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文檔簡(jiǎn)介

2019-2020學(xué)年高一《新題速遞?數(shù)學(xué)》

考點(diǎn)06-11

考點(diǎn)06柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體

考點(diǎn)07三視圖和直觀圖

考點(diǎn)08球、棱柱、棱錐的表面積和體積

考點(diǎn)09空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

考點(diǎn)10線、面平行或垂直的性質(zhì)與判定

考點(diǎn)11立體幾何綜合

怎~嗨?\運(yùn)入富。??胭?.。瑞.?慧??魂運(yùn)一%「。運(yùn)?日"?運(yùn)?。嘲.?迪:?‘魂

考點(diǎn)06柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體

一、單選題

1.(2020屆湖北省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)教科研協(xié)作體高三統(tǒng)一聯(lián)合考試數(shù)學(xué)(理)試題)魯班鎖是中國(guó)傳

統(tǒng)的智力玩具,起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的樣卯結(jié)構(gòu),它的外觀是如圖所示的十字立方體,其上下、左

右、前后完全對(duì)稱,六根完全一樣的壬四棱柱體分成三組,經(jīng)90。樺卯起來(lái).若正四棱柱的高為6,底面正

方形的邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器(容器壁的厚度忽略不計(jì)),則該球形容器表面積的最

小值為()

【答案】A

【解析】

【分析】由于圖形的對(duì)稱性,只要求出一組正四棱柱的體對(duì)角線,即是外接圓的直徑.

【詳解】由題意,該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個(gè)長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半,

即為』x,36+4+1=,

22

???該球形容器體積的最小值為:4ix(卷上)2=4E.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問(wèn)題,考查了空間想象能力,考查了轉(zhuǎn)化思想,該類問(wèn)題的一個(gè)主要

方法是通過(guò)空間想象,把實(shí)際問(wèn)題抽象成空間幾何問(wèn)題,屬于中檔題.

2.(湖北省宜昌市長(zhǎng)陽(yáng)縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知半徑為5的球的兩個(gè)平行

被面的周長(zhǎng)分別為6萬(wàn)和8萬(wàn),則兩平行截面間的距離是()

A.1B.2

C.1或7D.2或6

【答案】C

【解析】

【分析】求出兩個(gè)平行截面圓的半徑,由勾股定理求出球心到兩個(gè)截面的距離.分兩個(gè)平行截面在球心的同

側(cè)和兩側(cè)討論,即得兩平行截面間的距離.

【詳解】設(shè)兩平行截面圓的半徑分別為小弓,則2%彳=6匹2乃乃=8肛=3,弓=4.

2222

.?.球心到兩個(gè)截面的距離分別為4=>/5-3=4,J2=>/5-4=3.

當(dāng)兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)時(shí),兩平行截面間的距離為4-4=4-3=1;

當(dāng)兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)時(shí),兩平行截面間的距離為4+4=4+3=7.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查球的截面間的距離,屬于基礎(chǔ)題.

3.(黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題)如圖,透明的圓柱

形容淵(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm,底面周長(zhǎng)為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部女m的點(diǎn)3處有一

飯粒,此時(shí)一只螞蚊正好在容器外壁,且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處,則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑

是()

0

A.13cmB.2\/6TcmC.VbTcmD.2后cm

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示:圖像為圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖,A關(guān)于E/的對(duì)稱點(diǎn)為A',則AE+3E的最小值為AB,

計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示:圖像為圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖,A關(guān)于E尸的對(duì)稱點(diǎn)為A',

則AE+8E的最小值為AB,易知5C=5,A,C=12,故48=13.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的最短距離問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

4.(山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)下列結(jié)論正確的是()

A.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

B,每個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

C,圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)的連線是母線

D.用一個(gè)平面截圓錐,截面與底面間的部分是圓臺(tái)

【答案】A

【解析】

【分析】利用椎體、臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征即可逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A,利用三棱錐P—A5C,滿足平而A8C,

」1AA3c是以點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)的宜角:角形,如圖:

p

則2_L/W,E4_LAC,PALBC,乂8CJ_AC,

PA(>\AC=A,PA,ACu平面QAC,

.,.8C_L平面尸AC,尸Cu平面PAC,

..BCLPC,故三棱錐P—ABC的四個(gè)面都是直角三角形,

...存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體.

對(duì)于B,根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征,各個(gè)面為三角形不一定為三棱錐,

兩個(gè)一樣的三棱錐上下拼接成一個(gè)六面體,它的每個(gè)面都是三角形,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,

其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺(tái),

旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸,直角梯形上、下底旋轉(zhuǎn)所成的圓面稱為圓臺(tái)的上、下底面,

另一腰旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為圓臺(tái)的側(cè)面,

側(cè)面上各個(gè)位置的直角梯形的腰稱為圓臺(tái)的母線,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,只有用平行于圓錐底面的平面去截取圓錐,

質(zhì)錐底面和截面之間的部分才是圓臺(tái),故D錯(cuò)誤:

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)

題.

5.(山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)用一平面截正方體,截面可能是

①三角形②四邊形③五邊形④六邊形中的()

A.①②B.①②③C.①②?D.①??④

【答案】D

【解析】

【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征,作出截面即可判斷.

【詳解】如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征,注意培養(yǎng)空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.

二、多選題

6.(山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體,截

面的形狀是三角形,那么這個(gè)幾何體可能是()

A.圓錐B.圓柱C.三棱錐D.正方體

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)物體特征分析截面可能的情況即可得解.

【詳解】圓錐的軸截面是三角形,圓柱的任何截面都不可能是三角形,

三棱錐平行于底面的截面是三角形,

正方體的截面可能是三角形,如圖:

故選:ACD.

【點(diǎn)睹】此題考查物體截面辨析,關(guān)健在于熟悉常見(jiàn)幾何體的幾何特征,分析截面可能的情況.

7.(福建省泉州第十六中學(xué)2019-2020學(xué)年高一5月月考數(shù)學(xué)試題)下列命題錯(cuò)誤的是()

A.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形

B,用一個(gè)平面去截棱錐,棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)

C,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn),側(cè)面是等腰梯形

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接利用棱柱,棱錐,棱臺(tái)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,棱柱的側(cè)面不一定全等,故錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由棱臺(tái)的定義可知只有當(dāng)平面與底面平行時(shí),所截部分才是棱臺(tái),故錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直,比如正方體中共點(diǎn)的三個(gè)相鄰平面,

故正確;

對(duì)于D,棱臺(tái)的側(cè)面不一定是等腰梯形,故錯(cuò)誤.

綜上,ABD錯(cuò)誤.

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)、線、面間位置特征的判斷,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,考查學(xué)生的空間想象能力和推

理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.

三、填空題

8.(上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)己知球。的半徑aA8是球面上兩

點(diǎn),若線段A8的長(zhǎng)為凡,則A、8兩點(diǎn)間的球面距離為.

【答案】-R

3

【解析】

【分析】先根據(jù)|A@=即=R,求出/405=巳,則可得到4、4兩點(diǎn)間的球面距離為生R.

【詳解】球。的半徑是球面.上兩點(diǎn),線段43的長(zhǎng)為民

t\AB\=\OB\=|O4|=R,所以AOAB為等邊三角形.

所以NAOB=X,所以4、B兩點(diǎn)間的球面距離為工?R-R

333

故答案為:-R

3

【點(diǎn)睛】本題考查求球面上兩點(diǎn)間的球面距離,屬于基礎(chǔ)題.

9.(山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)如圖,三棱錐S-45C中

,SA=SB=AC=2,^ASB=ZBSC=ZCSA=300,M、N分別為SB、SC上的點(diǎn),則AAMN周

長(zhǎng)的最小值為.

【答案】2&

【解析】

【分析】把三棱錐的側(cè)面沿其中一條側(cè)棱展開(kāi)成平面,在平面中即可求出AAMN周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】將三棱錐S-ABC側(cè)面沿其中一條側(cè)棱展開(kāi)成如圖所示的平面圖形:

4ZASB=ZBSC=NCSA=30",

所以ZASAf=NASB+/BSC+ZCSA=90,

s

觀察圖形可知,

半4、M、N三點(diǎn)共線時(shí),A4MN周長(zhǎng)的最小,

此時(shí)A4A/N周長(zhǎng)為AN+MN+AM=722+22=2&?

故答案為:2夜

【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體表面上的最值問(wèn)題,解題的基本思路是“展開(kāi)”,將空間幾何體的"面''展開(kāi)

鋪在一個(gè)平面上,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問(wèn)題,屬于中檔題.

10.(江蘇省常州市教學(xué)聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)圓錐底面半徑為10,母線長(zhǎng)為40,

從底面圓周上一點(diǎn),繞側(cè)面一周再回到該點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)度是—.

【答案】40夜

【解析】

【分析】根據(jù)題意,先求得展開(kāi)圖形中扇形的圓心角度數(shù),即可由勾股定理求得最短路徑長(zhǎng).

【詳解】該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形,該扇形圓心角度數(shù)為1二當(dāng)”二:,

,最短路程為7402+402=40>/2.

故答案為:40>/2?

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征,最短距離求法,屬于基礎(chǔ)題.

11.(江西省南昌市新建縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)(文)試題)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為2。,母線

與軸的夾角為30。,下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的2倍,則上底面圓的半徑為.

【答案】a

【解析】

【分析】設(shè)上底面半徑為,,則下底面半徑為2人根據(jù)NF=3O°用,表示尸A、PB,由尸6=%十At?列

出等式即可得解.

【詳解】如圖所示,設(shè)上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,

?.ZP=30,:.PA=2O,A=2r,PB=2OB=4r,

乂PB=PA+AB,..2a+2r=4r^r=a.

故答案為:a

【點(diǎn)睛】本題考杳圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,解題時(shí)應(yīng)用初中平面幾何的知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.

12.(湖南省五市十校2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題A卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》

中有云:”今有木長(zhǎng)三丈五尺,圍之4尺.葛生其下,纏木三周,上與木齊,問(wèn)葛長(zhǎng)幾何?”其意思為:圓木

長(zhǎng)3丈5尺,圓周為4尺,葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng),繞圓木三周,剛好頂部與圓木平齊,問(wèn)葛藤

最少長(zhǎng)尺.(注:1丈等于10尺)

【答案】37

【解析】

【分析】根據(jù)題意知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,葛藤長(zhǎng)是三個(gè)矩形相連所成對(duì)角線的長(zhǎng).

【詳解】由題意,圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,如圖所示:

條直角邊(即圓木的高)長(zhǎng)3x10+5=35尺,另一條直角邊長(zhǎng)3x4=12尺,

因此葛藤長(zhǎng)為出行茯=37尺.

故答案為:37.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上的最短距離計(jì)算問(wèn)題,正確運(yùn)用圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵,考查

空間想象能力,屬于中等題.

◎:冬>.?巧。.*?.O*/4?F運(yùn)?.。彩。??甯。??疆?。嵋.°蠹??.霧

考點(diǎn)07三視圖和直觀圖

一、單選題

1.(江西省南昌市八一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文)試題)如圖,一個(gè)水平放置的面積

是2+a的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形,其中A'O〃8C,則等腰梯形面積為()

A.—H---B.1H---c.1+V2D.2+V2

222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則得出原水平放置的平面圖,利用梯形的面積公式表示出直觀圖的面積:

SAECD,=L(AO'+8'C')?Y^A8',即可求解.

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則得原水平放置的平面圖:

上底為477,下底為B'C',高為2A?的直角梯形,

所以水平放置的平面圖形的面積為:

5=-(4。+B'Cy2A'=2+41

貝電s=g(AO+叱)等AB,

=4x:(AZy+*C)2AB=4(2+應(yīng)]3+4.

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則,考查了基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題

2.(河南省濮陽(yáng)市2020屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題)“王莽方斗”鑄造于王莽始建國(guó)元年(公元9

年),有短柄,上下邊緣刻有篆書(shū)銘文,外壁漆畫(huà)黍、麥、豆、禾和麻紋,如圖1所示.因其少見(jiàn),故為研

究西漢量器的重要物證.圖2是“王莽方斗”模型的三視圖,則該模型的容積為()

【分析】根據(jù)三視圖提供的數(shù)據(jù)結(jié)合幾何體為長(zhǎng)方體,然后利用長(zhǎng)方體的體積公式求解.

【詳解】由三視圖知,該幾何體容積部分為長(zhǎng)方體,且長(zhǎng),寬,高分別為:6,6,4.5,

所以其容積為4.5x6x6=162.

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化、三視圖、空間幾何體的體積,還考查了直觀想象和運(yùn)算求解的能力,屬于基

礎(chǔ)題.

3.(天津市寶城區(qū)大鐘莊高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一6月月考數(shù)學(xué)試題)如圖是一梯形OABC的直觀圖,

其直觀圖面積為S,則梯形OA8C的面積為()

y'

A.2SB.夜SC.2y/2SD.石S

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)學(xué)里=坐,可得梯形048c的面積.

3原圖4

【詳解】由孕里=坐,可得梯形0A8C的面積S悌形"8c=*=2&S.

、原圖472

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法,屬于基礎(chǔ)題.

4.(北京市海淀區(qū)2020屆高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)(二模)數(shù)學(xué)試題)某三棱錐的三視圖如圖所示,如果

畫(huà)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該三棱錐的體積為()

;主視圖:左視圖:

C...-

;俯視圖;;;;

24

A.-B.-C.2D.4

33

【答案】A

【解析】

【分析】如圖所示:三棱錐£-5。七為三視圖對(duì)應(yīng)幾何體,計(jì)算體積得到答案.

【詳解】如圖所示:在邊長(zhǎng)為2的正方體A3CO-A與GA中,E為CD中點(diǎn)、,

見(jiàn)三棱錐G-8。七為三視圖對(duì)應(yīng)幾何體.

V=—SCC,=—x—xlx2x2=—.

3A△B血nF?323

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求體積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

5.(廣西來(lái)賓市2019-2020學(xué)年高三5月教學(xué)質(zhì)量診斷性聯(lián)合考試數(shù)學(xué)(文)試題)已知某幾何體的三視圖如

圖所示,則該幾何體的表面積為()

俯視圖

A.22乃+12B.24)+12C.264+12D.204+12

【答案】A

【解析】

【分析】由三視圖可知,該幾何體為圓柱進(jìn)行切割了一個(gè)半圓柱所得的組合體,再分別計(jì)算各個(gè)表面的面

積之后即可.

【詳解】由二視圖可知,該幾何體為圓柱進(jìn)行切割了一個(gè)半圓柱所得的組合體,

所以所求表面積為2x4x2?+3x4+4x2x5+4x2x2=224+12

【點(diǎn)睛】本題考查由一:視圖還原立體圖形并求表面積,屬于基礎(chǔ)題.

6.(江西省垂點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2020屆高■.第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)試題)某幾何體的三視圖如圖所示(網(wǎng)格中

的每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為單位1),則該幾何體的體積為()

162022

A.—B.6C.—D.—

333

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖,得出該幾何體是由正方體截割去1個(gè)三棱錐所得到的幾何體,由此求出幾

何體的體積.

【詳解】解:由三視圖,可知該幾何體是由正方體截割去1個(gè)三楂錐所得到的幾何體,如圖所示:

因?yàn)榫W(wǎng)格中的每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為單位1,

112

所以三棱錐的體積為咚棱椎=~x_x2xlx2=—,KE方體=2x2x2=8

八222

所以該幾何體的體積為%方體一咚棱仲=8--=y

【點(diǎn)睛】此題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體的體積的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.

7.(浙江省紹興市諸暨市2020屆高一:下學(xué)期6月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題)一個(gè)空間兒何體的三視圖如圖

所示,則其體積等于()

A娓3

D.-

6c72

【答案】C

【解析】

【分析】由三視圖可知該幾何體為三棱錐,再根據(jù)棱錐的體積公式求解即可.

【詳解】解:由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,如圖,且高為

D

,該三棱錐的體積V=-x—xlxx,

322

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體并求幾何體的體積,屬于基礎(chǔ)題.

8.(浙江省溫州市2020屆高三下學(xué)期6月高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:

cm),其俯視圖是兩個(gè)同心圓,且小圓的內(nèi)接四邊形是正方形,則該幾何體的體積等于()cu『.

俯視圖

112萬(wàn)o112萬(wàn)28萬(wàn)028九”

A.-----8B.-----16C.-----8D.-----16

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由幾何體的三視圖可得,幾何體是一圓臺(tái)挖了一個(gè)內(nèi)接正四棱柱,用圓臺(tái)的體積減去正四棱柱的

體積即可求得答案.

【詳解】圓臺(tái)的體積為匕=g(萬(wàn)=等,設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為。,

則億=2,得。=應(yīng),則正四棱柱的體積匕=02乂4=8,

故幾何體的體積為乂-匕=竽-8.

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的理解和圓臺(tái)、正四棱柱的體積公式,還考察了空間想象能力.

9.(上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)如圖,正方體ABC。—ABIGA中,

£為棱的中點(diǎn),用過(guò)4E、G的平面截去該正方體的下半部分,則剩余幾何體的主視圖是()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)剩余幾何體的直觀圖,結(jié)合三視圖的定義即可得到主視圖.

【詳解】在正方體—AqGA中,取0A的中點(diǎn)/,連接4F,GF,如圖.

則A/"GE,所以過(guò)點(diǎn)4、E、G的平面截該正方體的截面為平行四邊形

見(jiàn)用過(guò)A、E、G的平面截去該正方體的下半部分,剩余幾何體為ABCOFGE

貝!其正視圖為圖中粗線部分.

【點(diǎn)睛】本題考查空間三視圖與直觀圖的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

10.(山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)如圖,某三棱錐的三視圖都是

直角邊為近的等腰直角三角形,則該三棱錐的表面積是()

A.6B.6+6C.3D.3+6

【答案】D

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為正三棱錐產(chǎn)一ABC,且RA、PB、PC兩兩互相垂直,

PA=PB=PC=2,根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為正三棱錐P-48C,

且「4、PB、PC兩兩互相垂直,PA=PB=PC=2,

該三棱錐的表面積S=SjPC+S.C+S.ABP+S.ABC

=—xV2x>/2+—x\/2x^2+—x>/2x>/2+—x2x2xsin60=3+5/3.

2222

故選:D

【點(diǎn)睛】本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的表面積,解題的關(guān)鍵是還原出幾何體的直觀圖,考查了

空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.

11.(山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題;某水平放置的平面圖形的斜二

側(cè)直觀圖是等腰梯形(如圖所示),ZABC=45\AD=AB=^BC=],則該平面圖形的面積為()

(0)

A.3B.4

r3>/2n3&

24

【答案】A

【解析】

【分析】先確定直觀圖中的線段長(zhǎng),再確定平面圖形中的線段長(zhǎng)度,從而求得平面圖形的面積.

【詳解】由/4BC=45°,AO=AB=1BC=1

2

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可知:

原平面圖形為:下底邊長(zhǎng)為2,上底為1,高為2的直角梯形,

所以S=tZx2=3.

2

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測(cè)畫(huà)法中直觀圖與平面圖形中的量的變化,屬于基礎(chǔ)題.

12.(福建省泉州第十六中學(xué)2019-2020學(xué)年高?一5月月考數(shù)學(xué)試題)5c是邊長(zhǎng)為1的正三角形,那么

△A3C的斜二測(cè)平面直觀圖△A'8'O的面積()

A.邁B.近C,皂D.在

16884

【答案】A

【解析】

【分析】先求出原三角形的面積,再根據(jù)原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系即可得解.

【詳解】以4B所在直線為“軸,線段AB的垂直平分線為丁軸,建立直角坐標(biāo)系,

畫(huà)對(duì)應(yīng)的V軸,軸,使Nx'O'y'=45。,如下圖所示,

結(jié)合圖形,△ANC的面積為SA”=-xABxOC=-xix—=—,

△A8c2224

作CO_L48.垂足為O,

則。0二與"=旦10。=立0。,AB=A'B,.

2224

所以△A'B'C'的面積SABU=』XA3'XCO=-x—xOCx4fi=—xS

4ABe2244

即原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為學(xué)里二一,

3像圖4

所以,△A'B'O的面積為2.吐=#*¥=普.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法中原圖和直觀圖面積的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.

◎:冬>.?巧。.*?.O*/4?F運(yùn)?.。彩。??甯。??疆?。嵋.°蠹??.霧

考點(diǎn)08球、棱柱、棱錐的表面積和體積

一、單選題

1.(山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于表面

積的:,且其軸截面的周長(zhǎng)是16,則該圓柱的體積是()

A.54%B.36乃C.274D.167r

【答案】D

【解析】

2,

2%7?力=-x2乃/?(力+/?)

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為A,高為力,則由題意得,3'。解方程組,再根據(jù)

2/1+4/?-16

圓柱的體積公式求解即可.

【詳解】解:設(shè)圓柱的底面半徑為R,高為〃,

???圓柱的側(cè)面積等于表面積的I",且其軸截面的周長(zhǎng)是16,

冗兀()

2Rh=^x2Rh+R\R=2

2/z+4R=16叫I

???圓柱的體積為V=2a=164,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的表面積公式與體積公式,屬于基礎(chǔ)題.

2.(山東省平邑縣、沂水縣2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)某種浮標(biāo)是一個(gè)半球,其直徑為

0.2米,如果在浮標(biāo)的表面涂一層防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆

需要涂料()(萬(wàn)取3.14)

A.47.1kgB.94.2kgC.125.6kgD.157kg

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合球的表面積公式,求出一個(gè)浮標(biāo)的表面積,進(jìn)而可求1000個(gè)浮標(biāo)涂防水漆需要涂料質(zhì)量.

r詳解】解:由題意知,半球的半徑R=O.I米.一個(gè)浮標(biāo)的表面積

S=L?4TTR2+TTR2=3兀R2=3X3.14X0.12=0.0942平方米,

2

所以1000個(gè)浮標(biāo)涂防水漆需要涂料1000x0.5x0.0942=47.1kg.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了球的表面積的求解.本題的關(guān)鍵是求出半球的表面積.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是求表面積時(shí),忽

略半球的圓面的面積.

3.(四川省樂(lè)山市2020屆高三第三次調(diào)查研窕考試數(shù)學(xué)(文)試題)如圖,在三棱錐A-88中,

ZABC=ZABD=ZCBD=90°,AB=BC=BD=1,則其外接球的體積為().

71

AA.~J7tB.-----兀C.-----itnD.—

222

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得三棱錐A-BCD在正方體中,借助正方體的體對(duì)角淺即為外接球的直徑即可求得結(jié)

果.

【詳解】將三棱錐4一3。0放入棱長(zhǎng)為1的正方體中,

如其外接球即為正方體的外接球,球半徑為/?=立,

2

所以外接球的體積為V=3兀W=且九

32

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查兒何體的結(jié)構(gòu)特征以及外接球問(wèn)題,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于基

礎(chǔ)題.

4.(四川省成都市第七中學(xué)2020屆高三高中畢業(yè)班三診模擬數(shù)學(xué)(文科)試題)已知一個(gè)四面體的每一個(gè)面

都是以3,3,2為邊長(zhǎng)的銳角三角形,則這個(gè)四面體的外接球的表面積為()

117T11〃”

A.-----B.-----C.1IKD.22兀

42

【答案】C

【解析】

【分析】考慮?個(gè)長(zhǎng)方體A8C?!?其四個(gè)頂點(diǎn)就構(gòu)成?個(gè)四面體A5CA恰好就是每個(gè)三角

形邊長(zhǎng)為3,3,2,則四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,進(jìn)而計(jì)算出其外接球的直徑,即可得外接球的

表面積.

【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體A8CO-AgGR的長(zhǎng)寬高分別是。*,C,其四個(gè)頂點(diǎn)就構(gòu)成?個(gè)四面體滿

足每個(gè)面的邊長(zhǎng)為3,3,2,如圖:

貝!四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,

醫(yī)為a?十廿=9,b2+c2=9,/+/=4,所以儲(chǔ)+6+已=n,

所以,長(zhǎng)方體的外接球直徑2R=而,

故外接球的表面積S=4兀R?=114.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)幾何體的外接球表面積,關(guān)鍵是求出外接球的半徑,將幾何體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體是

解題的關(guān)鍵,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.

5.(2020屆四川省成都市石室天府中學(xué)高三第四次階段性質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題)阿基米德(公元前287

年一公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)

學(xué)家.據(jù)說(shuō),他自己覺(jué)得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且

球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器

里放了一個(gè)球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為54〃的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,

貝!該球的體積為()

64萬(wàn)

A.44B.16乃C.36萬(wàn)

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)球的半徑為凡根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為S=24R?+2TCRx2R=54",解得

球的半徑R=3,再代入球的體積公式求解.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,

根據(jù)題意圓柱的表面積為S=2/%+2TIRx27?=54萬(wàn),

解得R=3,

4q4O

所以該球的體積為夕=一萬(wàn)?=一X笈X33=364.

33

故選:C

【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面旗和體積,還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.

6.(2020屆甘肅省高三第二次高考診斷考試數(shù)學(xué)(理科)試題)在四棱錐P-A3C。中,底面48CO為矩形,

AB=?BC=1,△B4C為等邊三角形,若四棱錐尸一ABC。的體積為1,則此四棱錐的外接球表面

積為()

4萬(wàn)8期16冗-

A.—B.—C.-----D.3%

333

【答案】C

【解析】

[分析]連接AC8。交于0,先根據(jù)&PAC為等邊三角形以及四棱錐P-ABCD的體積為1可得P0±

平面A3CO,進(jìn)而可得球心在平面PAC中,進(jìn)而求得外接球的半徑與表面積即可.

【詳解】連接AC,3。交于。.連接尸。.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,故AC=7AB2+BC2=2.

又APAC為等邊三角形,故B4=PC=2,AO=1,PO=JL

又四棱錐P—A3CD的體積為1,設(shè)高為力,則;?48-8。/=1,解得〃=百.

故尸。為四棱錐P-ABCD的高.即PO1平面ABCD.

又AC為底面A3CO外接圓的直徑,故此四棱錐的外接球球心在平面H4C中,即三角形P4C外接圓圓心.

設(shè)球半徑為R,則2R=.=吃,故表面積為4萬(wàn)甯=乃(2/?『=2/.

sinZ.PACV33

L點(diǎn):睛】本題主要考查了錐體外接球的計(jì)算,需要根據(jù)題意判斷外接球球心的位置,再用正弦定理求解半徑

跳可?屬于中檔題.

7.(四川省南充高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年島?二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題)在三棱錐尸一ABC中,

PA=PB=PC=2,且尸APB,PC兩兩互相垂直,則三棱錐P-ABC的外接球的體積為()

A.4居B.8區(qū)C.16缶D.2后

【答案】A

【解析】

【分析】

將已知三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體,將求三棱錐P-ABC的外段球體積轉(zhuǎn)化為該正方體的外接

球,由正方體體對(duì)角線長(zhǎng)度等于其外接球直徑即可求得外接球的半徑,進(jìn)而由球體的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

在三棱錐P-ABC中有PAPB,PC兩兩71相垂H,\\.PA=PB=PC=2,則可將其補(bǔ)全為一個(gè)邊長(zhǎng)為

2的正方體,顯然該正方體的外接球即為二棱錐P-ABC的外接球,設(shè)該外接球的半徑為r,

正方體的體對(duì)角線為+2?+2]=2若,則2,=26nx8

4廠

故外接球的體積為V=§4,=4回.

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐外接球的體積,屬于簡(jiǎn)單題.

8.(2020屆山東省濟(jì)南市高三二模數(shù)學(xué)試題)在三棱錐P-ABC中,AB=2,AC1BC,若該三棱錐的

體積為:,則其外接球表面積的最小值為()

49464乃25乃

A.54B.——C.------D.——

1294

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)均值不等式得到S&BC41,故人22,當(dāng)P離平面ABC最遠(yuǎn)時(shí),外接球表面積最小,此時(shí)

h15

尸在平面ABC的投影為A8中點(diǎn)。|,故R=]+不,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到人.=],計(jì)算得到答案.

【詳解】AB=2,AC1BC,故底面三角形外接圓半徑為r=1,

S2Bc=gcA?C8?;(C42+C82)=l,當(dāng)CA=CB=0時(shí)等號(hào)成立,

12

=§SA

故丫48c.力=§,故力之2,

蘭P離平面A8C最遠(yuǎn)時(shí),外接球表面積最小,此時(shí),P在平面A8C的投影為AN中點(diǎn)

,h1

設(shè)球心為。,則。在尸日上,故R2=(〃—R)-+I2,化簡(jiǎn)得到農(nóng)=孑十不,

22/z

雙勾函數(shù)y='+;在[2,內(nèi))上單調(diào)遞增,故故5.=4萬(wàn)4一=個(gè)江

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

9.(2020屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三下學(xué)期5月在線學(xué)習(xí)摸底檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題)已知三棱柱

ABC-A^C^AB=3,AC=4fAB±AC,M=12,如果三棱柱ABC—A,片6的6個(gè)頂點(diǎn)都在

球。的球面上.則球的半徑為()

13

B.2V10C.—D.3710

A?浮2

【答案】C

【解析】

【分析】如果三棱柱ABC-AMG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,可判斷改三棱柱為直三棱柱,且該三棱

柱外接球球心在底面的投影為底面外接圓圓心,綜上可確定外接球球心位置,列等量關(guān)系求外接球半徑.

【詳解】如圖,

AB±AC,則△ABC外接圓圓心為斜邊8C中點(diǎn)O,8cl中點(diǎn)為七,

貝!球體的球心為皮>中點(diǎn)。,設(shè)球體半徑為R,

:.R2=OD2+BD2,

且AB=3,AC=4,M=12

OD=-ED=-AA=6,BD=-BC=-^AB2+AC2=-

22”222

13

解得/?二m

2

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體外接球問(wèn)題,需注意找外接球球心先找底面外接圓圓心,考查直觀想象能力、

推理論證能力和運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.

10.(山西省忻州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)體積為行-的球。放置在棱長(zhǎng)

為4的正方體上,且與上表面相切,切點(diǎn)為上表面中心,則球心與下表面圍成的四棱錐的外接球半徑為()

【答案】B

【解析】

4萬(wàn)

【分析】體積為的球。的半徑為1,四棱錐。一A8CO的底面邊長(zhǎng)為4,高為5,設(shè)四棱錐。一A3CD

的外接球的半徑為R,利用勾股定理,建立方程,即可求出四棱錐。一XBCD的外接球的半徑.

【詳解】體積為?-的球。的半徑為1,

匹棱錐O—A3CO的底面邊長(zhǎng)為4,而為5,

設(shè)四棱錐O-ABCD的外接球的半徑為R,

貝!/?2=(5—/?『+(2&)2,解得氏=布.

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的外接球問(wèn)題,考查了空間想象能力以及基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

11.(四川省瀘州市2020屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)(理)試題)已知一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋁

板(如圖),請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種裁剪方法,用虛線標(biāo)示在答題卡本題圖中,通過(guò)該方案裁剪,可焊接做成一個(gè)密

封的正四棱柱(底面是正方形月.側(cè)棱垂于底面的四棱柱),且該四棱柱的全面積等于正方形鋁板的面積(要

求裁剪的塊數(shù)盡可能少,不計(jì)焊接縫的面積),則該四棱柱外接球的體積為.

【答案】—

2

【解析】

【分析】將正方形甲按圖中虛線剪開(kāi),以兩個(gè)正方形為底面,四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面,焊接成一個(gè)底面邊長(zhǎng)為

2,高為1的正四棱柱48。。一4片。。「該四棱柱外接球的半徑R=-耳七.由此能求出該四棱柱外

接球的體積.

EB

【詳解】解:將正方形按圖中虛線剪開(kāi),

EB

以兩個(gè)正方形為底面,四個(gè)長(zhǎng)方形為側(cè)面,

焊接成?個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正四棱柱A8CO—4片GA.

。C

/-r

?

D】*二二一一

41當(dāng)

底面A3CQ為邊長(zhǎng)為2的正方形,

???該四棱柱外接球的半徑R=殷=,+2、22=3

222

該四棱柱外接球的體積為:

,,4,3/9冗

V=3X;rX(2'=~2'

9乃

故答案為:——.

2

【點(diǎn)睛】本題考查四棱柱外接球的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),

考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

12.(河南省許昌市、濟(jì)源市、平頂山市2020屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題)已知矩形A8CQ中,AB=2,

BC=6,七是co邊的中點(diǎn),現(xiàn)以4E為折痕將△AOE折起,當(dāng)三棱錐。一ABE的體積最大時(shí),該

三棱錐外接球的表面積為.

.3.

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