2025年中考數(shù)學解答題專題系列：一次函數(shù)綜合

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學解答題專題系列：一次函數(shù)綜合1．綜合運用如圖，直線分別交x軸，y軸于點點分別在直線軸負半軸上運動，且始終滿足.連接，交y軸于點E.以為斜邊構造等腰直角三角形，且點按順時針方向排列，連接點C的橫坐標為．(1)分別求的長．(2)若點在線段上，當是直角三角形時，求點的坐標．2．如圖1，菱形中，，，動點P以的速度從點B出發(fā)，沿折線方向運動，同時，動點Q也以的速度從點A出發(fā)沿射線運動，當點P停止運動時點Q也隨之停止運動．過點P作于點H，設點P的運動時間為x，記的長度為，記點P運動的總路徑長與的長度之比為，請回答下列問題：(1)請直接寫出、分別與x的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)如圖2，在給定的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)、的圖象，并寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)結合函數(shù)圖象，請直接寫出當時x的取值范圍：．（近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過）3．如圖，在平面直角坐標系中，直線：與反比例函數(shù)的圖象分別交于點和點．

(1)求直線的表達式；(2)如圖2，直線經(jīng)過點與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，點將線段分成，兩條線段，且，連接，求的面積；(3)在（2）的條件下，坐標軸上是否存在點，使是以為斜邊的直角三角形，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與交于點，分別與軸、軸交于點、．(1)分別求出點、、的坐標；(2)若是線段上的點，且的面積為12，求直線的函數(shù)表達式；(3)在（2）的條件下，設是直線上的點，在平面內(nèi)是否存在其它點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．5．如圖，直線：與軸、軸分別交于點、，且與直線相交于點，已知直線經(jīng)過點，且與軸交于點．(1)求點、的坐標以及直線的解析式；(2)若為直線上一動點，，求點的坐標；(3)點是直線上方第一象限內(nèi)的動點，當為等腰直角三角形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．6．如圖，直線交軸和軸于點和點，點在軸上，連接．(1)求點和點的坐標；(2)若點是直線上一點，若的面積為3，求點的坐標；(3)過點的直線交軸于點（點在點右側(cè)），當時，求直線的表達式．7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．

(1)求直線的解析式；(2)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作軸交于點E，連接，當時，求點P的坐標；(3)在（2）的條件下，當時，連接，點F是線段（不與點A，點P重合）上的動點，連接，作，交x軸于點G，設點G的橫坐標為m，求m的取值范圍．8．如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點B，且一次函數(shù)分別與y軸和x軸交于A和C，若．(1)求直線的解析式；(2)若不等式的解集是．求a的值．(3)的圖象與x軸交于點P，在（2）的條件下求的面積9．已知：如圖一次函數(shù)與軸相交于點，與軸相交于點，這兩個數(shù)圖象相交于點．(1)求出點的坐標；(2)結合圖象，直接寫出時的取值范圍；(3)連接，直線上是否存在一點，使，若存在，求點的坐標．10．如圖，直線與x軸交于點，與y軸交于點A，點C為上一點，點M為上一點，交于N，．(1)求直線和直線的解析式；(2)若，求點M的坐標；(3)若，求點M的坐標．11．模型建立：如圖1，在等腰直角中，，經(jīng)過點，說明的理由．模型應用：如圖2，已知直線與軸、軸分別交于兩點，以為頂點在第二象限作等腰直角，求出直線的函數(shù)關系式．拓展應用：如圖3，在長方形中，點，點是線段上的一動點，，已知點在第一象限，是直線上的一點，若是等腰直角三角形，且，求點的坐標，12．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點A、B，直線交直線于點C，交x軸于點．(1)點A的坐標為；(2)若點C在第二象限，的面積是5；①求點C的坐標；②直接寫出不等式組：的解集；③將沿x軸平移，點C、A、D的對應點分別為、、，設點的橫坐標為m．直接寫出平移過程中只有兩個頂點在外部時，m的取值范圍．13．如圖，平面直角坐標系中，交x軸于A，交y軸于B．另一直線交x軸于C，交y軸于D，交于E．已知．(1)求解析式．(2)P，Q分別在線段和上運動，若P從B開始運動，速度是1單位長度每秒，Q從C開始運動，速度等于P的運動速度，設運動時間為t，則t為多少時，軸？14．如圖，函數(shù)與軸交于點，與軸交于點，點與點關于軸對稱，點是直線上的一個動點，過點作軸的平行線，交直線于點．(1)求直線的函數(shù)解析式：(2)是否存在點，使，若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)若的面積為，求點的坐標．15．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，直線與直線，x軸分別交于點，．(1)求直線的表達式．(2)若D，E分別是直線和y軸上的動點，是否存在點D，E，使得以A，B，D，E為頂點，為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．16．已知直線與直線交于點．(1)求點的坐標；(2)如圖，直線的圖象交軸于點，交軸于點，點在線段上運動，過點作軸的垂線交直線于點，交直線于點．①當點的坐標是，則的面積為；②以為直角邊作等腰直角三角形，點在第一象限內(nèi)，直接寫出點的坐標．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學解答題專題系列：一次函數(shù)綜合》參考答案1．(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)直線分別交x軸，y軸于點得到，繼而求得，．（2）過點C作于點G，作于點H，得四邊形是矩形，再證明，借助，，分三種情況，列出等式解答即可．【詳解】（1）解：∵直線分別交x軸，y軸于點當時，；當時，；∴，，∴，．（2）解：過點C作于點G，作于點H，四邊形是矩形，∴，，，∵點在線段上，且橫坐標為，直線解析式為，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當，∴，∴，∴，∴，∴，整理，得，解得或，∵點在線段上，∴，∴舍去，∴，當，∴，∴，∴，∴，解得，∵點在線段上，∴，∵在的內(nèi)部，且是銳角，∴小于，∴是銳角，∴此時不符合題意，綜上所述，符合題意的坐標為或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用，三角函數(shù)的應用，三角形相似的判定和性質(zhì)，解方程，熟練掌握性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的應用，相似是解題的關鍵．2．(1)，（）(2)圖象見解析，當時，函數(shù)的圖象關于直線軸對稱(3)【分析】（1）分和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)及解直角三角形的知識可求得、與x的函數(shù)關系式，根據(jù)“動點P從點B出發(fā)，沿折線方向運動，當點P停止運動時點Q也隨之停止運動．”可分別求得自變量x的取值范圍；（2）根據(jù)、與x的函數(shù)關系式可畫出兩函數(shù)的圖象，可寫出一條函數(shù)的性質(zhì)；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，可得兩函數(shù)的交點的橫坐標約為和，因此可求得當時x的取值范圍．【詳解】（1）解：當時，由題意得，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，當時，，，四邊形是菱形，，，，，，，解得，，，，即（）；（2）解：如圖所示，為函數(shù)、的圖象；當時，函數(shù)的圖象關于直線軸對稱；（3）解：結合函數(shù)圖象，當時x的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，畫一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，函數(shù)與不等式等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)及解直角三角形的知識是解題的關鍵．3．(1)(2)(3)或或或【分析】（1）先求出的值，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）聯(lián)立方程組得求出點B的坐標，過點C作軸于點M，過點B作軸于點N，利用平行線成比例求出，再求出，求出直線的函數(shù)表達式，得到點B，點G的坐標，即可求解；（3）取的中點M，以點M為圓心，為半徑作交坐標軸于點E，連接，，分點E在y軸上，設點E的坐標為，點E在x軸上，設點E的坐標為，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：將代入，，即，將代入，，直線的表達式為；（2）解：直線與反比例函數(shù)交于點A，B，聯(lián)立方程組得解得，，過點C作軸于點M，過點B作軸于點N，

，，，在中，當時，，，設直線的函數(shù)表達式為，直線的函數(shù)表達式為，直線與x軸交于點D，，直線與x軸交于點G，，，；（3）解：如圖，取的中點M，以點M為圓心，為半徑作交坐標軸于點E，連接，，

為的直徑，，是的中點，，當點E在y軸上時，設點E的坐標為，，，，，當點E在x軸上時，設點E的坐標為，，，，，綜上所述，點E的坐標為或或或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直角三角形的性質(zhì)，平行線成比例，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．4．(1)，，(2)(3)或或【分析】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有∶一次函數(shù)與坐標軸的交點，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的交點，一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和菱形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．（1）聯(lián)立兩直線解析式求出點的坐標，分別令和，帶入直線解析式求出點、的坐標；（2）根據(jù)在直線上，設，表示出面積，把已知面積代入求出的值，確定出坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（3）在（1）的條件下，設是射線上的點，在平面內(nèi)存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形，如圖所示，分三種情況考慮∶①當四邊形為菱形時，由，得到四邊形為正方形；②當四邊形為菱形時；③當四邊形為菱形時；分別求出Q坐標即可．【詳解】（1）根據(jù)，解方程組得，得，分別令和，帶入直線解析式得點、的坐標，．（2）設，且，，，，令直線解析式為，把，代入得：，，，直線的函數(shù)表達式為．（3）存在．如圖所示：①當四邊形為菱形時，，得四邊形為正方形；，即．②當四邊形為菱形時，得，帶入直線的解析式，得，．③當四邊形為菱形時，，，綜上得點的坐標為或或．5．(1)點、，直線的解析式為(2)點的坐標為或(3)點的坐標為或或【分析】本題考查了一次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握知識點的應用及分類討論思想的應用．（）由直線：得，當時，，當時，，則有點、，設直線的解析式為，然后把，代入即可求解；（）由直線的解析式為得，當時，，當時，，則點，，則，求出，設，，求出的值即可；（）當，時，當，時，當，時三種情況分析，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由直線：得，當時，，當時，，∴點、，設直線的解析式為，把，代入得，，解得：，∴直線的解析式為；（2）解：由直線的解析式為得，當時，，當時，，∴點，，∴，∴，∴，∵為直線上一動點，∴設，∴，∴，解得：，∴點的坐標為或；（3）解：如圖，當，時，過作軸于點，∴，∴，∴，∴，∴，，∵點，，∴，，∴，∴點的坐標為；如圖，當，時，過作軸于點，同理得：，∵點，，∴，，∴，∴點的坐標為；如圖，當，時，過作軸于點，過作交于點，同理得：，∴，，∵點，，∴，，∴，即，，∴，，∴，，∴點的坐標為；綜上可知：點的坐標為或或．6．(1)，；(2)或(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用三角形的面積公式得出點的坐標，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答是解題關鍵．（1）根據(jù)直線與坐標軸的交點解答即可；（2）由，即可求解；（3）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：交軸和軸于點和點，當時，則；當時，解得，，；（2）設點，如圖，連接，則，解得，故點或；（3）當，如圖，過點作交于點，過點作軸，，為等腰直角三角形，，，，，，在與中，，，，，，，，，設直線的表達式為，則，解得，故直線的表達式為．7．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出點B、C的坐標，再將點B、C的坐標代入求解即可．（2）由（1）知，得，，當時，則得到軸，設，則，當時，則，解得，代入即可得解．（3）延長交軸于點，證，得到，設，，則，得當時，的最大值為，即有最大值，即可得解．【詳解】（1）在中，令，得，令，得，，∴，，

設直線的解析式為.把，代入，，解得，∴直線的解析式為．（2）如圖，由（1）知，

∴，∴，

∵軸，∴，當時，則，∴，此時軸，設，則，∴，，當時，則，解得（舍去），，

當時，，∴點的坐標為．（3）如圖，延長交軸于點.

由（2）知點的坐標為，∴，，∵，∴，∵，∴，，

∵，，∴，∴，∴，

設，，則；∴；∴，∴當時，的最大值為，即有最大值，

∵，∴的最大值為，

又點在線段上，∴點橫坐標的取值范圍為．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，靈活運用所學知識解決問題．8．(1)(2)10(3)【分析】本題考查的是一次函數(shù)圖象以及利用不等式解集求解一次函數(shù)中未知數(shù)，兩直線的交點問題，解題的關鍵在于熟練掌握待定系數(shù)法求解析式以及學會利用圖象法找出關鍵信息交點的橫坐標．（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（2）根據(jù)圖像即可求出點橫坐標，將點橫坐標代入即可求出點坐標，將其代入即可求出的值；（3）先求出與軸交點，則求出，再由即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知，和在一次函數(shù)上，，，，，，直線的解析式為：；（2）解：的解集是，點為和交點，的橫坐標為1．將點的橫坐標1代入中，解得．．將代入中，，；（3）解：由（2）得，當時，，解得：，∴，∴∴．9．(1)(2)當時，(3)點坐標為或【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題關鍵是熟練運用一次函數(shù)知識，用待定系數(shù)法求解析式，結合一次函數(shù)的性質(zhì)求點的坐標．（1）把分別代入兩個解析式，聯(lián)立兩個解析式，解方程組即可；（2）觀察圖象直接判斷即可；（3）根據(jù)求出點的縱坐標，代入解析式即可．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，；把代入得，，解得，；聯(lián)立方程組得，，解得，，點坐標為：；（2）解：根據(jù)圖象可知，在點或點的左側(cè)時，，∴當時，；（3）解：由（1），．，，設點坐標為，，，，當時，，∴，∴點坐標為；當時，，∴，∴點坐標為；綜上，點坐標為或．10．(1)解析式：；解析式：(2)(3)【分析】（1）先把點坐標代入求出的值，從而得到直線的解析式為，然后求出點坐標，接著利用三角形面積公式計算出，即可得到的坐標，待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）根據(jù)得出，則直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式，即可求解；（3）連，由已知得，得出，代入，即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點，∴,解得：，，，，，設直線解析式為，將代入得，，解得：，的解析式為：，直線的解析式為；（2）解：，，，將代入得：，設直線的解析式為，∴，解得：，直線的解析式為，由得．；（3）解：連接，由已知得，，將代入得．【點睛】本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．11．（1）見詳解（2）（3）或．【分析】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形綜合，三角形全等等知識，解決問題的關鍵是構造全等模型.（1）由，得，進而得證；（2）先求出的坐標，過點C作軸于點H，先證明，再求出點C的坐標，進而利用待定系數(shù)法求的解析式即可．（3）作于，于，構造模型，設點，，，得進而得出點．【詳解】解：（1）∵，，，，，，，又，；（2）令，則，令，則，則點A、B的坐標分別為∶、，過點C作軸于點H，∵，，∴又∵，∴，∴，，則點，設的解析式為：，把，代入，則解得∶故直線的表達式為∶（3）如圖3，作于，于，設點，，，由上知，，，當時，當時，，，，點和重合，．綜上所述，或．12．(1)(2)或【分析】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與不等式的解集，三角形面積問題，平移的性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．（1）把代入求得對應的自變量的值即可求得；（2）①利用三角形面積公式求得的縱坐標，代入即可求得的坐標；②根據(jù)圖象即可求得自變量的取值范圍；③求出直線的解析式，然后令，求出，然后根據(jù)沿軸向右平移或沿軸向左平移兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：把代入,得,解得,∴；（2）解：①∵點,∴,，，即，∴,把代入,得,解得,∴；②∵直線交直線于點,根據(jù)圖象得：不等式的解集為；③連接,把代入得∴點的坐標為,設直線的解析式為，把,代入得，解得，∴直線的解析式為把代得：，解得：，當點在直線上時，點的橫坐標為：，當點在點上時，點的橫坐標為：，當沿軸向右平移時，只有兩個頂點在外部時，當沿軸向左平移，只有兩個頂點在外部時；綜上可知，只有兩個頂點在外部時，的取值范圍為或．13．(1)(2)【分析】（1）求出A，B點坐標，利用求出C，D點坐標，利用待定系數(shù)法求解；（2）作軸于點S，設，，表示出，表示出線段，，的長度，證明與全等，可求解．【詳解】（1）直線，當時，解得，∴，當時，，∴∵，∴，，∴點，點，將點C，D代入直線得，，解得，∴直線；（2）作軸于點S，如圖，設，∵軸，∴Q點的縱坐標為，Q點在直線上，代入縱坐標得解得：，∴，設線段與y軸交于點R，則，在中，，，∴∵動點P，Q的速度一樣，∴，在和中，，∴，∴，即，解得，∴．【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查一次函數(shù)的待定系數(shù)法和動點問題，解題關鍵是掌握待定系數(shù)法和利用三角形全等的判定和性質(zhì)求解問題．14．(1)；(2)；(3)或．【分析】本題考查了一次函數(shù)與幾何問題題，一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．（）由，得，，由點與點關于軸對稱，得，設直線解析式為，再代入計算即可；（）當時，則直線解析式為，聯(lián)立和得，；（）設，故，由的面積，得，故或．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵點與點關于軸對稱，∴，設解析式為，∴，∴，∴直線的函數(shù)解析式為；（2）解：∵，∴，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得，∴；（3）解：設，∴，∴的面積，解得：，∴或．15．(1)(2)存在，或【分析】本題是一次函數(shù)綜合題，考