2025年 九年級數(shù)學中考二輪復習 四邊形綜合 解答題專題提升訓練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級數(shù)學中考二輪復習四邊形綜合解答題專題提升訓練1．定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”，如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．(1)下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)如圖，已知四邊形是“中方四邊形”，、分別是、的中點．①試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若線段的長度為，則的最小值是______．（不需要解答過程）2．閱讀理解：我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，如圖1，在四邊形中，分別是邊的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形．(1)菱形的中點四邊形的形狀是_______；(2)如圖2，在四邊形中，點在上且和為等邊三角形，分別為的中點，試判斷四邊形的形狀并證明．(3)若四邊形的中點四邊形為正方形，的最小值為4，則_______．3．如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點，運動的時間是秒，過點作于點，連接，．(1)，，，（用含的代數(shù)式表示）；(2)試說明：無論為何值，四邊形總是平行四邊形；(3)連接，與能垂直嗎？如果能，求出相應的值；如果不能，請說明理由；(4)直接寫出當為時，為直角三角形．4．我們定義：對角互補且有一組鄰邊相等的四邊形叫做至善四邊形．如圖1，且，則四邊形是至善四邊形．(1)下列四邊形一定是至善四邊形的有__________．①平行四邊形；②矩形；③菱形：④正方形；(2)如圖2，四邊形為至善四邊形，，，，求的長及的度數(shù)．(3)如圖3，正方形中，為中點，在右邊作等邊，為中點，連接交于點，交于點，求線段與的數(shù)量關(guān)系．5．小英同學試圖用特殊到一般的思想方法來研究平行四邊形對角線與邊長的關(guān)系，下面是他的思考過程．(1)操作判斷如圖1，正方形的邊長為，則．如圖2，菱形的邊長為，則________．（請用含的代數(shù)式表示）(2)性質(zhì)探究①如圖3，在矩形中，，，則________．（請用含、的代數(shù)式表示）②如圖4，在中，，，猜想與、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應用在如圖4的中，，，，將點繞點旋轉(zhuǎn)，點的對應點為，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當時，請直接寫出的長．6．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)如圖1，在菱形中，E是的中點，連接，將沿翻折到，延長交于點P，請寫出圖中的所有“箏形”；(2)如圖2，將（1）中的“菱形”改為“正方形”其他條件不變，求的值；(3)如圖3，在矩形中，是邊的中點，連接，將沿翻折到，點P是線段上一點，若四邊形是“箏形”，請直接寫出的長．7．（1）基礎：如圖1，在正方形中，點在邊上，點在對角線上，連接，，．若，求證：；（2）遷移：如圖2，在菱形中，，，點為的中點，點在對角線上．若，求線段的長；（3）拓展：如圖3，在矩形中，，點在邊上，連接，使得，，兩點分別在線段，上，連接，，．當時，求的值．8．如圖，平行四邊形，連結(jié)，．點在邊上，過點作，垂足為，交延長線于點，連接，．(1)求證：；(2)當為中點時，四邊形是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)在滿足（2）的條件下，當滿足什么條件時，四邊形是正方形？（不必說明理由）9．如圖，在中，，，邊上的高為12．點從點出發(fā)，沿以每秒5個單位長度的速度運動．點從點出發(fā)沿以每秒10個單位長度的速度運動．、兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，、兩點同時停止運動．設運動的時間為（秒），連接．(1)當點與點重合時，的值為________．(2)直接寫出的長（用含的代數(shù)式表示）；(3)當平分面積時，求的值；(4)當時，直接寫出的值．10．如圖，在平行四邊形中，，，為邊上的一動點，動點從點出發(fā)，沿著的方向，以每秒個單位的速度向點運動，設運動時間為秒，作點關(guān)于直線的對稱點．(1)當點在中點處，且在線段上時，若與四邊形重疊部分為直角三角形，求的值；(2)若點與點同時從點出發(fā)，點在線段上，以每秒個單位的速度向點運動，記線段與線段的交點為，設的面積為，求與的函數(shù)表達式．11．如圖，在平行四邊形中，，是的角平分線，點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動，點從點出發(fā)，以的運動速度，沿射線方向運動，當點運動到點時，點隨之停止運動，設運動時間為秒．(1)求的長；(2)是否存在以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)當______時，線段將平行四邊形分成面積相等的兩部分(直接寫出答案)．12．在中，，，．動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位的速度向終點運動，同時點從點出發(fā)，沿射線以每秒個單位的速度運動，當點停止運動時，點也隨之停止運動．作點關(guān)于的對稱點，連接、，以、為鄰邊構(gòu)造．設點運動時間為秒．(1)用含的代數(shù)式表示線段的長；(2)當為矩形時，求的長；(3)當點在邊上運動且的面積被分成：兩部分時，求的值；(4)連接，當與的一邊平行或垂直時，直接寫出的值．13．如圖，點D，E，F(xiàn)分別是，，的中點，連接，，，；(1)求證：，相平分；(2)現(xiàn)有三個條件：①；②平分；③；請你從中選擇兩個條件（寫序號）：使得四邊形是正方形，并加以證明．14．如1圖所示，已知是等邊三角形，，正方形在的左側(cè)，，，三點在同一條直線上，射線經(jīng)過點B．(1)求的長度；(2)將正方形沿所在直線向右平移，得到正方形，點O，C，D，E的對應點分別為，，，．設．①如2圖所示，與線段相交于點F，當時，求t的值；②在平移過程中，正方形與重疊部分的面積記為S．當時，試用含有t的式子表示S．15．在平行四邊中，以為邊向右作等腰，，以為斜邊向左作，．(1)如圖1，若F，A，D三點在同一直線上，點E與點D重合，連接，，，求的周長；(2)如圖2，若F，A，D三點在同一直線上，點E落在邊上，點P為上一點，連接，點Q為上一點，連接，且，，求證：；(3)如圖3，若F，A，C三點在同一直線上，點E與點C重合，，，點M為內(nèi)部一動點，連接，滿足，點N為的中點，連接，過點N作交于點P，當最小時，將繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的記為，請直接寫出點到距離的最大值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級數(shù)學中考二輪復習四邊形綜合解答題專題提升訓練》參考答案1．(1)D(2)①，見解析；②【分析】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，理解“中方四邊形”的定義并運用是本題的關(guān)鍵．（1）由正方形對角線相等且互相垂直可得答案；（2）①如圖，記、的中點分別為、，可得四邊形是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)與三角形的中位線的性質(zhì)即可證得結(jié)論．②令與的交點為，連接、，當點在上(即、、共線)時，最小，最小值為的長，得到，，再根據(jù)①可知，從而計算的最小值，進而求解；【詳解】（1）解：∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，正方形的對角線相等且互相垂直，∴一定是“中方四邊形”的是正方形；故選：D；（2）解：①如圖，記、的中點分別為、，連接，，，∵四邊形是“中方四邊形”，，分別是，的中點，∴四邊形是正方形，，，，，分別是，的中點，，；②令與的交點為，連接、；由①可知，；當點在上(即、、共線)時，最小，最小值為的長，的最小值，由題意可知；為正方形；，，，，，分別是，的中點，，，，的最小值，即時，最小，即最??；線段的長度為，則；故；故答案為：2．(1)矩形(2)四邊形為菱形；證明見解析(3)【分析】（1）由菱形的性質(zhì)及矩形的判定可得出答案；（2）連接、，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，證出，由證明，得出，由三角形中位線定理得出，，，，，得出，，證出四邊形是平行四邊形；再得出，即可得出結(jié)論；（3）連接交于O，連接，當點O在上（即M、O、N共線）時，最小，最小值為的長，再證明即可求得答案．【詳解】（1）解：如圖，四邊形是菱形時，連接各邊中點，得到四邊形，根據(jù)中位線性質(zhì)得到，，∴，同理可得，∴為平行四邊形，又∵是菱形，∴，則，∴為矩形．故答案為：矩形；（2）解：四邊形為菱形．理由如下：連接與，如圖2所示：∵和為等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，，分別是邊，，，的中點，是的中位線，是的中位線，是的中位線，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；，，四邊形為菱形；（3）解：如圖3，連接交于O，連接、，當點O在上（即M、O、N共線）時，最小，最小值為的長，∴的最小值，由性質(zhì)探究知：，又∵M，N分別是的中點，∴，，∴，∴的最小值，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵N，F(xiàn)分別是的中點，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用前面得出的結(jié)論解決新問題是解題的關(guān)鍵．3．(1)；；；(2)證明見解析(3)當時，，理由見解析(4)或【分析】（1）根據(jù)題意，點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動，得，，再由，求解即可；（2）根據(jù)，得，再根據(jù)（1）得即可證明；（3）根據(jù)（2）所證四邊形是平行四邊形，利用時，四邊形是菱形，菱形對角線垂直，可得，建立方程求解即可；（4）分別從與兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊到是矩形，∴，∵，∴，∵點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：；；；；（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴．由（1）知，，∴四邊形是平行四邊形．∴無論為何值，四邊形總是平行四邊形；（3）解：與能垂直．理由如下：由（2）可知：四邊形是平行四邊形，∴當時，四邊形是菱形，此時，∴，解得：，∴當時，；（4）如圖，當時，則，∴，∴，∵，，∴，解得：；如圖，當時，則，∵四邊形是矩形，，∴，∴，∴，∵，，∴，解得：，綜上所述，當或時，是直角三角形，故答案為：或．【點睛】本題是矩形的動點問題，考查了矩形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)等知識點．解題的關(guān)鍵是掌握：在直角三角形中，角所對的直角邊是斜邊的一半、菱形的判定和性質(zhì)．4．(1)④(2)的長為，的度數(shù)為(3)【分析】（1）根據(jù)至善四邊形的定義及特殊平行四邊形的性質(zhì)進行判斷即可；（2）如圖，延長至點，使，根據(jù)至善四邊形的定義推出，證明，得，，證明為等邊三角形，即可得出答案；（3）延長至點，使得，連接，證明，得，，推出是等腰直角三角形，得，證明為等邊三角形，得，，進一步推出是等腰直角三角形，得，在中，由和可得結(jié)論．【詳解】（1）解：①平行四邊形的對角相等鄰角互補，對邊相等，它的對角不一定互補，鄰邊不一定相等，故平行四邊形不是至善四邊形；②矩形四個內(nèi)角是直角，對邊相等，它的對角互補，但鄰邊不一定相等，故矩形不是至善四邊形；③菱形對角相等鄰角互補，四邊相等，它的一組鄰邊相等，但對角不一定互補，故菱形不是至善四邊形；④正方形四個內(nèi)角是直角，四邊相等，它的對角互補且有一組鄰邊相等，故正方形是至善四邊形；故答案為：④；（2）如圖，延長至點，使，∴，∵四邊形為至善四邊形，，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴的長為，的度數(shù)為；（3）延長至點，使得，連接，∵四邊形為正方形，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∵為的中點，∴，即，，∵為等邊三角形，為的中點，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，，∴，∴，∴．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了新定義，特殊平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點．正確理解新定義、通過作輔助線構(gòu)造全等三角形、直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．(1)(2)①，②(3)的長為或【分析】（1）結(jié)合菱形的對角線互相平分且垂直，得，，再根據(jù)勾股定理列式計算，即可作答．（2）①結(jié)合矩形的對角線互相平分且相等，得，再根據(jù)勾股定理列式計算，即可得．②分別過點作的延長線，運用平行四邊形的性質(zhì)得，，再證明，得，，設，分別運用勾股定理列式，再整理得，即可作答．（3）運用勾股逆定理證明，再由（2）得，則，因為旋轉(zhuǎn)，所以，因為，得，然后證明四邊形是矩形，分別運用勾股定理算出兩種情況的的長，即可作答．【詳解】（1）解：∵菱形的邊長為，∴，，則，∴，即；故答案為：；（2）解：①在矩形中，，，∴則∴，∵，∴，∴；②分別過點作的延長線，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵分別過點作的延長線，∴，∴，∴，，設，在中，則，在中，則，在中，則，則，（3）解：∵在中，，，，∴，，∵∴，∵，∴，由（2）得，∴，∴，則（負值已舍去），則，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，即，∴，∴，過點作，如圖所示：∵，∴四邊形是矩形，∴，，則，∴在中，，∴在中，∴，綜上：當時，的長為或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，綜合性較強，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)(3)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到，即四邊形是“箏形”；再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)得到，連接，由E是的中點，得到，推出，求出，得到，即四邊形是“箏形”；（2）同理（1）可證四邊形是“箏形”，設，則正方形邊長為，利用勾股定理求出，連接，證明是直角三角形，利用正切的定義可得，求出，勾股定理求出，即可解答；（3）延長交于點，連接，同理（1）可證四邊形是“箏形”，當重合時，四邊形是“箏形”，同理（2）得是直角三角形，，，求出，勾股定理求出，即可得到此時的長．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，即四邊形是“箏形”；由折疊的性質(zhì)得：，即四邊形是“箏形”；由折疊的性質(zhì)得：，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，連接，∵E是的中點，∴，∴，∴，即，∴，即四邊形是“箏形”；綜上，圖中的“箏形”有；（2）解：同理（1）得：四邊形是“箏形”，設，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，連接，∵四邊形是“箏形”，∴，∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∵，即，∴是直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延長交于點，連接，同理（1）可證四邊形是“箏形”，當重合時，四邊形是“箏形”，同理（2）得是直角三角形，，∴，∵在矩形中，是邊的中點，∴，∴，∴，∴，∴，∴此時．【點睛】本題考查四邊形綜合題，涉及菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，正確作出輔助線，理解“箏形”的定義是解題的關(guān)鍵．7．（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)推出，結(jié)合可推出結(jié)論；（2）連接，過點作，交延長線于，交于，證明，得出，推出，，可推出結(jié)果；（3）連接，過點作交于點，交于點，交于點，設，，，根據(jù)勾股定理推出．證明四邊形為菱形結(jié)合，分別得出與，證明得出，即可推出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，，，，，即，，；（2）解：連接，過點作，交延長線于，交于，則，，又在菱形中，，，，，又，，，，，又，，，，，在中，，又，，，，；（3）解：如圖，連接，過點作交于點，交于點，交于點，

，設，，，在中，，，．解得，．．，，．，．，．，．．四邊形為菱形．，．．，，在菱形中，，，．又，．．，．解得（舍去負值）．【點睛】本題是相似綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)四邊形是菱形，見解析(3)或或是等腰直角三角形【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形是平行四邊形，于是得到；（2）由為中點，得到，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形是菱形；（3）根據(jù)正方形的判定定理得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，；（2）解：四邊形是菱形．理由如下：為中點，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形；，為中點，，四邊形是菱形；（3）解：當滿足（答案不唯一）時，四邊形是正方形，理由：由（2）知，四邊形是菱形，，，，四邊形是正方形．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．(1)(2)(3)12或(4)2或或【分析】（1）由題意可得，即可；（2）分點點出發(fā)沿運動和點出發(fā)沿運動兩種情況討論即可；（3）分兩種情況，結(jié)合梯形的面積公式分別求出t的值即可．（4）分兩種情況，結(jié)合矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)分別求出t的值即可．【詳解】（1）解：點Q與點C重合時，由題意得：，解得：，即點Q與點C重合時，t的值為6；（2）解：當點Q沿運動時，；由題意得：；當點Q沿運動時，，∴，即；（3）解：∵面積為，∴梯形的面積為分兩種情況：當點Q沿運動時，如圖，∴，解得：；當點Q沿運動時，如圖，同理：，解得：，此時，兩點重合，兩點重合；綜上所述，當平分面積時，t的值為12或；（4）解：分兩種情況：點Q沿運動時，如圖，過A作于點G，于點H，則四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵，∴，解得：；當點Q沿運動時，如圖，過A作于點G，于點H，則四邊形是矩形，當點Q在點H右側(cè)時，同理，∵，∴，解得：；當點Q在點H左側(cè)時，如圖，則四邊形是矩形，即，∴，解得：；綜上所述，當時，t的值為2或或．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，進行分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．10．(1)或或；(2)當時，；當時，．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，以及正弦的定義，得出，根據(jù)與四邊形重疊部分為直角三角形，分情況討論①當時，由求得，再根據(jù)勾股定理求得，從而得到；最后由，得到即可求得；②當時，由求得，再根據(jù)勾股定理求得即可求得；③當時，過作于點，可求得，此時與重合，由即可求得；（2）分情況討論，①當時，在上，由題意可知，，作，可得，，從而得到的值，作交于點，由求得，從而得到，最后根據(jù)和等高和求得；②當時，在上，同理求得，再由平行四邊形的高求得，最后同理可得．【詳解】（1）如圖所示，過點作于點，∵在平行四邊形中，，，∴，∴，∴如圖，設與交于點，當時，點在中點處，則，由對稱的性質(zhì)可知：，，，由勾股定理得，由題意得：，則，，解得：；如圖，當時，在中，，，又；如圖，當時，過作于點，，，，此時與重合，即與重合，；綜上：或或；（2）①因為，點的速度為1，所以當時，在上，如圖所示由題意可知，和關(guān)于對稱，，，作，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，作交于點，，，，∵，，；②因為，，點速度為1，所以當時，在上，如圖：同理可知，，由題意可知，，，，，又，，，，，由（1）可知，以為底時，平行四邊形的高為4，，，同理，，，綜上：當時，；當時，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)計算，三角形的面積求解，熟練掌握以上知識點并能作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)或(3)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義；（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，再利用角平分線的定義得出，即可得出結(jié)論；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出，再分兩種情況討論計算即可得出結(jié)論；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)經(jīng)過平行四邊形的中心的直線將平行四邊形的面積二等分，再建立方程即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，是的角平分線，，，；（2）由（1）知，，，，，依題意，，，，要使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，只要，當點在邊上時，，，，；當點在邊的延長線上時，，，，綜上所述：或，存在以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形（3）如圖，連接交于，線段將平行四邊形分成面積相等的兩部分，必過的中點，，，，在和中，，，依題意，，，，，，，時，線段將平行四邊形分成面積相等的兩部分，故答案為：12．(1)當時，；當時，；(2)2；(3)或；(4)或或．【分析】（1）先求得當運動到點時，點運動停止時，然后分兩種情況討論即可求解；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)對稱性可得，則只要，即可得出為矩形，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（3）設分別交于點，分別表示出，設四邊形的面積為，的面積為，根據(jù)的面積被分成：兩部分，得出或，即或，列出方程，解方程，即可求解；（4）分當時和當，三種情況討論，分別解直角三角形即可．【詳解】（1）解：∵，，點從點出發(fā)，沿射線以每秒個單位的速度運動，∴當運動到點時，，，當點運動到點時，，當在線段上時，即，，當在延長線上時，即，，（2）解：∵為矩形∴∵點，關(guān)于對稱，∴，∴則點在線段上，∴∴∵，，，∴解得：∴（3）解：如圖所示，設分別交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵∴，則是的高，∵在中，，，．∴，∴，，∵點在邊上運動，則，，則∴，，，∴設四邊形的面積為，的面積為∴，∵的面積被分成：兩部分，∴或，∴或即或，∴或，∴或，解得：或；（4）如圖所示，當，設交于點，∴，∴∵，∴∴，，，∴，又∵∴∴解得：如圖所示，當時，延長交于點，∵∴又∵∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵∴∴解得：當時，點在上，如圖所示，∵∴即∵在延長線上時，；∴解得：綜上所述，當與的一邊平行或垂直時，或或．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點的應用，分類討論．13．(1)見解析(2)①③或①②，證明見解析【分析】本題考查了正方形的判定，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)．（1）由三角形中位線定理得，，再證四邊形為平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）添加①時，四邊形是矩形；添加②平分時，，則，此時四邊形是菱形；添加③時，由得到，四邊形是菱形；選擇①③或①②時，四邊形是正方形，再根據(jù)正方形的判定定理得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：、、分別是，，的中點，、都是的中位線，∴，，四邊形為平行四邊形，、互相平分；（2）解：①；②平分；③，∵四邊形為平行四邊形，∴添加①時，四邊形是矩形；添加②平分時，，則，此時四邊形是菱形；添加③時，由得到，四邊形是菱形；∴選擇①③或①②時，四邊形是正方形；選擇①③，證明：四邊形為平行四邊形，，四邊形是矩形，點、分別是、的中點，是的中位線，∴，，，四邊形是正方形，選擇①②，證明：四邊形為平行四邊形，，四邊形是矩形，平分，∴，∵，∴，∴，∴，此時四邊形是菱形；四邊形是正方形，故答案為：①③或①②．14．(1)(2)①；②當時，，當時，．當時，．【分析】本題考查了正方形的性