海南省2025屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（四）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1海南省2025屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（四）數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為復(fù)數(shù)，所以.\故選:A.2.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由雙曲線方程知，，則，所以，，故雙曲線的離心率．故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以，所以．故選：B.4.在長方體中，下列結(jié)論錯誤的是（）A.直線AB與平面平行 B.直線與平面垂直C.平面與平面平行 D.平面與平面垂直【答案】B【解析】對于A，在長方體中，，因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，若矩形不是正方形，則與不垂直，直線與平面也不可能垂直，故B錯誤；對于C，在長方體中，，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以平面，又，且平面，所以平面平面，故C正確；對于D，長方體中，平面平面，故D正確.故選：B.5.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以，故．由，解得，故，所以．故選：D6.某科技公司使用新開發(fā)的人像識別模型對5個人像進行識別，每個人像識別成功的概率均為p，且每次是否成功相互獨立，設(shè)X為這5個人像中識別成功的個數(shù)，若，且全部識別成功的概率大于全部識別失敗的概率，則p=（）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2【答案】A【解析】依題意，，則，解得或，由全部識別成功的概率大于全部識別失敗的概率，得，即，則，所以.故選：A7.已知圓錐的底面半徑為1，圓錐內(nèi)能容納的最大球的表面積為2π，則圓錐的表面積為（）A. B. C.3π D.4π【答案】D【解析】依題意，圓錐的底面半徑，設(shè)母線長為l，則圓錐的高為，圓錐內(nèi)能容納的最大球的表面積為2π，即圓錐的內(nèi)切球的表面積為2π，則內(nèi)切球的半徑為，因此該圓錐的軸截面靠腰三角形的內(nèi)切圓半徑為，因此，解得，所以圓錐的表面積為.故選：D8.設(shè)是非零向量，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，當(dāng)和方向相反時等號成立，若不共線，則設(shè)，則，無解；故此時共線，設(shè)，則由可得，則，兩邊平方解得或，當(dāng)時，和方向相同，舍去，故，即得，，此時的最大值為，故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列各選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，由，得，則，A正確；對于B，取，滿足，而，B錯誤；對于C，由，得，則，因此，C正確；對于D，取，滿足，而，D錯誤．故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上的極值點個數(shù)為4D.的圖象可以由的圖象向左平移個單位長度得到【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時，，所以點不是的圖象的對稱中心，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，當(dāng)時，，函數(shù)在上有4個極值點，即，，，，所以在上有4個極值點，故C正確；對于D，因為，所以的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移單位長度得到，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)，其中，則下列關(guān)于的說法正確的是（）A.當(dāng)時，有個零點B.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是C.當(dāng)時，在上有最小值D.若有兩個極值點，（），則【答案】ABD【解析】對于：當(dāng)時，；當(dāng)時，，，因為，所以；故在上單調(diào)遞減，且，所以是的一個零點；當(dāng)時，，，令，解得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；則，所以是的一個零點，故當(dāng)時，有兩個零點，故A正確．對于：當(dāng)時，，則，依題意，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，又，所以，所以，故B正確．對于：當(dāng)時，，當(dāng)時，，，令，得．當(dāng)時，，f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，f(x)在上單調(diào)遞增，所以f(x)在處取得極小值，也是在上的最小值，且，故C錯誤．對于：，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，依題意，f(x)有兩個極值點，（），則（），（），即，則，，因為，所以，又f(x)有兩個極值點，所以，所以，所以（），令，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，則，即，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某城市有10個著名的地標(biāo)建筑，文旅部門要從中選取3個作為城市名片進行特色文化宣傳，且甲、乙、丙3個建筑中至少選1個，那么共有________種不同的選法．【答案】85【解析】從10個地標(biāo)建筑中選取3個，共有種，若不選甲、乙、丙這3個地標(biāo)建筑，即從剩下的7個中選3個，有種選法，所以滿足條件的選法有（種）．故答案為：8513.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，且的面積為，則________．【答案】【解析】由正弦定理得，即，又，所以．由面積為，得，可得．在中，由余弦定理可得，又，，代入可得，所以，所以．故答案為：.14.過橢圓的上頂點A作兩條相互垂直的直線，分別與C交于點P，Q（異于點A），且直線AP經(jīng)過C的左焦點，直線PQ經(jīng)過C的右焦點，則C的焦距為________．【答案】【解析】設(shè)C的半焦距為，則，由題意可得直線AP的方程為，直線AQ的方程為．由得，得或，則，用替換，可得，又因為直線PQ經(jīng)過C的右焦點，所以，結(jié)合，解得，，所以，故C的焦距為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.隨著人們環(huán)保意識的增強和科技的發(fā)展，新能源汽車越來越受到消費者的關(guān)注．為了解消費者對新能源汽車?yán)m(xù)航里程和充電設(shè)施的滿意率，隨機調(diào)查了200名新能源汽車車主，得到如下數(shù)據(jù)：對續(xù)航里程滿意對續(xù)航里程不滿意對充電設(shè)施滿意7030對充電設(shè)施不滿意5050（1）任意調(diào)查一名新能源汽車車主，設(shè)事件“該車主對續(xù)航里程滿意”為A，事件“該車主對充電設(shè)施滿意”為B，求和；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為消費者對續(xù)航里程的滿意率與對充電設(shè)施的滿意率有關(guān)？附：α0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）依題意，，.（2）由已知數(shù)據(jù)得，而，則依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為消費者對續(xù)航里程的滿意率與對充電設(shè)施的滿意率有關(guān).16.在數(shù)列中，已知，．（1）求，；（2）證明：等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的前n項和．（1）解：由題意知，∴．∵，∴．（2）證明：由，整理得，又，∴是首項為2，公比為3的等比數(shù)列.（3）解：由（2）可知，∴，∴．17.已知拋物線的焦點為，點在上，且．（1）求的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點，直線與交于兩點，設(shè)線段的中點分別為，證明：直線過定點．（1）解：的準(zhǔn)線方程為，因為點在上，且，即，得，所以的方程為．（2）證明：由（1）知，設(shè)．設(shè)的方程為，代入，得．所以，則，代入，得，所以．因為，所以的方程為，同理可得．當(dāng)時，，直線．當(dāng)時，，直線的方程為，即，整理得．所以直線過定點．18.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若曲線與x軸交于A，B兩點，AB的中點橫坐標(biāo)為，證明：.（1）解：若，，則，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）解：由，得，，①若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減；②若，令，得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（3）證明：由（2）知，若，則曲線與x軸最多有1個交點，故．不妨設(shè)，，則,要證，即證，只需證，即證．設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，又，，在上單調(diào)遞增，所以，即．從而原命題得證．19.如圖，正四棱錐的底面是邊長為1的正方形，平面α與底面ABCD平行且與四棱錐的四條側(cè)棱（不含端點）分別交于點E，F(xiàn)，G，H，四棱臺與四棱錐的棱長和相等（“棱長和”指多面體的所有棱長之和）．（1）若E是棱PA的中點，求四棱臺的體積；（2）求平面PAD與平面PBC的夾角的余弦值；（3）已知四棱柱Ω的底面是邊長為m的正方形，側(cè)棱長為n，且側(cè)棱與底面所在平面所成的角為，若平面α任意上下平移時，總存在正數(shù)m，n，使得四棱柱Ω與四棱臺有相同的體積，也有相同的棱長和，求的取值范圍．解：（1）由題意知平面，所以四棱錐也是正四棱錐，因為四棱臺與四棱錐的棱長和相等，所以，即，故，即四棱錐和正四棱錐的側(cè)面都是正三角形，連接AC，設(shè)點P在底面ABCD上的射影為O，則O為AC的中點．由已知得，，所以是等腰直角三角形，所以AC上的高，即四棱錐的高為，所以，當(dāng)E是棱PA的中點時，，所以四棱臺的體積為．（2）設(shè)AD，BC的中點分別為M，N，連接PM，PN，MN，因為，平面，平面，所以平面，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，又平面PAD，所以，因為是等邊三角形，所以，所以，同理可得，所以平面PAD與平面