第六節(jié)遞推數(shù)列求和原卷

考點一：公式法1.直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).◆典例分析◆例1(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S4＝0，a5＝5，則下列選項正確的是()A．a(chǎn)2＋a3＝0 B．a(chǎn)n＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2例2.數(shù)列{an}的通項公式是an＝an(a≠0)，則其前n項和為Sn＝________.◆對點練習(xí)運用◆1.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項積，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項公式．2.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－13.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>1.令bn＝eq\f(n2＋n,an)，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和．(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通項公式；4.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)．(1)證明：{an＋1＋3an}為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和Sn.考點二分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．◆典例分析◆例1已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋1，n為奇數(shù)，,2an，n為偶數(shù)))(n∈N*)，設(shè)bn＝a2n－1.(1)證明：數(shù)列{bn＋2}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前2n項和．例2.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，它的前n項和Sn滿足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2n,3)))為等比數(shù)列；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.◆對點練習(xí)運用◆1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝anan＋1＋log2(anan＋1)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.2.數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝an＋1－1，n∈N*，且a1＝1.(1)求an；(2)設(shè)bn＝(－1)n(an－1)，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.考點三錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的．◆典例分析◆例1Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(3,8)＋…＋eq\f(n,2n)等于()A.eq\f(2n－n－1,2n) B.eq\f(2n＋1－n－2,2n)C.eq\f(2n－n＋1,2n) D.eq\f(2n＋1－n＋2,2n)例2在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，②＋＋…＋＝2n＋1－2這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．問題：在數(shù)列{an}中，已知________．(1)求{an}的通項公式；(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．◆對點練習(xí)運用◆1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－eq\f(9,4)，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn，對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．2.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4Sn＝(an＋1)2.(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝2n，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.考點四裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．常見的裂項技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(5)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).◆典例分析◆例1數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若an＝eq\f(1,nn＋1)，則S5等于()A．1B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,30)例2知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an,an＋1an＋1＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，并證明：Tn<eq\f(1,3).◆對點練習(xí)運用◆1.已知數(shù)列{an}滿足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.(1)求出a2，a3的值，猜想數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且bn＝eq\f(Sn,an·an＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.2.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)證明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<2.3.已知等差數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足Sn＝n2＋m，m為常數(shù)