廣西桂林陽(yáng)朔中學(xué)2020屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析《含高考15套》

廣西桂林陽(yáng)朔中學(xué)2020屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.在A48C中，角A8,C的對(duì)邊分別為。，b,c.若A4BC為銳角三角形，且滿(mǎn)足

sinB（14-2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是（）

A.a=2bB.b=2ac.A=2BD.5=2A

2

2,若函數(shù)/（x）==（x>l）有最大值-4,則a的值是

A.1B.-1C.4D.一4

3.已知雙曲線C：1一方=1（。>00>0）的焦距為2,，焦點(diǎn)到雙曲線。的漸近線的距離為乎c,則

雙曲線的漸近線方程為（）

A,y=±y[3xBy=±V^xQy=±xDy=+2x

4.在一組樣本數(shù)據(jù)（玉，x）,（心％），…，（當(dāng),"）（〃-2,再，天不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所

有樣本點(diǎn)a，yj（i=l,2,,〃）都在直線y=-3?上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-3B.0C.-1D.1

5.已知函數(shù)/（x）=sin（2cyx+°）（切>0,9>0）的最小正周期為兀，且則。的最小值

為（）

7171

A.4B.2C.兀D.2兀

6.設(shè)是兩條不同的直線,a,￡是兩個(gè)不同的平面,aua/工力,則是“。，"，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

7.已知S“是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若q+%+%=4,￡=10,則%=（）

1416207

A.9B.9C.9D.3

8.已知等邊三角形ABC中，。是線段AC的中點(diǎn)，DE±AB,垂足為瓦尸是線段6。的中點(diǎn)，則力后

()

3535

A.--BD+-FCB.-BD--FC

8484

1313

-BD--FC--BD+-FC

84D.84

9.已知的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32,則二項(xiàng)展開(kāi)式中工的系數(shù)為（）

A.5B.10C.20D.40

14v

10.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)、，）‘滿(mǎn)足一+—=1,且不等式x+4<m2-3m有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍（）

xy4

A.(-1,4)B.(—l)u(4,

c.(~4，1)D.(f°)D(3,+8)

11.設(shè)函數(shù)〃x）=，若〃1）是的最小值,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（)

X+1,X>1

A.[T2）B.[T。]C.口，2/口收）

2y-x<4

12.若直線y=k（x+l）與不等式組<3x-y?3表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

2x+y>2

A.S]B.I。？c.[々I]D.（-2,2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/（X）=F+1,

13.函數(shù)1-3%,尤若/=則*=

14.已知集合4={一1，1，2,4},8={-1,0,2},則4B=.

1（4>0,。>0）

左支上一點(diǎn)，鳥(niǎo)是雙曲線的右焦點(diǎn)，且雙曲線的一條

15.已知點(diǎn)尸是雙曲線2及

漸近線恰是線段PF2的中垂線，則該雙曲線的離心率是.

16.將函數(shù)f（x）=26sinxcosx+2cos?-1的圖象向右平移°（8>°）個(gè)單位長(zhǎng)度后，其函數(shù)圖象關(guān)于

軸對(duì)稱(chēng)，則夕的最小值為_(kāi).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

”、x\nx/八、

/（%）=-------,（。>0）_

17.（12分）已知函數(shù)"a。當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù),=/（乃在》=1處的切線方程；求函

數(shù)/（x）在,，2句上的最小值；證明：Vxw（0,4w）,都有mex.

18.（12分汨知等比數(shù)列{4}是遞增數(shù)列，其公比為4,前〃項(xiàng)和為S",并且滿(mǎn)足4+4+/=28盧+2

,.1

（\d=a，，.log2_T

是&和%的等差中項(xiàng).求數(shù)列1凡）的通項(xiàng)公式；若4,4=4+4++2,求使

式+”,2，,+1=30成立的正整數(shù)n的值.

19.（12分）為了了解校園噪音情況，學(xué)校環(huán)保協(xié)會(huì)對(duì)校園噪音值（單位：分貝）進(jìn)行了50天的監(jiān)測(cè)，得

到如下統(tǒng)計(jì)表：

噪音值（單位：分貝）[55,57](57,59](59,61](61,63](63,65](65,67]

頻數(shù)14122085

（1）根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表，求這50天校園噪音值的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點(diǎn)值作代表）.

根據(jù)國(guó)家聲環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：“環(huán)境噪音值超過(guò)65分貝，視為重度噪音污染；環(huán)境噪音值不超過(guò)59分貝，

視為輕度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計(jì)表算得的頻率視作概率，回答下列問(wèn)題：求周一到周五的五天中恰

有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.學(xué)校要舉行為期3天的“漢字聽(tīng)寫(xiě)大

賽”校園選拔賽，把這3天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為X,求X的分布列和方差0（X）.

20.（12分）已知+當(dāng)“=1時(shí)，求不等式/。）＜3的解集；設(shè)關(guān)于x的不等式/（x）＜3

有解，求”的取值范圍.

21.（12分）如圖，四邊形ABC。為正方形，E,尸分別為AZZBC的中點(diǎn)，以。尸為折痕把△OR7折

起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFLBF.證明：平面PEFL平面A8FQ；求DP與平面ABF。所成

角的正弦值.

22.（10分）己知函數(shù)/（力=加一產(chǎn)（4€用，/'（X）是"X）的導(dǎo)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

I.當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程；

II.若當(dāng)x2°時(shí)，不等式/（*）,一工一1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、A

2、B

3、A

4、C

5、D

6、A

7、A

8、C

9、B

10、B

11、C

12、B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

14、｛T?

15、石

71

16、3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(l)y=x-l；(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程可得切線方程為y=x-\

I1(1\1

(2)分類(lèi)討論可得：當(dāng)a2—時(shí)，f(x),，而=/(a)=需；當(dāng)—<a<2a,f(x),“j“=f-=----；當(dāng)

ccIe/ae

時(shí)，/(6.而=/(2。)=2山(2。)

(3)構(gòu)造新函數(shù)g(x)=xlnx,結(jié)合⑴的結(jié)論和不等式的特點(diǎn)研究函數(shù)的最值即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

(1)a=l時(shí)，/(x)=xlnx,/,，(A：)-lnx+1

切線斜率左=/'。)=1,切點(diǎn)為(1,0),切線方程為y=x-l

(2)/〈X)=+1,令/"(x)=0=x=，

ae

①當(dāng)aN［時(shí)，/"(x)>0,/(x)在［a,2可上單調(diào)遞增，

:廳增疝,=f(G=lna；

②當(dāng)1<a<2a,即時(shí)，/'(x)在a,-上單調(diào)遞減，在-,2a上單調(diào)遞增，

e2eeee

??.f(x)而“=f7

③當(dāng)aS，時(shí)，/'（耳<0,/（%）在,,2可上單調(diào)遞減,

???/（x）,””=/（2a）=2/〃（2a）

x2

（3）要證的不等式兩邊同乘以元，則等價(jià)于證明工/招>丁-一

ee

令g(x)=xlnx,則由（1）知二/（4而=/

Y21—r

令夕（尤）=/一工，則“3=7；-,當(dāng)0cx<1時(shí)，d（x）>0,9（x）遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，”（力<0,0（x）遞增減；.?.0（x）3=e⑴=-g

所以.加=*（力…,且最值不同時(shí)取到,即X如;>/-工

]2

Vx€（0,+00）,都有/ZLV>------o

e'ex

點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在

歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專(zhuān)題在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看，

對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：⑴考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)

系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極

值），解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

18,(I)a,=2"；(H)n=4.

【解析】

【分析】

（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為4,根據(jù)題意，得2（%+2）=28一4，解得小=8,進(jìn)而聯(lián)立方程組，求得

%=2,q=2,即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）由（I）得a=a,jlog2，=-〃-2”,利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解。

【詳解】

（I）依題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

&+氏+見(jiàn)=28

貝“2⑷+2）=4+%,即2（4+2）=28i，解得的=8.

所以4+4=2。.

%=32,

a聞+《/=204=；’或，

于是有府=&解得:

[<7=2，1

qf

又｛為｝是遞增的，故q=2闖=2,所以4=2”.

(H)=??-log2—=-n-2",

a.

XX2X

Tn=bx+b2++&?=-(12+22++〃2")①

貝U27；,=-(1X22+2X23++〃X2"T)②

②-①，得(,=(2+22++2")-〃2?一2—〃心向，

即數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；=2n+1-2-n-2n+1,

則7；+〃2"M=2"M-2=30,

即2向=32,解得〃=4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”，此類(lèi)題目是數(shù)列問(wèn)題中

的常見(jiàn)題型，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在

“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算

能力等.

19、⑴61.8；⑵⑴焉而;(ii)答案見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表，同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點(diǎn)值作代表，可求這50天校園噪音值的樣本平

均數(shù)；

(2)(i)由題意，“出現(xiàn)重度噪音污染”的概率為“出現(xiàn)輕度噪音污染”的概率為，，

設(shè)事件A為“周一至周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染”,利用獨(dú)

立重復(fù)試驗(yàn)的概率可求求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音

污染的概率.

(ii)由題意，服從二項(xiàng)分布，求X的分布列和方差。(Xb

56x1+58x4+60x12+62x20+64x8+66x5

試題解析：(1)由數(shù)據(jù)可知無(wú)----------------------------------------=61.8o

50

(2)由題意，“出現(xiàn)重度噪音污染”的概率為

“出現(xiàn)輕度噪音污染”的概率為士，

設(shè)事件4為“周一至周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染”，則

(3)由題意X~B貝!lP(X=A:)=C；，4二0,1,2,3.

故分布列為

X0123

729243271

P

1000100010001000

O(X)=/^(l-p)=Q27

20、(1)(-2,1)；(2)一3<a<3.

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將/(力轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式，并由此解出不等式的解集.

(2)先利用絕對(duì)值不等式求得/(x)的最小值，這個(gè)最小值小于3,由此列不等式，解不等式求得。的取

值范圍.

【詳解】

X<—1

解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式尤+l+x<3等價(jià)于〈(「

-(x+l)-x<3

'-l<x<0

或，，

(x+l)-x<3

x>0

或(%+1)+%<3'

解得一2〈尤<一1或一1Wx<0,即0<x<l.

所以不等式/(力+尤<3的解集是(一2,1).

(2)由題意得/(犬,皿<3,

因?yàn)?(九)=k+4+國(guó)之,+4—才=時(shí)，故<3,—3<〃<3,

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式，考查不等式存在性問(wèn)題的求解方法，屬于中檔題.

21、(1)證明見(jiàn)解析；(2)旦.

4

【解析】

【分析】

(D首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即BFVEF,又因?yàn)镻FEF=F,利用線

面垂直的判定定理可以得出平面PE尸，又BFu平面A8FO,利用面面垂直的判定定理證得平面

PEFABFD；

(2)結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面ABFZ)的法向量，設(shè)

UIWUUHr±廠

0P與平面所成角為。，利用線面角的定義，可以求得Sin8=盤(pán)俄=與=也，得到結(jié)果.

|//P|-|Z)P|<34

【詳解】

(1)由已知可得，BE工PF,BE1EF,又PFEF=F,所以平面PEF.

又BFu平面ABFD,所以平面PEF_L平面ABFD；

(2)作PH上EF,垂足為".由(1)得，2”，平面48/70.

以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，”產(chǎn)的方向?yàn)檩S正方向，河|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”一型.

由(1)可得，DE工PE.又DP=2,DE=\,所以PE=由.又PF=1,EF=2,故PE1PF.

可得PH=叵,EH=2.

22

則”(0,0,0),尸0,0,手,0b1,_|,0),02=(⑸

HP=0,0,^-為平面的法向

UUS，UUB，3

HPDP4

設(shè)。P與平面A8FD所成角為。，貝!1sin<9=jwcr一出必

I研|回耳一4

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為旦.

4

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于

常規(guī)題目，在解題的過(guò)程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明

確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果；對(duì)于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量

來(lái)完成，注意相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系即可.

1

22、I.x+y+l=0；ILae—oo—

2

【解析】

【分析】

L利用解析式和導(dǎo)數(shù)分別求解出切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線方程；H.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

g(x)=ac2-e，+x+iwo在［o,+8)上恒成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可驗(yàn)證出g(x)單調(diào)遞減，從而滿(mǎn)

足恒成立的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可知xe［0,ln2a)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，導(dǎo)致不等式不恒成立，

從而可確定。的范圍.

【詳解】

2xzv

L當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x-e9/(x)=2x-e

則/(())=0_浮=_1,./(0)=0_6°=_1

「?切線方程為：y+l=-l(x-O),即冗+y+l=O

IL當(dāng)xNO時(shí)，/(%)<—x—1恒成立，即：依2一產(chǎn)+工+1<0在［0,包)上恒成立

設(shè)g(x)=or2-ex+x+l

則g'(x)=2cix-ex+1,g"(x)=2Q-ex

①當(dāng)時(shí)，2a<1,此時(shí),2e°=l,貝Ug"(x)W0

可知g'(x)在［0,4w)上單調(diào)遞減，則g'(x)<g'(O)=0

Ag(x)在［0,”)上單調(diào)遞減g(x)?g(0)=0

即/(x)?-恒成立.??a〈g滿(mǎn)足題意

②當(dāng)時(shí)，令g"(%)=0,解得：x=\n2a

當(dāng)x?0,ln2a)時(shí)，g"(x)>0,則g'(x)單調(diào)遞增

此時(shí)g〈x)之g<0)=0,則g(尤)在［0,ln2a)上單調(diào)遞增

\g(x)?g(0)0

BP^xe［0,ln2a)時(shí)，/(x)>-x-l

即/(x)?-x—l不恒成立，可知a>；不合題意

綜上所述，ae|^-oo,1

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，處理自變量取值范圍的臨界點(diǎn)恰為恒成立的

式子取等號(hào)的點(diǎn)的恒成立問(wèn)題時(shí)，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變成與零的大小比較，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符

號(hào)恒定即函數(shù)單調(diào)性恒定，確定取值范圍；再說(shuō)明在所得范圍的補(bǔ)集上不恒成立，從而使問(wèn)題得以解

決.2019-2020高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.在銳角AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b,c,若smA=￥，2=3母4四?=2也，貝!|b的值為（）

A.6B.3C.2D.2或3

2.若在/+丁241所圍區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在N+?|W1所圍區(qū)域內(nèi)的概率是（）

_12

A.兀B.71C.2TtD.兀

3.楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡

（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里

出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的

項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為（）

l8l8,7,7

A.2-53B.2-52c.2-53D.2-52

4.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n,x的值分別為3,2,

則輸出v的值為

A.9B.18C.20D.35

5.公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近

圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就

是著名的“徽率”.小華同學(xué)利用劉徽的“割圓術(shù)”思想在半徑為1的圓內(nèi)作正〃邊形求其面積，如圖是其設(shè)計(jì)

的一個(gè)程序框圖，則框圖中應(yīng)填入、輸出〃的值分別為（）

B.S=-xnxsin^-,18

A.S=—xnxsin----,24

2n2n

S=L〃xsin幽＞,545=-xnxsin^-,18

C.2nD.2n

6.直線/:&+y+4=0（2GR）是圓C：x2+/+4x—4y+6=o的一條對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)A（（）,Z）作斜率為

1的直線，〃，則直線機(jī)被圓。所截得的弦長(zhǎng)為（）

V2

A.2B.^2C,V6D.2&

7.已知?！?,函數(shù)/（x）=cos（3X+?。┰冢ǘ?4）上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是（）

42

6白已爭(zhēng)U

A.24B.24c.44D.24

8.已知拋物線％2=4y上有一條長(zhǎng)為8的動(dòng)弦AB,則弦AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為（）

A.2B..3C.4D.5

2

9.在△ABC中，|C4|=1,|C叫=2,NACB=§乃，點(diǎn)”滿(mǎn)足CAI=C3+2CA，則加4.朋8=

A.0B.2C.2百D.4

10.已知函數(shù)f（x）=|ln|l+x||,若存在互不相等的實(shí)數(shù)％,x2,毛，/，滿(mǎn)足

f{\）=/（X,）=f（x3）=f（x4）,則/（fg）=（）

z=i2

A.0B.1C.2D.4

11.若X為實(shí)數(shù)，貝!1“交〈了?2a”是“2夜4土上243''成立的（）

2x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

TT7T

12.已知函數(shù)/（x）=sin（口x+。）（。>0,\（p\<-\其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為i，將函數(shù)

y=/（x）的圖象向左平移轉(zhuǎn)個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)y=/（x）的圖象（）

16

7171

A.關(guān)于點(diǎn)（一7,。）對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)（7,0）對(duì)稱(chēng)

1616

7171

X----X-----

C.關(guān)于直線16對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線4對(duì)稱(chēng)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)函數(shù)/（x）=（.+0）cosx（"0）,若/（—2017）=1,5^/（2017）=.

x+2y>0

"x->,<0

14.若變量x,y滿(mǎn)足約束條件〔"一2〉+23°,則z=2“一），的最小值等于.

r，

15.已知函數(shù)JU）=+isinx則滿(mǎn)足不等式/I"?）+/（2"）<。成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

22

土-匕=1

16.過(guò)雙曲線。2b23>°，">°）的右焦點(diǎn)小作漸近線的垂線，垂足為P,且該直線與）'軸的交點(diǎn)

為。，若歸（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率的取值范圍為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

/(x)=sinf2x+—j+2sin2

.求函數(shù),（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；在

17.（12分）已知函數(shù)

/⑷=3

A48C中，a/,。分別是角A,B,C的對(duì)邊，若'（2）5,b+c=7?BC的面積為26,求邊。的

長(zhǎng).

18.（12分）每年七月份，我國(guó)J地區(qū)有25天左右的降雨時(shí)間，如圖是J地區(qū)S鎮(zhèn)2000-2018年降雨量（單

位：mm）的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問(wèn)題:

假設(shè)每年的降雨天氣相互獨(dú)立，求S鎮(zhèn)未來(lái)三年里至少有兩年的降雨

量不超過(guò)350mm的概率；在S鎮(zhèn)承包了20畝土地種植水果的老李過(guò)去種植的甲品種水果，平均每年的總

利潤(rùn)為31.1萬(wàn)元.而乙品種水果的畝產(chǎn)量m（kg/畝）與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計(jì)表所示，又知乙品

種水果的單位利潤(rùn)為32-0.01xm（元/kg）,請(qǐng)幫助老李排解憂(yōu)愁，他來(lái)年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的水果可以使

利潤(rùn)&（萬(wàn)元）的期望更大？（需說(shuō)明理由）;

降雨量[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)

畝產(chǎn)量500700600400

x=Zcosa

V

19.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的參數(shù)方程為U='sinaa為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),

x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線￡/=2cos',曲線2I3力求G的直角坐標(biāo)方程；

若直線I與曲線分別相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)M,N,求IMNI的最大值.

20.(12分)為了研究家用轎車(chē)在高速公路上的車(chē)速情況，交通部門(mén)對(duì)10()名家用轎車(chē)駕駛員進(jìn)行調(diào)查，

得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車(chē)速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100km/h的有40

人，不超過(guò)100km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100km/h的有20人，不超過(guò)

100km/h的有25人.完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車(chē)速超過(guò)100km/h的

人與性別有關(guān).

平均車(chē)速超過(guò)100km/h人數(shù)平均車(chē)速不超過(guò)100km/h人數(shù)合計(jì)

男性駕駛員人數(shù)

女性駕駛員人數(shù)

合計(jì)

(2)以上述數(shù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車(chē)中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車(chē)中

駕駛員為男性且車(chē)速超過(guò)100km/h的車(chē)輛數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

參考公式與數(shù)據(jù)：

2

P(K>k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K-Mad-bcg

(a+b)(c+d)(a+c)(O+d),其中〃=a+b+c+d.

21.(12分)為了調(diào)查民眾對(duì)國(guó)家實(shí)行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度，現(xiàn)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷隨機(jī)調(diào)查了年齡在20

周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表：

年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80]

頻數(shù)102030201010

支持“新農(nóng)村建設(shè)”311261262

(1)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以50歲為分界點(diǎn)對(duì)“新農(nóng)村

建設(shè)”政策的支持度有差異;

年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計(jì)

支持

不支持

合計(jì)

(2)為了進(jìn)一步推動(dòng)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的實(shí)施，中央電視臺(tái)某節(jié)目對(duì)此進(jìn)行了專(zhuān)題報(bào)道，并在節(jié)目最后

利用隨機(jī)撥號(hào)的形式在全國(guó)范圍內(nèi)選出4名幸運(yùn)觀眾(假設(shè)年齡均在20周歲至80周歲內(nèi))，給予適當(dāng)?shù)?/p>

獎(jiǎng)勵(lì).若以頻率估計(jì)概率，記選出4名幸運(yùn)觀眾中支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)為J，試求隨機(jī)變量J的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)0.1500.10()0.0500.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

2_n(ad-bc)

參考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(0+d),其中〃=a+b+c+d.

22.(10分)如圖所示，直三棱柱ABC--A|B1G的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,F分別是BC,CG

的中點(diǎn).

證明：平面AEFL平面BiBCG；若直線AC與平面AiABBi所成的角為45。，求

三棱錐F-AEC的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、D

2、B

3、A

4、B

5、C

6、C

7、D

8、B

9、A

10^A

11、B

12、B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

5

2

16、Z

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

JT、兀

17、（1）最小正周期7=萬(wàn)，單調(diào)遞減區(qū)間是伙萬(wàn)+7,攵萬(wàn)+二］（左eZ）；（2）。=5.

36

【解析】

試題分析:

JT/rr

（1）解析式可化為/（x）=sinlx--+1,由此可得最小正周期，將2》-二代入正弦函數(shù)的增區(qū)間，

I6/6

求得X的范圍即可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）由/（9）="|可得4=三，根據(jù)A4BC的面積為2g可

得6c=8,然后由余弦定理可得a=5.

試題解析：

，f(x)的最小正周期Tn

2

,,7Tc71~,31,r

由2k,7i~\—<2x---42k/iH----,kQZ,

6

5n

xvkx+—,(k€Zh

6

，函數(shù)IN的單調(diào)遞減區(qū)間是出『［kxikGZ).

(2)由(1)得f(x)sinQx--)-1,

6

/(-)=sin(A-7)+1=j，

:.sin(A~—)=—,

62

…五x5冗

?--<A--<一

666

??A-一-

3

又SMBC=g8csin|=^bc=2百,

**?be89

由余弦定理得b"-c"-2bcco§3(b*c)2-3bc，

又，

???a?=72-3x8=25，

??a=5.

點(diǎn)睛：利用正、余弦定理求解三角形面積問(wèn)題的題型與方法

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各個(gè)邊角后，直接求三角形的面積.

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他各量.

(3)求三角形面積的最值或范圍，這時(shí)一般要先得到面積的表達(dá)式，再通過(guò)基本不等式、三角函數(shù)的最值等

方法求得面積的最值或范圍.

18、(1)之；(2)乙品種楊梅的總利潤(rùn)較大.

【解析】

【分析】

(1)由頻率分布直方圖中矩形面積和為1,計(jì)算第四組的頻率，再求出第三組矩形面積的一半，求和即

可求出對(duì)應(yīng)的概率值，再利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可得結(jié)果；(2)根據(jù)直方圖求隨機(jī)變量的概率，可得

隨機(jī)變量J的分布列，求出乙品種楊梅的總利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，與過(guò)去種植的甲品種楊梅平均每年的總利潤(rùn)

為28萬(wàn)元比較得出結(jié)論和建議.

【詳解】

(1)頻率分布直方圖中第四組的頻率為1-l(X)x(().002+().(X)4+0.003)=0.1

該地區(qū)在梅雨季節(jié)的降雨量超過(guò)350〃〃〃的概率為50x0.003+0.1=0.25

所以該地區(qū)未來(lái)三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過(guò)350相〃?的概率為

xfi-11+C^f-l=—+—=—(或0.15625.)

I4J\4j646432

（2）據(jù)題意，總利潤(rùn)為20〃（32-0.01〃）元，其中“=500,700,600,400.

所以隨機(jī)變量J（萬(wàn)元）的分布列如下表:

1273531.222.4

P0.20.40.30.1

故總利潤(rùn)&（萬(wàn)元）的期望

魅=27x0.2+35x0.4+31.2x0.3+22.4x0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31（萬(wàn)元）

因?yàn)?1>28,所以老李應(yīng)該種植乙品種楊梅可使總利潤(rùn)J（萬(wàn)元）的期望更大.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題.直方圖的主要性

質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為1；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每

個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得平均值；（4）直方圖左右兩邊面積相等處橫

坐標(biāo)表示中位數(shù).

22

19、（I）x+y--x-^y=0;（IDG

22

【解析】

【分析】

（I）將極坐標(biāo)方程化為P2=gpcose+#oin6,然后再結(jié)合轉(zhuǎn)化公式求解即可.（II）由于點(diǎn)",N

同在直線。=a上，故可根據(jù)M,N兩點(diǎn)的極徑差的絕對(duì)值來(lái)求出然后再求出其最大值.

【詳解】

（I）極坐標(biāo)方程0=cos（6-可化為Q=gcos6+】，sine

所以p1=；/?cos9+^/?sine，

將/7cosg=x,/?sine=y,p2=/+丁代入上式可得/+/,

所以曲線G的直角坐標(biāo)方程為V+V一gx—#y=o.

（II）不妨設(shè)OWa〈萬(wàn)，點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為（4a）,（22，。），

6=a

由Vc八，得到Q]=2cosa.

p=2cose

0=a

由,得至監(jiān)=cos

p-cos仁)

所以=\P\~P-\=2cosa-cosa——--cosa------sincr=V3s山a--

因?yàn)?<a<7i,

TTTT2^^

所以一；<~r~，

333

所以當(dāng)a—￡=即&=竺時(shí)，|MN|取得最大值JL

326

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化，合理利用轉(zhuǎn)化公式求解是解題的關(guān)鍵.對(duì)于極坐標(biāo)系內(nèi)的長(zhǎng)度問(wèn)題,

根據(jù)題意可利用極徑差的絕對(duì)值求解，此時(shí)要求兩點(diǎn)應(yīng)為同一條直線與一條曲線或兩條曲線的交點(diǎn)，注意

轉(zhuǎn)化的合理性.

20、(I)表格見(jiàn)解析，有關(guān)(II)|

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，求出長(zhǎng)2=8.13>7.879,從有99.5%的把握認(rèn)為平均車(chē)速超過(guò)100km/h

與性別有關(guān).

(H)記這3輛車(chē)中駕駛員為男性且車(chē)速超過(guò)lOOkm/h的車(chē)輛數(shù)為X,推導(dǎo)出X服從二項(xiàng)分布,即B

由此能求出在隨機(jī)抽取的10輛車(chē)中平均有4輛車(chē)中駕駛員為男性且車(chē)速超過(guò)lOOkm/h.

【詳解】

(I)

平均車(chē)速超過(guò)1QOhn/h人數(shù)平均車(chē)速不超過(guò)1QOkm/h人數(shù)合計(jì)

男性駕駛員人數(shù)401555

女性駕駛員人數(shù)202545

合計(jì)6040100

因?yàn)槎?100x(40x25空2。)二.429>7.879,

60x40x55x45

所以有99.5%的把握認(rèn)為平均車(chē)速超過(guò)100km/h與性別有關(guān)；

(U)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車(chē)中隨機(jī)抽取1輛，駕駛員為男性且車(chē)

402

速超過(guò)100km!h的車(chē)輛的概率為—

X可取值是0,1,2,3,X3,y，有:

03

p(x=o)=c；聯(lián)J唱，g)=喧閭

(230

P(X=2)=C；51(1

X的分布列為

X0123

2754368

P

U5?25725125

ic27154c36°86

E1r\X)=0x---1-1x---1-2x---F3x=—.

,)1251251251255

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率的求法及應(yīng)用，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)