向量法解決線面角綜合問題講義-高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

TOC\o"13"\h\u立體幾何3 68向量法解決線面角大題 68文檔檢索使用方法：WPS打開本文檔后，點擊右上角“章節(jié)導航”，再點擊左上角“目錄”。即可開啟強大的知識點分類檢索功能。本文檔筆者十年持續(xù)更新，每一知識點題作者都親自做過。覆蓋所有新高考內容所需，可在WPS打開文檔后點擊查詢“向量法解決線面角大題”等字樣快速檢索到高考所需題型。是高中數(shù)學教師教學必備神器，是高中學生實現(xiàn)快速進步的高中數(shù)學統(tǒng)計題型寶典。本專輯每年更新一次，持續(xù)更新。如需高考數(shù)學教師備課學生備考分類試題庫（2025年版）專輯中的其它文檔，歡迎進入專輯。立體幾何3向量法解決線面角大題例1（天上的點易求）：如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD。將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD。若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值。KEY：練習1.1：如圖，平面平面，其中四邊形是正方形，四邊形為直角梯形，，，，為線段上一點，平面。求直線與平面所成角的正弦值。解：以為軸，為軸，為軸。過作交于點?！啖?，又∵平面，∴②?！嗨倪呅问瞧叫兴倪呅?。∴?！嗍蔷€段的中點。，，，平面的法向量。KEY：練習1.2：在四面體中，棱，，兩兩垂直，且，，分別為線段，的中點，求直線與平面所成角的正弦值。解：以為軸，為軸，為軸建系，，。法向量顯然為（不用計算，顯然為補全后正方體的對角線）。KEY：練習1.3：如圖，在側棱垂直底面的四棱柱中，，，是的中點。，，，求與平面所成的角的正弦值。解：以為軸，為軸，為軸建系。，，，。平面的法向量。KEY：練習1.4：如圖，四棱臺中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：以為軸，為軸，為軸建系。則，，，。平面的法向量。KEY：練習1.5：如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，。求直線與平面所成角的正切值。解：方法一（等體積法）：方法二（找墻法）：過作交于點。容易證明平面，故為所求角。方法三（向量法）：KEY：練習1.6：如圖，直角梯形所在的平面與矩形所在的平面垂直，，，求與平面所成角的余弦值。解：以為軸，為軸，豎起來為軸建系。，，，。平面的法向量。，。KEY：練習2：如圖，在四棱錐中，平面平面；，，，。求直線與平面所成的角的正切值。解：先證明平面。KEY：練習3：如圖，DC平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，ACB=120°。求AD與平面ABE所成角的正弦值。解：取中點，為軸，為軸，豎起來為軸建系。，。平面的法向量。。KEY：練習4：如圖所示，在三棱柱中與四棱錐的組合體中，平面，四邊形是菱形，，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：如圖建系，，，，。平面的法向量，。KEY：練習5：如圖，已知三棱錐中，平面，，，點為線段的三等分點，且。求直線與平面所成角的正弦值。解：如圖建系。設，則，，，。，平面的法向量。則。KEY：練習6.1（等腰建系）：如圖是一個正三棱柱和三棱錐的組合體，其中平面，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：取中點，以為軸，為軸，為軸建系。，，，。平面的法向量，。KEY：練習6.2：如圖，在幾何體中，平面底面，四邊形是正方形，，且，。求直線與平面所成角的正弦值。解：取中點，中點。為軸，為軸，為軸建系。則。KEY：練習6.3：如圖，四棱錐中，△為等邊三角形，平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值。解：取中點，以為軸，為軸，豎起來為軸。則，，，，。，。平面的法向量，。。KEY：練習6.4：如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2。求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值。解：取中點，為軸，為軸，豎起來為軸。，，，。平面的法向量。KEY：練習7.1（坐標平面的法向量）：已知多面體中，，，，M為PB中點。求直線BC與平面CDM所成角的正弦。解：取中點，為軸，為軸，為軸建系。，，，。，平面的法向量為。KEY：練習7.2：如圖，在三棱臺中，已知平面平面，，，，，求直線與平面所成角的余弦值。解：方法一（云朵的運動）：以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，豎起來為z軸。由三棱臺的相似比得，∴，。平面的法向量。?！?。方法二（坐標平面的法向量）：以為原點，為x軸，為y軸，為z軸建系。，。。平面的法向量。KEY：（方法二簡單）練習8：如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點。(1)證明：MN∥平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值。解：（1）取PB中點E，易證MN∥AE。（2）方法一（向量法）：取BC的中點F，連接AF，作為x軸，AD作為y軸，AP作為z軸。，P(0,0,4)，M(0,2,0)，N（由CP中點可得）。面PMN的法向量為n＝(0,2,1)。方法二（幾何法）：過A點作AH⊥PM交PM于H，∠ANH即所求線面角（由矩形AFCM知CM⊥AD，易證CM⊥面PAD，故CM⊥AH。故AH⊥面PMC。）。KEY：（1）見解析；(2)練習9：如圖，在四棱錐中，平面，，。，，求直線與平面所成角的正弦值。解：易求得：。以為軸，為軸，為軸建系。，，，。平面的法向量。KEY：練習10：如圖，在三棱柱中，平面，為的中點，，，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：易證：。以為軸，為軸，為軸建立直角坐標系。則，，。面的法向量?！唷EY：練習11：如圖，在多面體EF－ABCD中，四邊形ABCD，ABEF均為直角梯形，∠ABE＝∠ABC＝90°，四邊形DCEF為平行四邊形，平面DCEF⊥平面ABCD。若BC＝CD＝CE＝eq\f(1,2)AB，求直線BF與平面ADF所成角的正弦值。解：易證面BCE，∴。故易證C點為墻角。故可在C點建系。KEY：練習12：在正三棱柱中，，，點是的中點，點在棱上（不含端點），且⊥。求直線與平面所成角的正弦值。（方法一簡單）解：方法一（E點建系）：，面，故為線段靠近的四等分點。以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸建系。，，。。方法二（D點建系）：為軸，為軸，豎起來為軸建系。則，，。平面的法向量，。KEY：練習13：如圖，在三棱錐中，。平面⊥平面。點是線段的中點，求直線與平面所成角的余弦值。解：只需在中點建系，為軸，為軸，為軸。KEY：練習14：如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四邊形CDEF為正方形，平面CDEF⊥平面ABCD。求直線AE與平面BDF所成角的正弦值。解：因為四邊形CDEF為正方形，所以ED⊥DC。因為平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝DC，所以ED⊥平面ABCD。在△ABD中，因為∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，∴BD＝eq\r(3)，AD⊥BD。在等腰梯形ABCD中，可得DC＝CB＝1。如圖建系，，平面BDF的法向量為?！唷EY：練習15：如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為線段的中點。求直線與平面所成角的正弦值。解：以為原點，為軸，為軸，方向為軸。容易求得平面的法向量。。KEY：練習16：如圖，平面平面，且，。求直線與平面所成角的余弦值。解：如圖，過作交于點，連，由△≌△得。如圖見系，，，，。平面的法向量為。。KEY：【本題可視為“幾何法解決線面角大題中的練習2.1（二面角畫出的平面角所在平面必垂直二面，難）”的簡單版】練習17：如圖，平面平面，四邊形為梯形，，∥∥，△為等邊三角形，，，，。求直線與平面所成角的正切值。解：取中點，中點。以為軸，為軸，為軸建系。，，，。平面的法向量，。。KEY：練習18：在四棱錐中，平面，，∥，，為棱的中點。求直線與平面所成角的正弦值。解：以為原點，為軸，為軸，為軸建系。，，，，，平面的法向量為。KEY：例2（面面垂直時射影必在交線上，改編）：如圖，平行四邊形垂直于梯形所在的平面，，，，，求直線與平面所成角的余弦值。解：D點建系，，面ADE的法向量，故。KEY：練習1：如圖，已知四棱錐，，∥，且，。（1）求證：平面⊥平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值。解：（1）證明見“有等腰三角形必用三線合一”（2）在A點建系，P在底面的投影在線段DA的延長線上。KEY：（2）練習2：如圖，在三棱錐中，，。求與平面所成角的正弦值。解：取CD中點E，連接AE，BE，則AE⊥CD，，，由勾股定理逆定理得AE⊥BE。故由①②得AE⊥面BCD。以E點為原點，EB為x軸，EC為y軸，EA為z軸建系。求得面ABD的法向量為。KEY：練習3.1（初中射影定理）：如圖，已知四棱錐中，底面是矩形，，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：如圖，記，的中點為，。連接，，。容易求得，。由勾股定理的逆定理得：，?！嗥矫妗！啖佟Ｓ症?。由①②得平面。∴平面平面?！嘣谄矫嫔系纳溆霸诰€段上?！撸嘤沙踔猩溆岸ɡ砬蟮茫?，，。如圖建系，，，，。，。∴平面的法向量?！唷EY：練習3.2（略難）：如圖，在四棱錐中，，，，，點在棱上，且，平面。求直線與平面所成角的正弦值。解：連，由初中知識求得，∴。以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸建系。容易證明平面，∴平面平面?！帱c在底面的射影在線段上。又，，平面?！嗥矫??！?。容易求得，由初中射影定理求得。，，?！?，由三線合一知是線段的中點?！?。平面的法向量。。KEY：練習4.1（坐標平面的法向量）：如圖，在三棱臺中，平面平面，，，且四邊形是等腰梯形。求直線與平面所成角的正弦值。解：連，由初中幾何知識得。由面面垂直的性質定理得平面。∴①。②。由①②得平面平面平面。以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸建系，則，∴，，。平面的法向量。KEY：練習4.2：如圖，在三棱臺中，，，四邊形是等腰梯形，，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值。（方法二簡單）解：方法一（向量法）：將三棱臺補成一個三棱錐。如圖建系，設，容易求得，∴，而，由勾股定理的逆定理知。又平面平面，∴平面，∴。又，∴平面?！嗥矫嫫矫?。在直角△中，，，∴，。在直角△中由等面積法容易求得到直線的距離為，故到直線的距離為?！?，平面的法向量?！?。方法二（找墻法）：過作交于點，連。則，由于，，故。∴平面，∴平面平面?！嗉此缶€面角。同方法一證得平面，∴。由直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半得。在直角△中容易求得。方法三（等體積法）：。方法四（暴力計算）：同方法一證得平面，∴。在直角梯形中，過作交于點，則也是線段的中點，由三線合一知。取中點，則。由三個條件，設，可算得，平面的法向量?！唷EY：練習4.3（21年浙江高考第2道大題第2小題）：如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，。，分別為，的中點，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：由，，得。由①；②得平面。故平面平面。又，故底面。在△中使用余弦定理得，在△中由勾股定理得。以為軸，為軸，豎起來為軸。則，，，，，。平面的法向量，。KEY：練習5.1（云朵的運動）：如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點，求直線和平面所成的角的正弦值。解：取中點，為軸，為軸，為軸。則在△中使用勾股定理求得。∴，，，。平面的法向量。KEY：練習5.2：如圖，已知三棱柱，平面平面，，，。，分別是棱，，分別是棱，的中點。求直線與平面所成角的余弦值。證明：，又平面平面?！嗥矫?，即在底面的射影為，記中點為，中點分別為。故在底面的射影為。以點為原點，為軸，為軸，為軸建立直角坐標系。記。則，，，。平面的法向量。KEY：練習5.3（略難，找墻建系法）：如圖，在四棱錐中，四邊形的邊長均為，△為正三角形，，。，分別為，的中點。求直線與平面所成角的正弦值。解：連，。由菱形得①，②。由①②得平面。又，∴平面，∴，∴在△中可求得：。在△中由勾股定理的逆定理得。故可以為原點，為軸，為軸，為軸建系。點在底面投影為線段的中點，故，，，，。平面的法向量。。KEY：練習6（較難）：如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：分別過，作的垂線，由勾股定理求得梯形的高為，再利用一次勾股定理求得梯形的對角線為，再由八字型相似得（記對角線與相交于點）?！啵ㄒ部捎筛吲c對角線構成的等腰直角三角形得）。又∵平面平面，∴平面。如圖建系，在△中使用勾股定理得，在△中容易看出（也可設點坐標暴力求解，計算量并不大）。，，。平面的法向量。。KEY：練習7.1（找墻建系1——直角，略難，有等腰三角形必用三線合一）：如圖，三棱柱中，，，，，求直線與平面所成角的正弦值。解：取中點，連，。設，則，∵，∴?！撸?，∴平面，∴①?！?。由勾股定理得②。由①②得平面。所以平面平面。故可如圖建系，且，，?！唷Ｆ矫娴姆ㄏ蛄?。。KEY：練習8.1（找墻建系2——非直角）：如圖，四棱錐中，，，，，側面為等邊三角形。求直線與平面所成角的正弦值。解：取中點，連，。由初中平面幾何知識知，⊥平面，故面⊥面，故在底面投影在直線上。在點建系，為軸，為軸，豎起來為軸。則，，，。則面的法向量，。KEY：練習8.2（20年紹興一模第2道大題第2小題）：如圖，四棱錐中，底面是正方形，。，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：如圖建系。，，在△中使用余弦定理得?！?，平面的法向量，。。KEY：練習8.3：如圖，四棱錐中，△是等邊三角形。底面是直角梯形，，，，，，，分別是，的中點。求直線與平面所成角的正弦值。解：取中點，以為軸，為軸，豎起來為軸建系。容易求得，。容易證明平面平面?！嘣诘酌娴纳溆霸诰€段的延長線上。，，，，。平面的法向量。。（如有需要，請聯(lián)系文檔作者微信號：2539542373）KEY：練習8.4：，，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：方法一（向量法）：取中點，由三線合一得：⊥。又在等邊△中⊥②，由①②得⊥平面。故可在點建系，為軸，為軸，豎起來為軸（不經(jīng)過點）建系。則易得：，，。，，（在△中可求得）。∴。∴平面的法向量。方法二（等體積法）：同方法一求得到底面的距離為。∴（到平面的距離）。。KEY：練習8.5（21年嘉興一模第2道大題，略難）：如圖，四棱錐中，△為正三角形，，，，。求與平面所成角的正弦值。解：取邊的中點，邊的中點。容易證明四邊形是平行四邊形，在△中容易求得，故（解底面梯形也可作梯形的兩條高用兩次勾股定理，但略微麻煩點）。如圖建系。，，，在△中容易求得，平面的法向量為。。KEY：練習10.1（較難，菱形）：如圖，三棱柱ABC—A1B1C1所有的棱長均為2，，。求直線與平面夾角的余弦值。解：方法一：連接與，∵，，面，∴平面⊥平面。過作直線的垂線交于點。故∠為所求角，反復利用勾股定理可證明（證明方法如下：∵，故在△中使用勾股定理可求得。在菱形內使用勾股定理或中線定理可求得另一條對角線。在菱形內使用勾股定理或中線定理可求得另一條對角線。在△中使用勾股定理的逆定理得A1C1⊥B1C。）。方法二（建系法）：先證明面面。取中點，則，由，得面①。在△中使用勾股定理得。在△中使用勾股定理逆定理得②。由①②得面，故平面⊥平面。即可在點建系。KEY：練習10.2（暴力建系）：如圖，三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱長均為1，A1C1⊥B1C且A1B＝1，求直線A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值。解：我們先來證（第1小題）。由菱形對角線垂直得。又因為，故平面，所以①。又②，由①②得平面。所以。取中點，則，故平面。故平面平面。所以點在底面的射影在直線上。以為軸，為軸，豎起來為軸建系。設，，。由，。解得。平面的法向量。。直線A1C1和平面ABB1A1所成角的正弦值。KEY：例3（暴力計算）：如圖，四邊形是正方形，，，，求直線與平面所成角的正弦值。解：方法一（交軌法）：在底面等腰梯形中由初中幾何知識得①，又②。由①②得面?！嗥矫妗推矫妗！嘣诘酌娴耐队霸谏稀！?，，∴面，∴。而∠，在點以為軸，為軸，豎起來為軸建系。故，，，。面的法向量。方法二（暴力計算）：以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸。同方法一容易得到在底面的投影在上。設。由，可計算得。KEY：練習1：如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點。求直線CE與平面PBC所成角的正弦值。解：方法一（找墻建系法）：取AD中點N，連BN，PN。設BC=CD=1，易證AD⊥PN，AD⊥BN，∴AD⊥PB，故BC⊥PB。故可求得PB，∴∠BNP=120°，即點P是向后翻的，由于PB長度固定，∴點P的位置固定。由于面PBN⊥面ABCD，故點P在面ABCD上的投影在交線BN上。以D點為原點，DA為x軸，DC為y軸，豎著為z軸建立直角坐標系。則。面PBC的法向量為，∴。方法二（暴力計算）：由于，故點在線段的中垂面上，以為軸，為軸，豎起來為軸建系。設點，，。由，得，。取。方法三（幾何法）：取BC中點為M，中點。連接PN交EF于點Q，連接MQ。因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點。過點Q作PB垂線，垂足為H，連MH。MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH即所求角。KEY：（由簡到難：方法二、一、三）練習2.1（含垂直的暴力計算）：如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點，，，，，，，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：以為軸，為軸，豎起來為軸建系。，，。，，兩式相減得：，，。平面的法向量。KEY：練習2.2：在三棱錐中，，，，為棱的中點，。求直線與平面所成角的正弦值。（由簡到難：方法一、三、四、二）解：方法一（一眼看出坐標）：以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸?！?，∴的橫坐標為。∵，∴的縱坐標為。設，。∴（即點的坐標可以口算得到）。而，，。，。平面的法向量。方法二（找墻建系——非特殊角）：過作交于。則由相似三角形得：，。在△中使用余弦定理得，在△中對使用余弦定理計算得。∴?！?。以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸建系。，。在△中使用余弦定理得。∴。，，?！嗥矫娴姆ㄏ蛄俊?。方法三（補形法）：將△補成矩形，在矩形的另一個頂點建系，點在底面的射影恰好在矩形的另一個頂點上（相當于補成一個四棱錐，長方體的一部分）。方法四（暴力建系）：以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸。設，由，，，三個方程三個未知數(shù)解出。KEY：練習3（計算量較大）：在四棱錐中，∥，，，，是的中點。求直線與平面所成角的正弦值。解：方法一（找墻法）：取中點，中點，中點，過作交于點。易證平面，∴面⊥面，易證∠為所求線面角。。在△中是△高的一半。設，在底面直角梯形中可求得，∴，。求得。而在△中可求得。方法二（找墻建系法——非特殊角）：以點為原點建系，為軸，為軸，豎起來為軸。設，在底面直角梯形中可求得，∴，。在△中使用余弦定理得?！?，，，。，。面的法向量。方法三（暴力建系）：∵，∴點在線段的中垂面上。在點建系，為軸，為軸，豎起來為軸。設，由可求得，通過略大的計算量可求得，面的法向量。KEY：練習4（較難）：如圖，已知三棱錐，，，平面⊥平面，求直線與平面所成的角的正弦值。解：方法一（找墻法1）：取中點，設，由等腰三角形三線合一與面面垂直性質定理知⊥面。∴⊥面。∴⊥①，又⊥②，由①②得：⊥平面?！嗝鍭BC⊥面AMC。故面AMC是一堵墻，過M作ME⊥AC交AC于點E，。BC⊥MC，為了求MC的長度，我們作出△BCD的平面圖形，作DF⊥BC的延長線交BC延長線于F。由中位線知。故。方法二（暴力計算）：在點建系，為軸，為軸，豎起來為軸?！?，∴在線段的中垂面上，故設。，，。平面的法向量，平面的法向量。①；②。由①②消去得。求得或（舍，∵即使△翻折到底，縱坐標也不到。）。方法三（找墻法2）：取中點，中點，容易證明，。則平面，∴平面平面。，。取中點，中點，連，。由平面⊥平面得平面。。在△中，由中線定理得。在直角△中求得，由勾股定理求得，∴。在△中，由中線定理得。在△中使用余弦理求得。∴到面的距離為?！?。方法四（等體積法）：類似方法三，求出與后即可求出三棱錐的體積。KEY：（方法四比方法三略簡單，方法三可在點建系解決任意問題，就與17年浙江高考題類似。）練習5（較難）：如圖，在四棱柱中，底面為矩形，，，，為的三等分點（靠近點），為的三等分點（靠近點），為與的交點。求直線與平面所成角的余弦值。解：，，故，由得。而故。由于在矩形頂點建系時的坐標較為復雜，故選擇以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸建系?！髋c△八字形相似得故，，，，設。由，，。解得：。，。平面的法向量。故。KEY：練習6（較難）：如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，△，△，△都是等邊三角形，且，求直線與平面所成角的正弦值。解：取中點，設，，由已知容易證明。故①，又，故②，由①②得平面，故平面平面。由△是等邊三角形三線合一知④。由③④得平面。故。所以，，，四點共面，故，在底面的射影在直線上。以為軸，為軸，豎起來為軸建系。在△中由余弦定理得，故。設，，。兩式作差得：，代入得或（舍，否則變成六面體）。所以。，，。故平面的法向量。。故。KEY：例4（找墻建系法）：在三棱錐中，，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：方法一（找墻法）：取中點，連，，則直線，平面平面平面。故點在平面內的射影在射線上，在△中使用余弦定理求得。∴，即所求角。。方法二（找墻建系法）：在點建系即可。KEY：練習1.1（二面角）：如圖，在三棱臺的下底面是邊長為2的正三角形，，且二面角的大小為120°，求直線與平面所成角的正弦值。解：取AC中點M，DF中點N。連接MN，MB。易證∠NMB=120°。易證AC⊥面NMBE，∴面NMBE⊥面ABC。故N在底面的投影在射線BM上，在點建系可求得，，。KEY：練習1.2：如圖，四棱錐中，∥，，，△是等邊三角形，分別為的中點。二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值。解：方法一（向量法）：取中點，為軸，為軸，豎起來為軸建系。則，，，，，平面的法向量，。。方法二（找墻法）：連接。由于，，則是二面角的平面角，，是邊長為的正三角形，且平面。則平面平面。過點作于，則，平面，是直線與平面所成角的平面角。由于分別是的中點，則，從而。KEY：練習2（高線）：在三棱錐中，底面，,，為棱的中點，為棱上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值。解：方法一（找墻法）：易知平面即一堵墻，過作交于點。則∠即所求角。過作交于點。容易求得，，在△中使用余弦定理求得。而平面，∴由勾股定理可求得。。方法二（向量法）：在點建系，為軸，為軸，豎起來為軸。過作交于。在直角△中，，，故。在△中，，過作交于點。則，，。故，平面的法向量。KEY：例5（與二面角幾何法相結合）：如圖，在四棱錐中，∥，，，為棱的中點，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值。解：由，得平面，∴，。∴∠即二面角的平面角，為。因為，，故底面。以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸建系。設，則，，，。平面的法向量。KEY：練習1.1（一眼看出法向量）：如圖，在三棱臺中，，，，,二面角的大小為。求直線與平面所成角的正弦值。（方法一簡單）解：方法一（一眼看出法向量）取中點，中點，∵三棱臺，，∴四邊形是等腰梯形，∴①，再由三線合一得②。由①②得平面（∵∥，∴四點共面），∴平面平面。以為軸，為軸，豎起來為軸。當平面垂直底面時，法向量為軸，現(xiàn)在二面角的大小為，∴法向量也在旋轉，∴平面的法向量為。。。方法二：同方法一建系，設。利用二面角大小求出。方法三（等體積法）：本題關鍵是求點到平面的距離。由二面角大小求得到底面的距離為。由即可求得到平面的距離為（設）。KEY：練習2：在四棱錐中，平面，，∥，，為棱的中點。且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值。（方法二簡單）解：方法一：取線段的中點，以為軸，為軸，為軸。易證，，∴平面，∴?！嗉炊娼堑钠矫娼?。又直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，故。∴（也可設豎坐標，然后根據(jù)二面角的大小用向量法求出）。平面的法向量，。方法二：以為軸，為軸，豎起來為軸建系，，，,。，平面的法向量。KEY：練習3（云朵運動問題）：如圖，在多面體中，∥，∥，，，。若二面角的平面角為，求直線與平面所成角的大小。解：。如圖建系，則，，，。KEY：練習4：在三棱柱中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，BC1⊥AC。若二面角C1-AC-B的大小為60°，CC1＝2eq\r(2)，求BC1與平面AA1B1B所成角的正弦值。解：∠BAC＝90°，BC1⊥AC平面。所以平面平面。所以點C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上。即二面角C1-AC-B的平面角，故。以為軸，為軸，豎起來為軸建系。則，，，。平面的法向量。KEY：練習5（略難）：如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，△為等腰三角形，。若二面角的余弦值為，且，求的長度，并求此時與平面所成角的正弦值。（方法二簡單）解：方法一（含參向量法）：以為軸，為軸，豎起來為軸建系，設，，，，，。平面的法向量。二面角的余弦值或。∵，故?。ó敃r，由余弦定理得。事實上時，很小，不滿足）?！唷?。，，平面的法向量。方法二：二面角的平面角為，在△中使用余弦定理，由求根公式得或（舍，）。在△中使用勾股定理得。在△中使用余弦定理得?！?。KEY：；練習6（21年杭州二模第2道大題第2小題，翻折問題，略難）：如圖，在四棱錐中，△是正三角形，，，，，設二面角為，。求直線與平面所成角的正弦值。解：正三角形沿直線翻折過程中，某處恰好使得。取線段中點，線段靠近的三等分點。以為軸，為軸，豎起來為軸建系。因為，，所以平面。故平面，且平面平面。故在底面的射影在線段上，且。在△中使用余弦定理容易求得。故，，，。平面的法向量。KEY：例6（向量平行，略難）：如圖，四棱錐中，平面平面，，為上一點，滿足，。求直線與平面所成角的正弦值。解：方法一（向量法）：過作交于點，因為平面平面，所以平面。設，。故，。在△中可求得。以為軸，為軸，豎起來為軸建系。，，，，，平面的法向量。。方法二（找墻法）：容易證明，。所以平面。過作交于點，容易證明平面，與平面所成角等于與平面所成角。故即所求角。設，則。在直角三角形中由等面積法得。KEY：練習1（略難）：已知三棱臺中，平面平面，，。求直線與平面所成角的正弦值。解：過作交于點，連。不妨設，，，（余弦定理或全等三角形）。由勾股定理逆定理得。由面面垂直性質定理得平面。以為軸，為軸，豎起來為軸。則，，，。平面的法向量，。直線與平面所成角的正弦值為。而。故答案為。KEY：練習2（菱形）：如圖，在三棱柱中，各棱長均相等，且，求與平面所成角的大小。解：方法一（幾何法）：連交于點，連。（菱形），（三線合一）?！嗥矫?。∴為所求角?！?，使用四次勾股定理得：?！??！嗨倪呅问蔷匦?，故為正方形。∴。∴。方法二（暴力計算）：如圖建系，設，由暴力解得?！?，。方法三（向量平行）：∵正四面體，∴在底面的射影為正△的中心，∴。，，。，?！嗥矫娴姆ㄏ蛄?，?！唷EY：（方法一、三較簡單）例7（射影為四心）：如圖，已知在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，。求與平面所成的角的正弦值。解：以為軸，為軸，豎起來為軸建系，因為，所以在底面的射影為△的外心，即線段的中點。所以，，，。平面的法向量。KEY：例8（交線未顯示，改編）：如圖，四棱錐，⊥平面，，，，，設平面與平面的交線為，求直線與平面所成的角的余弦值。解：方法一（幾何法&向量法）：延長、交于點，連接線段，∵為、延長線的交點，故在平面內，也在平面內，由公理3知：點在平面與平面的交線上。同理，點也在平面與平面的交線上?！嘀本€即為平面與平面的交線。以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，易求得交線的方向向量為，平面的法向量為。故：，即所求線面角的余弦值為。方法二（純幾何法）：同方法1作出平面與平面的交線，再使用幾何法。過點作交的延長線于點。易證垂直于面，又由公理2知兩條相交直線在同一個平面內。故、在平面內，∴①，而②，由①②即可得平面?！嗉此蟮木€面角。由△∽△得，由勾股定理