2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.7二次函數(shù)及冪函數(shù)練習(xí)含解析

PAGEPAGE1二次函數(shù)與冪函數(shù)【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y＝x3y＝x2y＝xy＝y(tǒng)＝x－1圖象性質(zhì)定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(－∞，0]上單調(diào)遞減；在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減公共點(diǎn)(1,1)2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．(2)二次函數(shù)圖像解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(b,2a)對(duì)稱【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請(qǐng)從今日始考向一冪函數(shù)概念及性質(zhì)【例1】已知冪函數(shù)(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為________．【答案】1【解析】由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】1.冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．2.在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．3.在比較冪值的大小時(shí)，必需結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，精確駕馭各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.冪函數(shù)的定義及其推斷，其中熟記推斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是看該函數(shù)是否為y=xα(α【舉一反三】1．已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xA．-1 B．2 C．3 D．2或-1【答案】A【解析】∵函數(shù)f(x)=(m∴m2-m-1=1，解得：m=2m=2時(shí)，f(x)=x，其圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)不合題意，m=-1時(shí)，f(x)=1x4，其圖象與兩坐標(biāo)軸都沒有交點(diǎn)，符合題意，故m=-12．已知函數(shù)f（x）=3m2-2mxm是冪函數(shù)，若A．-13 B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】函數(shù)f（x）=（3m2-2m）xm是冪函數(shù)，則3m2-2m=1，解得m=1或m=-13又f（x）為增函數(shù)，則m=1滿意條件，即m的值為1．故選：C．3．已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)A．f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增B．f(x)是偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減C．f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞增D．f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減【答案】C【解析】∵冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)（2，2），∴2=2α，解得α=12，故f（x故f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，故選：C．4．設(shè)α∈-1，1，12，3，則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽A．-1，1，3 B．12，1 C．-1，3【答案】D【解析】當(dāng)α＝﹣1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，不滿意定義域?yàn)镽；當(dāng)α＝1時(shí)，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿意當(dāng)α=12函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x當(dāng)α＝3時(shí)，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿意要求；故選：D考向二圖像問題【例2】（1）當(dāng)α∈{-1,12,1,3}時(shí)，冪函數(shù)y=A．其次象限B．第三象限C．第三、四象限D(zhuǎn)．其次、四象限（2）在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logA．B．C．D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）因?yàn)閥=x-1經(jīng)過第一、三象限；y=x12經(jīng)過第一象限；y=x1（2）∵實(shí)數(shù)a＞0且a≠1，∴函數(shù)f（x）＝xa（x＞0）是上增函數(shù)，故解除A；∴當(dāng)a＞1時(shí)，在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝xa（x＞0）是下凹增函數(shù)，g（x）＝logax的是增函數(shù)，視察四個(gè)選項(xiàng)，沒有符合條件選項(xiàng)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∴在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝xa（x＞0）是增函數(shù)，g（x）＝logax是減函數(shù)，由此解除B和C，符合條件的選項(xiàng)只有D．故選：D．【舉一反三】1．如圖表示的是四個(gè)冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的圖象，則冪函數(shù)y=xA．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】冪函數(shù)y=x122．下圖給出四個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對(duì)應(yīng)是（）①②③④A．①y=x13，②y=xB．①y=x3，②y=x2C．①y=x2，②y=x3D．①y=x13，②y=x【答案】B【解析】②的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，②應(yīng)為偶函數(shù)，故解除選項(xiàng)Ｃ，Ｄ，①由圖象知，在第一象限內(nèi)，圖象下凸，遞增的較快，所以冪函數(shù)的指數(shù)大于1，故解除Ａ故選：Ｂ．3．在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=xa(x≥0)A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，對(duì)數(shù)函數(shù)過（1,0）點(diǎn)，但是冪函數(shù)不過（0,1）點(diǎn)，所以A項(xiàng)不滿意要求；對(duì)于B項(xiàng)，冪函數(shù)a>1，對(duì)數(shù)函數(shù)0<a<1，所以B項(xiàng)不滿意要求；對(duì)于C項(xiàng)，冪函數(shù)要求0<a<1，而對(duì)數(shù)函數(shù)要求，a>1，所以C項(xiàng)不滿意要求；對(duì)于D項(xiàng)，冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)都要求0<a<1，所以D項(xiàng)滿意要求；故選D.4．如圖是冪函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A．－1<n<0,0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由題圖知，y=xm在0,+∞上是增函數(shù)，y=xn在又當(dāng)x>1時(shí)，y=xm的圖象在y=x的下方，y=xn的圖象在從而0<m<1,n<-1，故選B.考向三比較大小【例3】設(shè)a=(35A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【解析】對(duì)于函數(shù)y=(25)x，在(0,+∞)對(duì)于函數(shù)y=x25，在(0,+∞)上是增函數(shù)，∵35【舉一反三】1.已知點(diǎn)(m,9)在冪函數(shù)f(x)=(m-2)xn的圖象上，設(shè)a=f(mA．a(chǎn)<c<b B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】A【解析】由f(x)=(m-2)xn為冪函數(shù)得因?yàn)辄c(diǎn)(3,9)在冪函數(shù)f(x)上，所以3n因?yàn)閍=fm-?132．設(shè)a=20.3，b=30.2，c=70.1，則A．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【答案】B【解析】由題意得：a=20.3=10y=10x在0,+∞上是增函數(shù)且9>8>7∴b>a>c3.．已知a=(2)125A．a(chǎn)<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．a(chǎn)<c<b【答案】A【解析】a=265=6415，b=345=811考向四二次函數(shù)解析式【例4】(1)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿意f(0)＝3，對(duì)?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)的解析式為________________．(2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________.(3)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.【答案】（1）f(x)＝x2－2x＋3（2）x2＋2x（3）x2＋2x＋1【解析】（1）由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴eq\f(b,2)＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.（3）設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】求二次函數(shù)解析式的方法【舉一反三】1.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對(duì)隨意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝________.【答案】x2－4x＋3【解析】因?yàn)閒(2－x)＝f(2＋x)對(duì)隨意x∈R恒成立，所以f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2.又因?yàn)閒(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，所以f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.2.已知二次函數(shù)f(x)滿意f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.【解析】設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.3.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對(duì)隨意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝x2－4x＋3.【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立，∴f(x)的對(duì)稱軸為x＝2.又∵f(x)圖象被x軸截得的線段長為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.4.已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤1}，求實(shí)數(shù)b，c的值；(2)若f(x)滿意f(1)＝0，且關(guān)于x的方程f(x)＋x＋b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(－3，－2)，(0,1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(5,7)))【解析】(1)設(shè)x1，x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2b，,x1x2＝c，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2b＝0，,c＝－1.))所以b＝0，c＝－1.(2)由題，知f(1)＝1＋2b＋c＝0，所以c＝－1－2b.記g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－3＝5－7b>0，,g－2＝1－5b<0，,g0＝－1－b<0，,g1＝b＋1>0))?eq\f(1,5)<b<eq\f(5,7)，即實(shí)數(shù)b的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(5,7))).考向五二次函數(shù)的性質(zhì)【例5】（1）設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．（2）函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________（3）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）[0,2]（2）[－3,0]（3）eq\f(3,8)或－3【解析】（1）二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，則a≠0，又由－eq\f(－2a,2a)＝1得圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，所以a>0.所以函數(shù)的圖象開口向上，且在[1,2]上單調(diào)遞增，f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2.（2）當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，滿意題意．當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3－a,2a)，由f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a<0.綜上，a的取值范圍為[－3,0]．（3）f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；(2)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；(3)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.綜上可知，a的值為eq\f(3,8)或－3.【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的類型及求解策略(1)類型：①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng)．(2)求解策略：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類探討的思想即可完成．（3）要留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)【舉一反三】1．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，則a＝________.【答案】2或－1【解析】函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其圖象的對(duì)稱軸方程為x＝a.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝eq\f(1±\r(5),2)(舍去)；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.綜上可知，a＝－1或a＝2.2．已知函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為增函數(shù)，那么f(2)的取值范圍是______．【答案】[7，＋∞)【解析】函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上為增函數(shù)，由于其圖象(拋物線)開口向上，所以其對(duì)稱軸x＝eq\f(a－1,2)或與直線x＝eq\f(1,2)重合或位于直線x＝eq\f(1,2)的左側(cè)，即應(yīng)有eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.3．若函數(shù)φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】[－2,0]【解析】當(dāng)0≤x<1時(shí)，φ(x)＝x2－mx＋m，此時(shí)φ(x)單調(diào)遞增，則eq\f(m,2)≤0，即m≤0；當(dāng)x≥1時(shí)，φ(x)＝x2＋mx－m，此時(shí)φ(x)單調(diào)遞增，則－eq\f(m,2)≤1，即m≥－2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－2,0]．考向六二次函數(shù)恒成立【例6】(1)已知二次函數(shù)f(x)滿意f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在區(qū)間[－1,1]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________．（(2)函數(shù)f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在區(qū)間[－1,1]上f(x)≤8恒成立，則a的最大值為________．【答案】（1）(－∞，－1)（2）2【解析】（1）設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在區(qū)間[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.（2）令ax＝t，因?yàn)閍>1，x∈[－1,1]，所以eq\f(1,a)≤t≤a，原函數(shù)化為g(t)＝t2＋3t－2，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，明顯g(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上單調(diào)遞增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值為2.【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】1.二次不等式恒成立問題的求解思路(1)一般有兩個(gè)解題思路；一是分別參數(shù)；二是不分別參數(shù)．(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分別．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min.2.解決一元二次方程根的分布問題的方法常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．1.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的范圍．【答案】【解析】(1)由題意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，且－eq\f(b,2a)＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]，單調(diào)增區(qū)間為[－1，＋∞)．(2)解法一：f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1>k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，則g(x)在[－3，－1]上遞減．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k<1，即k的取值范圍為(－∞，1)．解法二：f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1－k>0在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，設(shè)g(x)＝x2＋x＋1－k，則g(x)在[－3，－1]上單調(diào)遞減，∴g(－1)>0，得k<1.2.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對(duì)于滿意1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【解析】由題意得a>eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)對(duì)1<x<4恒成立，又eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq\f(1,2)，∴a>eq\f(1,2).3.已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于隨意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象開口向上，所以依據(jù)題意只需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.考向七二次函數(shù)根的分布【例7】一元二次方程的一根比1大，另一根比－1小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】記，由已知得，解得．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】二次方程根的分布問題，通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象通過對(duì)稱軸，判別式Δ，相應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值來考慮．【舉一反三】1.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，方程為，解得，符合；當(dāng)時(shí)，記，其中．當(dāng)時(shí)，，所以題目條件等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)有函數(shù)對(duì)稱軸，若，即，此時(shí)的零點(diǎn)為，不符合．因?yàn)?，，即，所以可知?duì)稱軸，畫圖可知此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)有函數(shù)對(duì)稱軸，此時(shí)恒成立．因?yàn)?，所以有，解得．所以此時(shí)．綜上可得，．2.若方程的兩實(shí)根分別為，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩個(gè)根為，且

則滿意，這樣可以解得的范圍．3.已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，可行域如圖三角形內(nèi)部（不包括三角形邊界，其中三角形三頂點(diǎn)為）：，而，所以直線過C取最大值，過B點(diǎn)取最小值，的取值范圍是，選A．4.已知函數(shù)，存在，使得，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】依據(jù)題意，，由圖象可知，，，，故答案為．【運(yùn)用套路】【運(yùn)用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．已知函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2A．0或4B．0或2C．0D．2【答案】C【解析】∵f（x）是冪函數(shù)，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴m2﹣4m+2＞0，則當(dāng)m＝0時(shí)，2＞0成立，當(dāng)m＝2時(shí)，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故選C．2．已知冪函數(shù)f（x）=xa（a是常數(shù)），則（）A．f(x)的定義域?yàn)镽 B．fC．f(x)的圖象肯定經(jīng)過點(diǎn)(1,1【答案】C【解析】（1）對(duì)于A，冪函數(shù)f（x）=xa的定義域與a有關(guān)，不肯定為R，A錯(cuò)誤；（2）對(duì)于B，a＞0時(shí)，冪函數(shù)f（x）=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞增，a＜0時(shí)，冪函數(shù)f（x）=xa在（0，+∞）上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；（3）對(duì)于C，冪函數(shù)f（x）=xa的圖象過定點(diǎn)（1，1），C正確；（4）對(duì)于D，冪函數(shù)f（x）=xa的圖象肯定不過第四象限，D錯(cuò)誤．故選：C．3．如圖所示的曲線是冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象，已知α∈{-4,-1A．-4，-14，14，4【答案】B【解析】結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性及圖象，易知曲線C1,C2,4．函數(shù)y=2A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函數(shù)y=2|x|﹣x2（x∈R）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故解除B、D．再由x=0時(shí)，函數(shù)值y=1，可得圖象過點(diǎn)（0，1），故解除C，從而得到應(yīng)選A，故選：A．5．已知函數(shù)g（x）=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)M，若冪函數(shù)f（x）=xα的圖象過點(diǎn)M，則α的值等于（）A．﹣1B．12【答案】B【解析】∵y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的圖象過定點(diǎn)M，∴M（4，2），∵點(diǎn)M（4，2）也在冪函數(shù)f（x）=xα的圖象上，∴f（4）=4α=2，解得α=126．已知冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則曲線C1、C2、C3、C4的n值可能依次為A．–2，–12，12，2B．2，12，–12，–2C．–12，–2，2，【答案】B【解析】由圖象可知：C1的指數(shù)n>1，C2的指數(shù)0<n<1，C3，C4的指數(shù)小于0，且C3的指數(shù)大于C4的指數(shù)．據(jù)此可得，只有B選項(xiàng)符合題意．故選B．7．冪函數(shù)y=xn是奇函數(shù)，但圖象不與坐標(biāo)軸相交，則n的值可以是A．3B．1C．0D．–1【答案】D【解析】依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)推斷出冪函數(shù)y=xn是奇函數(shù)時(shí)，指數(shù)n為奇數(shù)；冪函數(shù)y=xn的圖象與兩坐標(biāo)軸不相交時(shí)，冪函數(shù)的指數(shù)8．在函數(shù)y=1A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】明顯，依據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有y=19．已知函數(shù)y=xa,y=A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．c<a<bD．a(chǎn)<c<b【答案】A【解析】由圖像可知，a>1,b=12,0<c<10．當(dāng)α∈{-1,12,3}時(shí)，冪函數(shù)y=A．其次象限B．第三象限C．第四象限D(zhuǎn)．其次、四象限【答案】D【解析】y=x-1的圖象經(jīng)過第一、三象限，y=x1211．已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿意loga2=2，log3b=1A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<b<a D．b<a<c【答案】B【解析】由題得a因?yàn)?<172<9,12．已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，2），則函數(shù)f（x）為（）A．奇函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減C．非奇非偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增 D．非奇非偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減【答案】C【解析】∵冪函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，2），∴2a=2，解得a=12，

∴函數(shù)f（x）=x13．已知函數(shù)y=xA．2或3B．3C．2D．1【答案】A【解析】冪函數(shù)y=xm2-5m+4為偶函數(shù)，且在0,+∞遞減，∴由m2-5m+4<0得1<m<4，又由題設(shè)m是整數(shù)，故驗(yàn)證知m=2或者3時(shí)，都能保證m2-5m+4是偶數(shù)，故14．已知函數(shù)fx為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fA．ftan70C．f1.4>f【答案】A【解析】當(dāng)x>0時(shí)，fx=x-1.5又函數(shù)fx為偶函數(shù)，所以f-1.5=f依據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性，所以ftan15．已知函數(shù)fx=x2+mx+1在區(qū)間-∞,-1A．-2,2 B．(-∞,-2] C．2,+∞ D．R【答案】A【解析】由題意，函數(shù)fx=x要使得函數(shù)fx在區(qū)間-∞,-1上是減函數(shù),在區(qū)間1,+∞則-1≤-m2≤116．冪函數(shù)f(x)=(m2-2m+1)x2m-1【答案】2【解析】由函數(shù)f(x)=(m2-2m+1)x2m-1是冪函數(shù)，則m當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=x-1，在當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=x3，在(0,+∞)上為增函數(shù)，滿意題意．故答案為：17.已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm是冪函數(shù)，且f(x)【答案】2【解析】∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴m2-m-1=1m＞018．已知冪函數(shù)f(x)=(k2-2k-7)xk-1【答案】-2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(k2-2k-7)xk-1解得k=-2或k=4，當(dāng)k=-2時(shí)，f(x)=x-3，滿意在當(dāng)k=4時(shí)，f(x)=x3，在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以k=-2，故答案是：19．若f(x)=(m-1)2xm是冪函數(shù)且在【答案】2【解析】f(x)=(m-1)2xm為冪函數(shù)，所以當(dāng)m=0時(shí)，fx=x當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=x2，在(0,+∞)單調(diào)遞增成立.故答案為：20．已知冪函數(shù)f（x）=（m3–m+1）x121-8m-m2的圖象與（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x【解析】（1）因?yàn)閒（x）是冪函數(shù)，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的圖象與x軸和y軸都無交點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)，只有當(dāng)m=1時(shí)符合題意，所以m=1，此時(shí)f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函數(shù)且在（0，+∞）遞減，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，只需|x+1|<|x–2|，解得x<12又f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，所以不等式的解集為{x|x<1221．已知冪函數(shù)y=f（x）=x-2m2-m+3，其中①定區(qū)間（0，+∞）的增函數(shù)；②對(duì)隨意的x∈R，都有f（–x）+f（x）=0；求同時(shí)滿意①、②兩個(gè)條件的冪函數(shù)f（x）的解析式，并求x∈[0，3]時(shí)，f（x）的值域．【答案】fx=x【解析】∵冪函數(shù)y=f（x）=x-2∴–2m2–m+3>0，即2m2+m–3<0，解得m∈（-3又∵m∈Z，∴m=–1或m=0，當(dāng)m=–1時(shí)，y=f（x）=x2為偶函數(shù)，不滿意f（–x）+f（x）=0；當(dāng)m=0時(shí)，y=f（x）=x3為奇函數(shù)，滿意f（–x）+f（x）=0．∴同時(shí)滿意①、②兩個(gè)條件的冪函數(shù)f（x）=x3，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）∈[0，27]，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，27]．22．已知函數(shù)f(x)=(a（1）若函數(shù)g(x)=loga(x+1)+loga（2）在（1）的條件下，若x∈[13,2]，不等式g(x)-m+3≤0【答案】（1）見解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由題意可知a2-2a-2=1a>0且a≠1，解得a=3因?yàn)間(x)=loga(x+1)+loga(3-x)，所以故g(x)的定義域?yàn)閤|-1<x<3．由于g(x)=log令u(x)=-x則由對(duì)稱軸x=1可知，u(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，在因?yàn)閥=log3u所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）因?yàn)椴坏仁絞(x)-m+3≤0的解集非空，所以m-3≥g(x)由（1）知，當(dāng)x∈[13,2]時(shí)，函數(shù)g(x)的單調(diào)