廣東省惠州市惠東縣2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省惠州市惠東縣2025屆高三三模數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，，則.故選：C2.把函數(shù)的圖象按向量平移，得到的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正切型函數(shù)的性質(zhì)知，最小正周期為.故選：B4.已知空間向量滿足，則（）A. B.1 C.0 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，，所以.故選：D5.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取，則滿足題意，此時，所以A選項錯誤；取，則滿足題意，此時，所以B選項錯誤.取，則滿足題意，此時，所以C選項錯誤.由于在上遞減，而，所以，所以D選項正確.故選：D6.球面上有三點，若，且球心到所在平面的距離，等于球的半徑的一半，則該球的球面面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令外接圓的半徑為，球的半徑為，由，得，所以為直角三角形，則，即，因為球心到所在平面的距離，等于球的半徑的一半，所以，解得，所以球的表面積為.故選：A.7.設(shè)10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，隨機變量取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機變量取值、、、、的概率也均為0.2，若記、分別為、的方差，則（）A.>B.=C.<D.與的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)【答案】A【解析】由隨機變量、的取值情況，它們的期望分別為：，，即，，同理，而，所以有.故選：A8.有四張卡片，每張卡片的一面上寫著英文字母，則另外一面上寫著數(shù)字.現(xiàn)在規(guī)定：當牌的一面寫著數(shù)字7時，另外一面必須寫著字母.你的任務(wù)是：為了檢驗下面4張卡牌是否有違反規(guī)定的寫法，你需要翻看哪些牌？（）A.①② B.②③ C.②④ D.④③【答案】B【解析】根據(jù)題意可知：數(shù)字7后面一定是字母H，H后面可以不是數(shù)字7，即M后面是數(shù)字7就違反規(guī)則，所以只用看7和M，其他卡牌無此顧慮.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.可能為C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】由題設(shè)為定值，則且為定值，A對；若是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則，B對；對于數(shù)列，時無意義，故不可能為等差數(shù)列，C錯；若的公比為，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，D對.故選：ABD11.曲線是平面內(nèi)與三個定點和的距離的和等于的點的軌跡，為上一點，則（）A.曲線關(guān)于軸對稱 B.存在點P，使得C.面積的最大值是1 D.存在點，使得為鈍角【答案】CD【解析】設(shè)曲線C上任意一點，由題意，C的方程為.因為點在曲線C上，而點不在曲線C上，所以曲線C不關(guān)于x軸對稱，A錯誤；若，則，所以這不存在這樣點，B不正確；由，P應(yīng)該在橢圓內(nèi)（含邊界），曲線C與橢圓D有唯一的公共點，此時，，當點P為點時，的面積最大，最大值是1，C正確；取曲線C上點，此時，在曲線C上再尋找一個特殊點，，則，即，兩邊平方并整理得，解得，即或因為，則取點，此時，D正確.故選：CD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則______；【答案】2【解析】如下圖示，將平移至與相同起點的位置，則，所以，而，所以.故答案為：2.13.函數(shù)，若成等比數(shù)列且，則值域為__________.【答案】【解析】由已知得，，由a，b，c成等比數(shù)列，則，，所以有最大值，為，所以值域為.故答案為：14.設(shè)表示不超x的最大整數(shù)（如）．對于給定的，定義，則___________；當時，函數(shù)的值域是___________．【答案】①②.【解析】，當時，，所以，函數(shù)的值域是故答案為：；四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）在中，因為，由正弦定理得.（2）因為，所以，由余弦定理得，解得或（舍），所以的面積.16.已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當時，若函數(shù)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍解：（1）,因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，所以,所以;（2）當時，，，，令，則，令，得，所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中為極大值，所以如果在區(qū)間最大值為，即區(qū)間包含極大值點，所以．17.如圖，正三棱柱的所有棱長都為為中點.（1）求證：平面；（2）求平面與面所成角的余弦值.（1）證明：取中點，連結(jié)，為正三角形，則，正三棱柱中，平面平面，平面，平面平面，平面，以為原點，的方向為軸的建立空間直角坐標系，則，，且都在面內(nèi)，平面（2）解：設(shè)平面的法向量為，且，令，得，由（1）知面，則為平面的法向量，設(shè)面與面所成角所為，.18.甲、乙兩大超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經(jīng)營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多萬元．（1）求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；（2）若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，至少會出現(xiàn)在第幾年？解：（1）設(shè)甲超市前年總銷售額為，第年銷售額為，則，因為時，，則時，，故；設(shè)乙超市第年銷售額為，則，時，，，顯然時也符合，所以.（2）當時，，，有；當時，，，有；當時，，，故乙超市有可能被收購，當，令，則，整理得，又當時，，故當且時，必有，即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購.19.我們在學(xué)習(xí)解析兒何過程中知道橢圓、雙曲線的定義分別是平面內(nèi)到兩定點距離之和、距離之差的絕對值等于某個定值，天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.若定點，動點滿足，其中均為正數(shù)，記該卡西尼卵形線為曲線，它的軌跡方程為.（1）求參數(shù)的值（用含的式子表示）；（2）若為曲線上一點，求證：，；（3）若，求證：曲線恰經(jīng)過個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）.（1）解：設(shè)為曲線上一點，則由可得.整理可得，結(jié)合題意可知：，.（2）證明：