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷】

若/(x)=(土+2)(土+加)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)加=.

X

及力工廠//I、rzi\(-1+2)(—1+加)(1+2)(1+ITi)1ccc

解析：f(—I)=-f(I),/.------------------------=----------------------,YYI-]=3+3m,m=-2.

—II

12.【北京市朝陽區(qū)2011-2012學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試】

log1(-x),-44x<0,

已知函數(shù)/(x)=12若方程/(x)=。有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

2cosx,0<X<71.

答案：[-2,+00)

解析：-4<x<0,/.-xe(0,4],log,(-x)e[-2,+oo);0<x<n,:.2cosxe[-2,2],若方程f(x)=a

2

有解，即函數(shù)的值域即為。的范圍，故實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-2,+8).

13.[2012年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷】

4

函數(shù)y=log,x+--------(x6[2,4])的最大值為_____________.

log2x

4

解析：令"log2%24xW4,，l<log2X〈2,.,.l<，W2.因?qū)μ柡瘮?shù)y=f+：在區(qū)間[1,2]上單調(diào)

遞減，故當(dāng)1=1時(shí)函數(shù)取得最大值為5.

14.[2012年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷】

若不等式/—依+左一1>。對xc(i,2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

-2

解析：x~—kx+Ze_1>0,_@.l—x<0,k<--------,1+x>2,.1.左W2.

1-x

15.【北京市朝陽區(qū)2011-2012學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試】

設(shè)函數(shù)/(x)=x"+l(aeQ)的定義域?yàn)閇―瓦一a][a,b],其中0<a(從若函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,b]

上的最大值為6,最小值為3,則/(幻在區(qū)間[-a-句上的最大值與最小值的和為.

答案：—5或9

解析：令a=2,/(x)=_?+],y(x)在區(qū)間[a,0上的最大值為f(b)=6,最小值為了⑷=3,因/(%)

為偶函數(shù)，故/（x）在區(qū)間［—仇一司上的最大值與最小值為6和3,和為9；令a=3,/（x）=V+l圖象

關(guān)于（0,1）點(diǎn)對稱，設(shè)/（%）在區(qū)間［-七—同上的最大值機(jī)與最小值為〃，則有

m+6,〃+31.,_

--------=1,--------=/篦=-4,〃=一1,故〃2+〃=—5?

22

考點(diǎn)二萬能工具，大題必考，幫你理順導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

—.專題

綜述

利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)、方程和不等式問題是高考必考的內(nèi)容，常以一道大題的形式出現(xiàn)，并且有一定

的難度，往往放在解答題的后面兩道題中的一個(gè)。試題考查豐富的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程思想常應(yīng)用

解決函數(shù)與方程的相關(guān)問題，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想常應(yīng)用于不等式恒成立問題和不等式證明問題，分類討論思

想常用于判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，同時(shí)要求考生有較強(qiáng)的計(jì)算能力和綜合問題的分

析能力?？v觀20n年各地的高考題，對于本專題常見的考點(diǎn)可分為八個(gè)方面，一是導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)

用，二是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和解不等式相聯(lián)系，三是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，四是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,

五是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，六是利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的綜合問題，七是利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際應(yīng)用問題

的最優(yōu)化問題，八是微積分的應(yīng)用。

考綱解讀

1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).能求簡單的復(fù)合

函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

3.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)

一般不超過三次）.

4.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函

數(shù)一般不超過三次）;

5.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.

6.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟，如用料最少、

費(fèi)用最低、消耗最省、利潤最大、效率最高等。

7.掌握導(dǎo)數(shù)與不等式、幾何等綜合問題的解題方法。

8.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.了解微積分基本定理的含義.

三.2012年高考命題趨向

1.求導(dǎo)公式和法則，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度

中檔左右，在考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又注重考查解析幾何的相關(guān)知識.預(yù)測2012年高考仍

將以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景設(shè)置成的導(dǎo)數(shù)與解析幾何的綜合題為主要考點(diǎn).重點(diǎn)考查運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合能

力。

2.利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題已成為炙手可熱的考點(diǎn)，既有小題，也有解答題，小題主要

考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解答題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，或方程、不等式的綜合應(yīng)

用（各套都從不同角度進(jìn)行考查）預(yù)測2012年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值為主要考向.

3利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值及生活中優(yōu)化問題成為高考的熱點(diǎn)，試題大多有難度，考查時(shí)多與函數(shù)的

單調(diào)性、極值結(jié)合命題，考生學(xué)會做綜合題的能力.預(yù)測2012年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性、極值與最值結(jié)合題目為主要考向，同時(shí)也應(yīng)注意利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題.

4.微積分基本定理是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容.通過分析近三年的高考試題，可以看到對它考查的頻率較低,

且均是以客觀題的形式出現(xiàn)的，難度較小，著重于基礎(chǔ)知識、基本方法的考查.

四.高頻考點(diǎn)解讀

考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例1[2011?湖南卷]曲線尸蓋襄嬴一拉點(diǎn)陪，°)處的切線的斜率為()

A.一1BC.一孚D.坐

【答案】B

【解析】對丫=一心一一；求導(dǎo)得到：

sirirH-cosx2

Icosx(sinx+cosx)—siar(cosx-sinx)_______1_____

)(sinx+cosx)2(siar+cosx)2，

例2[2011?山東卷]曲線y=/+11在點(diǎn)尸(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()

A.-9B.-3C.9D.15

【答案】C

【解析】因?yàn)?，'=3V所以2y'g=3,所以過點(diǎn)尸(1』2)的切線方程為y—12=3(x—l),即y=3x

+9,所以與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9.

考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

例3[2011?江西卷]若7(x)=d—2x—41nx,則/'(x)>0的解集為()

A.(0,+°°)B.(-l,0)U(2,+8)

C.(2,+8)D.(-1,0)

【答案】C

【解析】方法一：令/(x)=2x—2—*至二羋土口>0,又；於)的定義域?yàn)閧小>0},

/.(X-2)(x+1)>0(JC>0),解得x>2.故選C.

4

方法二：令，(x)=2x-2-^>0,由函數(shù)的定義域可排除B、D,取x=l代入驗(yàn)證，可排除A,故選C.

例4[2011?遼寧卷]函數(shù)_/(x)的定義域?yàn)镽,式-1)=2,對任意xWR,f(x)>2,則段)>2x+4的解集

為()

A.(-1,1)B.(-1,+O°)C.(-8,-1)D.(-8,+oo)

【答案】B

【解析】設(shè)G(x)=/(x)-2x-4,所以G'(x)=f。)-2,由于對任意xCR,/'(x)>2,所以G'。)=，(x)

-2>0恒成立，所以G(x)=/(x)—2x-4是R上的增函數(shù)，又由于G(—1)=4-1)-2X(-1)-4=0,所以

G(x)=_/(x)-2x—4>0,即式x)>2x+4的解集為(-1,+°°),故選B.

考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例5[2011?廣東卷]設(shè)a>0,討論函數(shù)/)=lnx+a(l-a)f—2(1—“比的單調(diào)性.

【解答】函數(shù)兀v)的定義域?yàn)?0,+8).

,2a(l—tOx2—2(1—a)x+1

f(x)=---------------------------------

X

當(dāng)時(shí)，方程2a(l—a)/—2(1—4)x+l=0的判別式」=12?-1)1a一

①當(dāng)Qw舸，J>0,/氫〕有兩個(gè)零點(diǎn)，

1l)(3a—1)_1,小4一1)(3。-1)

Xl=z---?、.；?----，0,X^=7-I--.、.-----%

2a2ml—a)-2a2a(l^a)

且當(dāng)Ovxxi或心力時(shí)，/(x)>0,貝x)在(0,不)與(4，+8)內(nèi)為增函數(shù)；

當(dāng)xi<x<x：時(shí)，/(x)<0,口丫)在(X】，X"內(nèi)為減函數(shù)；

②當(dāng);Wa<l時(shí)，」W0,7(x)>0,所以.心)在(0,+8)內(nèi)為噌函數(shù)；

③當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=f>0(r>0),作)在(0,+00內(nèi)為噌函數(shù):；

④當(dāng)a>l時(shí)，JX),m總-早誣三>0,

2a2a(l—a)

J(a-l)(3fl-l)

2a(l-a)”

所以/'(x)在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)X|,

且當(dāng)0a<ri時(shí),f(x)>0,段)在(0,xi)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f(x)<0,於)在(xi，+8)內(nèi)為減

函數(shù).

八一的單調(diào)區(qū)間如下表:__________________________________________________________________

0<〃<；

a>\

(0,X1)Ul，X2)3，+°°)(0,+8)(0)XI)(XI，+8)

__1"(a—l)(3a-1)__]4y(a-])(3〃-])、

=2a~2a(\~a)，及=五十2a(\~a))

例6[20U?福建卷]已知a,〃為常數(shù)，且aWO,函數(shù)y(x)=-ax+h+axlnx,式e)=2(e=2.71828…是自然

對數(shù)的底數(shù)).

(1)求實(shí)數(shù)力的值；

(2)求函數(shù)/U)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)4=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)，〃和使得對每一個(gè)M],直線y=r與曲線y=

e。都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)，〃和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由.

【解答】(1)由穴e)=2得匕=2.

(2)由(1)可得fix)=~ax+2+ax\nx.

從而，(x)=Hnx

因?yàn)閍WO,故：

①當(dāng)a>0時(shí)，由/(冗)>0得Q1,由/。)<0得0<=1；

②當(dāng)〃<0時(shí)，由/⑴乂)得ov<i,由/a)<o得QI.

綜上，當(dāng)〃>0時(shí)，函數(shù)段)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；

當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)7U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(I,+8).

(3)當(dāng)。=1時(shí)，?r)=-x+2+xlnx,f(x)=lar.

由(2)可得，當(dāng)x在區(qū)間Q,e)內(nèi)變化時(shí)，/(x),/U)的變化情況如下表:

191)

X1e

e(1.e)

f(X)—0+

於)2T單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2

又2—|<2,所以函數(shù)貫尤)(*之，e])的值域?yàn)閇1,2].

據(jù)此可得，若相對每一個(gè)七［〃2,M］,直線產(chǎn)f與曲線y=/(x)Qw［2e］都有公共點(diǎn)；

并且對每一一個(gè)￡(—8,W)U(M,+8),直線)，=/與曲線丫=/(》)(％65e］)都沒有公共點(diǎn).

綜上，當(dāng)a=l時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)〃?=1,最大的實(shí)數(shù)"=2,使得對每一個(gè)teg?,M］,直線y=f與

曲線y=?r)Qeej)都有公共點(diǎn).

例7［2011?安徽卷］設(shè)/(x)=不樂，其中a為正實(shí)數(shù).

4

⑴當(dāng)。=］時(shí)，求次幻的極值點(diǎn)；

(2)若兀0為R上的單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍.

1---0/7Y

【解答】對_/?求導(dǎo)得/(x)=e'萬奇「①

⑴當(dāng)"=，時(shí)，若/(x)=0，則4*—8x+3=0,解得xi=,,X2=g.

結(jié)合①可知

13

X

(-8,92&I)29+8)

f(X)+0——0+

Ax)極大值極小值

所以，Xl=］是極小值點(diǎn)，X2=］是極大值點(diǎn).

(2)若?r)為R上的單調(diào)函數(shù)，則/'(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a>0,知加-2or+l20在R

上恒成立，因此/=4〃-4"=443—1)WO,由此并結(jié)合a>0,知0<aWL

【解題技巧點(diǎn)睛】單調(diào)性是函數(shù)的最重要的性質(zhì)，函數(shù)的極值、最值等問題的解決都離不開函數(shù)的單調(diào)

性，含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性又是綜合考查不等式的解法、分類討論的良好素材.函數(shù)單調(diào)性的討

論是高考考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的最重要的考查點(diǎn).函數(shù)單調(diào)性的討論往往歸結(jié)為一個(gè)不等式、特別是

一元二次不等式的討論，對一元二次不等式，在二次項(xiàng)系數(shù)的符號確定后就是根據(jù)其對應(yīng)的一元二次方

程兩個(gè)實(shí)根的大小進(jìn)行討論，即分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是先二次項(xiàng)系數(shù)、再根的大小.對于在指定區(qū)間上不等

式的恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題加以解決，如果函數(shù)在這個(gè)指定的區(qū)間上沒有最值，則可

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的值域，通過值域的端點(diǎn)值確定問題的答案.

考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題

例8［2011?安徽卷］函數(shù)兀0=加"(1一x)"在區(qū)間［0,1］上的圖像如圖1―2所示，則n的值可能是()

圖1一2

A.m—1,n—1B.m—\,n—2

C?m=2,n1D.m=3,〃=』

【答案】B

【解析】由圖可知〃>0.當(dāng)加=1,〃=1時(shí)，?￥)=6(1一工)的圖像關(guān)于直線對稱，所以A不可能;

2i2

當(dāng)根=1,〃=2時(shí)，J(x)=ax(\—x)=a(x—2x+x)f

f'(x)=n(3x2—4x+l)=〃(3x—l)(x—1),

所以火X)的極大值點(diǎn)應(yīng)為X=4<0.5,由圖可知B可能.

當(dāng)〃?=2,〃=1時(shí)，fix)=ax1(1—x)=?(x2—%3),

f(x)=〃(2x—3『)=—or(3x—2),

2

所以兀v)的極大值點(diǎn)為x=1>0.5,所以C不可能；

當(dāng)機(jī)=3,n=I時(shí)，J[x)=axi(1—x)=a(xi—x4),

f(x)=a(3x2—4/)=一五⑷苫-3),

3

所以7(x)的極大值點(diǎn)為x=1>0.5,所以D不可能，故選B.

例9[2011?浙江卷]設(shè)函數(shù)火x)=(x-4)21nx,?￡R.

(1)若x=e為y=_/(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃；

(2)求實(shí)數(shù)。的取值范圍，使得對任意的xd(0,3e],恒有<x)W4e2成立.

注：e為自然對數(shù)的底數(shù).

【解答】(1)求導(dǎo)得了。)=2。一幻血+叢券=(*一少12而+1一爭.

因?yàn)閤=e是.依)的極值點(diǎn)，

所以7(e)=(e—<i)(3—￡)=0,解得a=e或a=3e,

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以a=e或a=3在

⑵①當(dāng)QC1W1時(shí)，對于任意的實(shí)數(shù)a,恒有人成立.

②當(dāng)l<xW3e時(shí)，由題意，首先有,K3e)=(3eLa)21n(3e)W4f,

解得3e—.WaW3eT--,"e.

"ylniJe)Mn(3e)

由(1)知f(x)=(.x-aj'21n.x+l-1>

令h(x)=21nx+1—則會⑴=1—aVO,

/t(a)=21nn>0,

女I

且ft(3e)=21n(3e)+l-^>21n(3e)+1-----

=23一患A。.

又?jǐn)鄕)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)力④在(Q,+8)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為

xj(則l<xo<3e,

l<X3<fl.從而，

當(dāng)xG(O,冽)時(shí)，/(%)>0；當(dāng)xG(沏,a)時(shí),f(x)<0；當(dāng)xG(a,+8)時(shí)，f(x)>0,即火x)在(0,向)

內(nèi)單調(diào)遞增，在(XO,a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以要使犬x)<4e2對xG(l,3e]恒成立，只要

/0)=(松一a)21nx()W4e2,(1)

,_,成立.

伙3e)=(3e—a)21n(3e)W4e?(2)

由〃(xo)=21nxo+l—3=0,知

a=2jcolnxo+x().(3)

將⑶代入⑴得4而ln3xoW4e2.又沏>1,注意到函數(shù)FlrPx在[1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，故la()We.再由⑶

以及函數(shù)2xhu+x在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，可得l<“W3e.

由⑵解得'3e一瑞5'W3e+嵩’

所以3e—j==^a^3e.

Vln(3e)

綜上，a的取值范圍3e—苫=WaW3e.

Vln(3e)

【解題技巧點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的根本，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間

的分界點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)，在含有字母參數(shù)的函數(shù)中討論函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)把函數(shù)

的定義域區(qū)間進(jìn)行分段，在各個(gè)段上研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，也確定了函數(shù)的極值

點(diǎn)，這是討論函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)情況進(jìn)行分類的基本原則.

考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題

例10［2011?北京卷］已知函數(shù)1x）=（x-%）24.

（1）求/U）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對于任意的仲0,+00）,都有式工局，求上的取值范圍.

【解答】（1斤（工）=1一,）京.

令/（尤）=。，得x=±L

當(dāng)k>0時(shí)，火x）與/（x）的情況如下：

X(—8,-k)-k(一hk)k(k,+°°)

f（X）+0—0+

fix)4/一10

所以，?r）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,一外和（左,+8）；單調(diào)遞減區(qū)間是（一七k）.

當(dāng)左VO時(shí)，危）與］（x）的情況如下:

X(—8,lc)k(k,~k)~k1—k,+0°)

f(X)—0+0—

於）04五-1

所以，./U）的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,Q和（一k,+8）；單調(diào)遞增區(qū)間是（k,-k）.

（2）當(dāng)仁>0時(shí),因?yàn)橹?1）=笠X，所以不會有VxG（。，+8）,於）

4P

當(dāng)出V0時(shí)，由⑴知府）在（0,+8）上的最大值是火一女）=".

所以VxC（0,+8）,兀V）W：,等價(jià)于人一期二受忘土

解得一左<0.

故當(dāng)Vxd（0,+°o）,危局時(shí)，k的取值范圍是一/0）.

例11［2011?江西卷］設(shè)凡r）=—g+gf+zor.

（1）若4x）在仔，+8）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求。的取值范圍；

⑵當(dāng)0<a<2時(shí)，危）在［1,4］上的最小值為一號，求段）在該區(qū)間上的最大值.

【解答】（1）由/'（x）=-r+x+Zan—Q—02+；+2“，

當(dāng).隹悻+8時(shí)，/*（x）的最大值為了*二/2々；令；+2心0,得心一

所以，當(dāng)4—豺上）在6,+叼上存在單調(diào)遞增區(qū)間.

'人"c1—1\/l+Sal+^/1+Sa

（2）令/（x）=0,得兩根*=—%---，x;=-\----.

所以.心?府（-8,xi）,（X?+8）工單調(diào)遞誠，在（；，*）上單調(diào)遞噌.

當(dāng)0，<2