九年級中考2025年安徽中考數(shù)學真題匯編 專題16 圓

專題16圓課標要求考點考向理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并掌握點與圓的位置關(guān)系。探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補。了解直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念。會計算圓的弧長、扇形的面積。了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。垂徑定理及推論考向一利用垂徑定理求值考向二垂徑定理實際應用直線與圓的位置關(guān)系考向一切線的判定考向二三角形內(nèi)切圓圓綜合考向一圓與三角形綜合考向二圓與四邊形綜合與圓有關(guān)的計算考向一弧長計算考向二扇形面積考點一垂徑定理及推論?考向一利用垂徑定理求值1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為（

）A．4 B． C．5 D．2．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點，為拱門最高點，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，弦的長為，點在上，，．所在的平面內(nèi)有一點，若，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在上 B．點在內(nèi) C．點在外 D．無法確定4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點E，，則弦的長為．?考向二垂徑定理實際應用1．（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點，連接，作的垂直平分線交于點，交于點，測出，則圓形工件的半徑為（

）A． B． C． D．考點二直線與圓的位置關(guān)系?考向一切線的判定1．（2024·西藏·中考真題）如圖，是的直徑，C，D是上兩點，連接，，平分，，交延長線于點E．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長．2．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將沿過點的直線翻折并展開，點的對應點落在邊上，折痕為，點在邊上，經(jīng)過點、．若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，內(nèi)接于，直徑交于點，過點作射線，使得，延長交過點的切線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若．①求的長；②求的半徑．4．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，為的直徑，點在上，連接，點在的延長線上，．(1)求證：與相切；(2)若，求的長．5．（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以為直徑的經(jīng)過上的點，與交于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．6．（2024·山東東營·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點在上，點是的中點，，垂足為點D，的延長線交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長．7．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，是直徑，是弦，且，垂足為，，，在的延長線上取一點，連接，使．

(1)求證：是的切線；(2)求的長．8．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點為的中點，連接，平分交于點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線．(2)求證：．(3)若，，求的長．?考向二三角形內(nèi)切圓1．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在中，，，是邊上一點，且，點是的內(nèi)心，的延長線交于點，是上一動點，連接、，則的最小值為．

二、解答題2．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，點I為的內(nèi)心，連接并延長交O于點D，E是上任意一點，連接，，，．(1)若，求的度數(shù)；(2)找出圖中所有與相等的線段，并證明；(3)若，，求的周長．考點三圓綜合?考向一圓與三角形綜合1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，是的直徑，點C是上的一點，點P是延長線上的一點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，求證：；(3)若于D，，，求的長．2．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點在外，延長，相交于點，過點作于點，交于點，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為6，點為線段的中點，，求的長．3．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點D為上一點，，延長至E，使得．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．4．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，內(nèi)接于，D是上一點，．E是外一點，，連接．(1)若，求的長；(2)求證：是的切線．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．?考向二圓與四邊形綜合1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，若四邊形OABC為菱形，則的度數(shù)是．2．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長．考點四與圓有關(guān)的計算?考向一弧長計算1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形中，，半徑，是上一點，連接，是上一點，且，連接．若，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點E，連接，，，則的長（結(jié)果保留）．3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為12，則其側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)為°．4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路．如圖、與是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心O，所對的圓心角都是，點A，C，O在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬的長是米．（取3.14，計算結(jié)果精確到0.1）5．（2024·吉林長春·中考真題）一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現(xiàn)將該三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應點落在直線上，則點A經(jīng)過的路徑長至少為．（結(jié)果保留）6．（2024·遼寧·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，在的延長線上，．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，若，，求的長．?考向二扇形面積1．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在菱形中，，點O是對角線的中點，以點O為圓心，長為半徑作圓心角為的扇形，點D在扇形內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．無法確定2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，是上的點，半徑，，，連接，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·山東東營·中考真題）習近平總書記強調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂．東營市某學校組織開展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動，小慧同學制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角．現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（

）．

A． B． C． D．4．（2024·山東泰安·中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．5．（2024·山西·中考真題）如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）．通過測量得到扇形的圓心角為，，點，分別為，的中點，則花窗的面積為．6．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形中，，．以點為圓心，長為半徑作弧交于點，再以為直徑作半圓，與交于點，則圖中陰影部分的面積為．7．（2024·山東德州·中考真題）如圖，圓與都經(jīng)過A，B兩點，點在上，點C是上的一點，連接并延長交于點P，連接．(1)求證：(2)若，．①求的半徑；②求圖中陰影部分的面積．8．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，以為直徑的交于點，垂足為．的兩條弦相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求扇形的面積．1．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，是以O為圓心的半圓的直徑，A是延長線上一點，過A點的直線交半圓于B，E兩點，B在A，E之間，若，，則的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2024·安徽·模擬預測）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若圖中陰影部分的面積為，空白部分的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·模擬預測）如圖，是的直徑，，點在上，，是弧的中點，是直徑上的一動點，的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖，在直角三角形中，，．分別是、上兩點，以為直徑作圓與相切于點，且，，若，，則的長度為（）A． B． C．5 D．5．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在中，已知是的半徑，于點C，，的直徑為10，則（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2024·安徽合肥·三模）如圖，P為線段上一動點（點P不與點A，B重合），將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，交點為Q．若，點H是線段的中點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．2二、填空題7．（2022·黑龍江雞西·一模）如圖，是的弦，半徑于點C，為直徑，，，則線段的長為．8．（2024·安徽馬鞍山·三模）如圖，是的直徑，C，D為上兩點，且平分，連接，，若，則的度數(shù)為．9．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，和相交于點E．若，，且，則的長為．10．（2024·安徽合肥·三模）如圖，是的直徑，是的弦，連接，若，則的度數(shù)為．三、解答題11．（23-24九年級上·北京海淀·階段練習）如圖，為的直徑，交于點，為上一點，延長交于點，延長至，使，連接．

(1)求證：為的切線；(2)若且，求的半徑．12．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，是的直徑，D為上一點，C為上一點，且，延長交于E，連．(1)求證：；(2)若，，求的長．13．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形中，平分．點O在上，以點O為圓心，為半徑，作與相切于點B，延長線交于點E，交于點F，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．14．（2024·安徽合肥·三模）如圖，的兩條弦，垂足為，點在上，平分，連接，分別交于于．(1)求證：；(2)連接，若的半徑為2，求的長．15．（2024·安徽·模擬預測）如圖，中，，為圓的弦，，分別交圓于，兩點，，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求圓的半徑．16．（2024·安徽六安·模擬預測）已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，是四邊形的一個外角，平分．(1)如圖1，，求的度數(shù)；(2)如圖2，過點D作的切線交的延長線于點F，，，求的長．17．（2024·安徽·三模）如圖，中，，以為直徑的經(jīng)過點C，交的角平分線于點D，是的切線，交延長線于點E．(1)求證：；(2)延長交的延長線于點F，，求的長．18．（2024·安徽·模擬預測）如圖，為的直徑，D為延長線上一點，過點D作的切線，切點為C，過點B作交的延長線于點E，連接．(1)求證：平分；(2)連接，交于點F，若，求的半徑．

專題16圓課標要求考點考向理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索并掌握點與圓的位置關(guān)系。探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補。了解直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念。會計算圓的弧長、扇形的面積。了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。垂徑定理及推論考向一利用垂徑定理求值考向二垂徑定理實際應用直線與圓的位置關(guān)系考向一切線的判定考向二三角形內(nèi)切圓圓綜合考向一圓與三角形綜合考向二圓與四邊形綜合與圓有關(guān)的計算考向一弧長計算考向二扇形面積考點一垂徑定理及推論?考向一利用垂徑定理求值1．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，弦的長為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．2．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，為的中點，為拱門最高點，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是垂徑定理的實際應用。勾股定理的應用，如圖，連接，先證明，，再進一步的利用勾股定理計算即可；【詳解】解：如圖，連接，∵為的中點，為拱門最高點，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，，∴，，設拱門所在圓的半徑為，∴，而，∴，∴，解得：，∴拱門所在圓的半徑為；故選B3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，弦的長為，點在上，，．所在的平面內(nèi)有一點，若，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在上 B．點在內(nèi) C．點在外 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出的半徑，即可得到答案．【詳解】解：如圖，令與的交點為，為半徑，為弦，且，，，在中，，，，，，即的半徑為4，，點在外，故選：C．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點E，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得，利用圓周角定理求得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵半徑，∴，∴，，∵，∴，∴，故選：B．5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點E，，則弦的長為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，設的半徑為，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，，設的半徑為，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．?考向二垂徑定理實際應用1．（2024·四川涼山·中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點，連接，作的垂直平分線交于點，交于點，測出，則圓形工件的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識．由垂徑定理，可得出的長；設圓心為O，連接，在中，可用半徑表示出的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴直線經(jīng)過圓心，設圓心為，連接．

中，，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：；故輪子的半徑為，故選：C．考點二直線與圓的位置關(guān)系?考向一切線的判定1．（2024·西藏·中考真題）如圖，是的直徑，C，D是上兩點，連接，，平分，，交延長線于點E．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)圓周角定理得出，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)，得出，解直角三角形得出，證明，解直角三角形得出，根據(jù)勾股定理得出，解直角三角形得出，根據(jù)勾股定理得出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：∵的半徑為5，∴，∵，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形的相關(guān)計算，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．2．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將沿過點的直線翻折并展開，點的對應點落在邊上，折痕為，點在邊上，經(jīng)過點、．若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】與相切，理由見解析【分析】連接，由等腰三角形的性質(zhì)得，再由折疊的性質(zhì)得，進而證明，則，因此，然后由切線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：與相切．證明：連接．∵，∴．∵圖形沿過點A的直線翻折，點C的對應點落在邊上，∴．∴．∴．∴由，得，即．∴與相切．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握切線的判定和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，內(nèi)接于，直徑交于點，過點作射線，使得，延長交過點的切線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若．①求的長；②求的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)①；②．【分析】（）連接，則，可得，由可得，進而由等腰三角形的性質(zhì)可得，得到，即可求證；（）①證明得到，據(jù)此即可求解；②由①可得，進而得，，利用勾股定理得，再證明，得到，即可得，求出即可求解．【詳解】（1）證明：連接，則，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：①∵是的切線，∴，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴的半徑為．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定，余角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，為的直徑，點在上，連接，點在的延長線上，．(1)求證：與相切；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）證明，即可證明是的切線；（2）連接，先計算，再計算，后得到解答即可．本題考查了切線的證明，圓周角定理，三角形函數(shù)的應用，熟練掌握切線的判定定理，三角函數(shù)的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：所對的弧是同弧，，，即，為直徑，，，，，，與相切．（2）解：連接所對的弧是同弧，，為直徑，，在中，，，，．5．（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以為直徑的經(jīng)過上的點，與交于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，可得，得到，即得，即可求證；（）設的半徑為，則，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，進而得到，最后利用弧長公式即可求解．【詳解】（1）證明：連接，則，，，，，．是的半徑，是的切線；（2）解：設的半徑為，則，∵，∴，在中，，，解得，，，，，的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)及弧長公式，求出是解題的關(guān)鍵．6．（2024·山東東營·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點在上，點是的中點，，垂足為點D，的延長線交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合．熟練掌握圓周角定理及推論，圓切線的判定．含的直角三角形性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）連接，由，，推出，得到，由，得到，即得；（2）由直徑性質(zhì)可得，推出，根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)得到，根據(jù)，得到．【詳解】（1）證明：∵連接，則，∴，∵點是的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．7．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，是直徑，是弦，且，垂足為，，，在的延長線上取一點，連接，使．

(1)求證：是的切線；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，得到，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，

，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：是直徑，是弦，且，，，，，，，，，，，．8．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點為的中點，連接，平分交于點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線．(2)求證：．(3)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）如圖，連接，證明，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論；（2）證明，，結(jié)合，，再進一步可得結(jié)論；（3）如圖，連接，證明，再證明，可得，結(jié)合，從而可得答案；【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵點為的中點，∴，∵，∴，且OD是的半徑，∴DF是的切線；（2）證明：∵點為的中點，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，而，∴，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∴，而，∴，∴，經(jīng)檢驗，符合題意；【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.?考向二三角形內(nèi)切圓1．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在中，，，是邊上一點，且，點是的內(nèi)心，的延長線交于點，是上一動點，連接、，則的最小值為．

【答案】【分析】在取點F，使，連接，，過點F作于H，利用三角形內(nèi)心的定義可得出，利用證明，得出，則，當C、P、F三點共線時，最小，最小值為，利用含的直角三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出，即可．【詳解】解：在取點F，使，連接，，過點F作于H，

∵I是的內(nèi)心，∴平分，∴，又，∴，∴，∴，當C、P、F三點共線時，最小，最小值為，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、解答題2．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，點I為的內(nèi)心，連接并延長交O于點D，E是上任意一點，連接，，，．(1)若，求的度數(shù)；(2)找出圖中所有與相等的線段，并證明；(3)若，，求的周長．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)30【分析】（1）利用圓周角定理得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求，然后利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可；（2）連接，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，，，然后利用圓周角定理得到，，利用三角形的外角性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊可得結(jié)論；（3）過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和和切線長定理得到，，，利用解直角三角形求得，，進而可求解．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，又，∴，∵四邊形是內(nèi)接四邊形，∴，∴；（2）解：，證明：連接，∵點I為的內(nèi)心，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）解：過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，∵點I為的內(nèi)心，即為的內(nèi)切圓的圓心．∴Q、F、P分別為該內(nèi)切圓與三邊的切點，∴，，，∵，，，∴，∵，，，∴，∴的周長為．【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．考點三圓綜合?考向一圓與三角形綜合1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，是的直徑，點C是上的一點，點P是延長線上的一點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，求證：；(3)若于D，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）首先由直徑得到，然后利用等邊對等角得到，等量代換得到，進而證明即可；（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形兩銳角互余得到，進而求解即可；（3）設，證明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）證明：∵，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∴，∴；（3）設，在中，，∴∴∵∴∴∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得，（舍去），故．【點睛】此題考查了直徑的性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．2．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點在外，延長，相交于點，過點作于點，交于點，．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為6，點為線段的中點，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對等角和對頂角相等可推出，，結(jié)合和三角形內(nèi)角和，從而推出，得證；（2）由（1）可知，可證，推出，再由勾股定理可得，利用點為線段的中點，可得，從而得到，從而得到，即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，又，，，，是的切線；（2）解：如（1）圖，，又，，，，的半徑為6，，，，即，又點為線段的中點，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點D為上一點，，延長至E，使得．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，易得，圓周角定理得到，進而得到，證明，推出，進而得到，即可得證；（2）等角的三角函數(shù)相等，得到，證明，得到，進行求解即可．【詳解】（1）解：連接，則：，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，由（1）知：，∴，由（1）知：，又∵，∴，∴，∴，，∴，即：，解得：（舍去）或，∴【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．4．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，內(nèi)接于，D是上一點，．E是外一點，，連接．(1)若，求的長；(2)求證：是的切線．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)可得，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得答案；（2）連接，首先證明，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理求出，然后計算出即可．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，由（1）得：，∴，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，切線的判定等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，，經(jīng)過B，C兩點，與斜邊交于點E，連接并延長交于點M，交于點D，過點E作，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，延長，交于點，連接根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，得，，由可得，從而可證明是的切線；（2）由得，即，證明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根據(jù)求出，進一步求出【詳解】（1）證明：連接，延長，交于點，連接如圖，∵∴是等腰直角三角形，∴∵是的直徑，∴∴∴∴∵∴即∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，∵∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在等腰直角三角形中，,∴，解得，，∴，∴在中，∴，又，∴∴∴∴【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)鍵．?考向二圓與四邊形綜合1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，若四邊形OABC為菱形，則的度數(shù)是．【答案】60°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠AOC＝∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＋∠ABC＝180°，計算即可．【詳解】解：∵四邊形OABC為菱形，∴∠AOC＝∠ABC，由圓周角定理得：∠ADC＝∠AOC，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案為：60°．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．2．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．（

）(2)如圖1，已知四邊形內(nèi)接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點E，F(xiàn)，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及的長．【答案】(1)①×；②√；③√(2)①外接型單圓；②見解析(3)，，【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形和切線長定理可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內(nèi)切圓的四邊形的對邊之和相等，結(jié)合題中定義，根據(jù)對角不互補，對邊之和也不相等的平行四邊形無外接圓，也無內(nèi)切圓，進而可判斷①；根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)正方形的性質(zhì)可判斷③；（2）①根據(jù)已知結(jié)合題中定義可得結(jié)論；②根據(jù)角平分線的定義和圓周角定理證明即可證得結(jié)論；（3）①連接、、、、，根據(jù)四邊形是“完美型雙圓”四邊形，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理可推導出，，，進而可得，，然后利用圓周角定理可推導出，即可證得結(jié)論；②連接、、、，根據(jù)已知條件證明，進而證明得到，再利用勾股定理求得，，同理可證求解即可．【詳解】（1）解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內(nèi)切圓的四邊形的對邊之和相等，所以①當平行四邊形的對角不互補，對邊之和也不相等時，該平行四邊形無外接圓，也無內(nèi)切圓，∴該平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯誤；②∵內(nèi)角不等于的菱形的對角不互補，∴該菱形無外接圓，∵菱形的四條邊都相等，∴該菱形的對邊之和相等，∴該菱形有內(nèi)切圓，∴內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形，故②正確；③由題意，外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，則，，，，∴為等腰直角三角形，∴，即；故③正確，故答案為：①×；②√；③√；（2）解：①若四邊形中有內(nèi)切圓，則，這與矛盾，∴四邊形無內(nèi)切圓，又∵該四邊形有外接圓，∴該四邊形是“外接型單圓”四邊形，故答案為：外接型單圓；②∵的平分線交于點E，的平分線交于點F，∴，，∴，，∴，∴，即和均為半圓，∴是的直徑．（3）①證明：如圖，連接、、、、，∵是四邊形的內(nèi)切圓，∴，，，，∴，在四邊形中，，同理可證，，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，∴該四邊形有外接圓，則，∴，則，∵，，∴，∴，∴；②如圖，連接、、、，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與分別相切于點E，F(xiàn)，G，H，∴∴，，，，，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，則，在中，由得，解得；在中，，∴，同理可證，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圓周角定理、內(nèi)切圓的定義與性質(zhì)、外接圓的定義與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、勾股定理、角平分線的判定等知識，理解題中定義，熟練掌握這些知識和靈活運用性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．另外還要求學生具備扎實的數(shù)學基礎和邏輯思維能力，備考時，重視四邊形知識的學習，提高解題技巧和速度，以應對中考挑戰(zhàn)．考點四與圓有關(guān)的計算?考向一弧長計算1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在扇形中，，半徑，是上一點，連接，是上一點，且，連接．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接，根據(jù)，，易證是等腰三角形，再根據(jù)，推出是等邊三角形，得到，即可求出，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：連接，，，，是等腰三角形，，，是等邊三角形，，，，，，故選：B．2．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點E，連接，，，則的長（結(jié)果保留）．【答案】/【分析】本題考查弧長的計算，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定是等邊三角形，得到．由平行四邊形的性質(zhì)推出，判定是等邊三角形，得到，由弧長公式即可求出的長．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，由題意得：，是等邊三角形，，，．故答案為：．3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為12，則其側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)為°．【答案】【分析】本題考查圓錐的側(cè)面積，以及扇形面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面積公式，以及扇形面積公式．設側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)為度，根據(jù)“圓錐的側(cè)面積扇形面積”建立等式求解，即可解題．【詳解】解：設側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)為度，側(cè)面展開扇形的面積為：，解得，故答案為：．4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路．如圖、與是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心O，所對的圓心角都是，點A，C，O在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬的長是米．（取3.14，計算結(jié)果精確到0.1）【答案】【分析】本題考查了弧長公式，解一元一次方程等知識，利用弧長公式并結(jié)合題意可得出，進而得出，然后解方程并按要求取近似數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，∵公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，∴，∴，即解得，故答案為：．5．（2024·吉林長春·中考真題）一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現(xiàn)將該三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應點落在直線上，則點A經(jīng)過的路徑長至少為．（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,即，再根據(jù)點A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心，以為半徑的圓弧的長即可解答．【詳解】解：∵將該三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應點落在直線上，∴,即，∴點A經(jīng)過的路徑長至少為．故答案為：．6．（2024·遼寧·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，在的延長線上，．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，則，故，由，得到，而，則，由，得，因此，故，則是的切線；（2）連接，可得，則，故，由，得，那么長為．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：連接，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴長為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧長公式等，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．?考向二扇形面積1．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在菱形中，，點O是對角線的中點，以點O為圓心，長為半徑作圓心角為的扇形，點D在扇形內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】連接，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到．證明，推出，利用即可求解．【詳解】解：如圖，連接，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到．，，在菱形中，點O是對角線的中點，，，，，，，，，，．，，．故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積，作出輔助線，構(gòu)造三角形全等，利用是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，是上的點，半徑，，，連接，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定義，扇形的面積，連接，由圓周角定理可得，進而得，再根據(jù)扇形的面積計算公式計算即可求解，掌握圓周角定理及扇形的面積計算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，則，∵，∴，∴，故選：．3．（2024·山東東營·中考真題）習近平總書記強調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂．東營市某學校組織開展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動，小慧同學制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角．現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】將山水畫所在紙面的面積轉(zhuǎn)化為大小兩個扇形的面積之差即可解決問題．本題主要考查了扇形面積的計算，熟知扇形面積的計算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題知，，，所以山水畫所在紙面的面積為：．故選：C．4．（2024·山東泰安·中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面積公式是關(guān)鍵．如圖：連接，作于點B，得三角形是等邊三角形，求出，再根據(jù)，即可解答．【詳解】解：如圖：連接，作于點B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．5．（2024·山西·中考真題）如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）．通過測量得到扇形的圓心角為，，點，分別為，的中點，則花窗的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了扇形面積的計算，熟知扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．用扇形的面積減去的面積即可解決問題．【詳解】解：由題知，（），∵點，分別是，的中點，∴（），∴（），∴花窗的面積為故答案為：．6．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形中，，．以點為圓心，長為半徑作弧交于點，再以為直徑作半圓，與交于點，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是學會利用分割法求陰影部分的面積．設弓形，連接，，由題意知，即為等邊三角形，，即可得出陰影部分面積為，代入數(shù)值即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵以點為圓心，長為半徑作弧交于點，，，∴，∴以為直徑作半圓時，圓心為點，設弓形，連接，，即，如圖：∴為等邊三角形，∴，故陰影部分面積為，代入數(shù)值可得，故答案為．7．（2024·山東德州·中考真題）如圖，圓與都經(jīng)過A，B兩點，點在上，點C是上的一點，連接并延長交于點P，連接．(1)求證：(2)若，．①求的半徑；②求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)①2②【分析】對于（1），連接，在中，先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得，然后在中，根據(jù)圓周角定理得，可得答案；對于（2）①，由結(jié)合（1），可得，再連接，作，可得，，進而得出，然后在中，根據(jù)得出答案；對于②，先說明是等邊三角形，即可求出其面積，在中，求出弓形的面積，然后根據(jù)得出答案．【詳解】（1）如圖所示．連接，在中，，在中，，∴；（2）①，∵，∴．連接，過點作，交于點D，∴，，∴．在中，，即，∴，所以的半徑是2；②∵，∴是等邊三角形，∴．∵，∴垂直平分，垂直平分，∴點三點共線．在中，，在中，．在中，上標點，．在中，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面積，等邊三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，以為直徑的交于點，垂足為．的兩條弦相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求扇形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用等邊對等角，圓周角定理等可得出，由垂直的定義得出，等量代換得出，即，然后根據(jù)切線的判定即可得證；（2）先利用含的直角三角形的性質(zhì)求出，同時求出，進而求出，利用等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等可求出，，證明是等邊三角形，得出，，進而求出，在中，利用余弦定義可求出，最后利用扇形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，又，，∴，∵，∴，∴，即，又是的半徑；∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，，又，∴，∵，∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，，∴，在中，，∴扇形的面積為．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應用，三角形外角的性質(zhì)，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．1．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，是以O為圓心的半圓的直徑，A是延長線上一點，過A點的直線交半圓于B，E兩點，B在A，E之間，若，，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等邊對等角、三角形的外角的性質(zhì)等知識點，連接，可推出，，根據(jù)，得，進而得，即可求解；【詳解】解：連接，如圖所示：

∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B2．（2024·安徽·模擬預測）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若圖中陰影部分的面積為，空白部分的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，由是等邊三角形，得，，過作于點，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，設，如圖，過作于點，∴，，，∴由勾股定理得：，∴，即，則，∴，故選：．3．（2024·安徽·模擬預測）如圖，是的直徑，，點在上，，是弧的中點，是直徑上的一動點，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，則點就是所求作的點，求出，進而求出的長，的長度即的最小值．此時最小，且等于的長．連接，，，利用垂徑定理，得出，過點作于點，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，則點就是所求作的點．此時最小，且等于的長．連接，，，，，是弧的中點，，，由軸對稱可知，，，，，，過點作于點，，，在中，，，的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱——最短路線問題，垂徑定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應用等，確定點的位置是本題的關(guān)鍵．4．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖，在直角三角形中，，．分別是、上兩點，以為直徑作圓與相切于點，且，，若，，則的長度為（）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，推導出是的直徑是解題的關(guān)鍵．連接，由可得為的直徑，即，即可證明，得到，求出，利用勾股定理即可得到的長度．【詳解】解:連接，，，為的直徑，與相切于點D，，，，，，，，，，，故選A．5．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在中，已知是的半徑，于點C，，的直徑為10，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵于點C，，∴．∵的直徑為10，∴，∴．故選A．6．（2024·安徽合肥·三模）如圖，P為線段上一動點（點P不與點A，B重合），將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，交點為Q．若，點H是線段的中點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形手拉手問題、三角形中位線及四點共圓最小值問題，作且，先證，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角度問題得到A、Q、B、E四點共圓，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得到答案；【詳解】解：∵線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，，∴，在與中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，作且，取的中點O，連接，，，，∵，，∴，，∵點H、O是中點，∴，，∵，∴A、Q、B、E四點共圓，∵，∴A、Q、B、E是在以點O為圓心為半徑的圓上，當O、H、Q在同一直線時，，當O、H、Q不在同一直線時，則最小值為，故選：B．二、填空題7．（2022·黑龍江雞西·一模）如圖，是的弦，半徑于點C，為直徑，，，則線段的長為．【答案】【分析】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)、垂徑定理的應用，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，先根據(jù)勾股定理列式計算，得出半徑，根據(jù)分別是，的中點，得出，即可利用勾股定理作答．【詳解】解：連接，如圖

∵是的弦，半徑于點，∴在中，解得∵分別是，的中點∴是的中位線∴∵為直徑∴在，故答案為：．8．（2024·安徽馬鞍山·三模）如圖，是的直徑，C，D為上兩點，且平分，連接，，若，則的度數(shù)為．【答案】/29度【分析】本題考查了圓周角定理和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理，，，，可得，又平分，可得，由此求得．【詳解】解：，，為的直徑，，，平分，，，．故答案為：．9．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，和相交于點E．若，，且，則的長為．【答案】3【分析】此題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，過點B作于點F．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，則．得到．則．由即可得到的長．【詳解】解：如圖，過點B作于點F．∵，，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，∴．故答案為：10．（2024·安徽合肥·三模）如圖，是的直徑，是的弦，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】/25度【分析】本題主要考查了同弧或等弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”可得，再根據(jù)“直徑所對的圓周角為直角”可得，然后由求解即可．【詳解】解：如下圖，連接，∵，，∴，∵是的直徑，∴，∴．故答案為：．三、解答題11．（23-24九年級上·北京海淀·階段練習）如圖，為的直徑，交于點，為上一點，延長交于點，延長至，使，連接．

(1)求證：為的切線；(2)若且，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟記切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)等邊對等角結(jié)合對頂角相等即可推出結(jié)論；（2）設的半徑，則，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵是半徑，∴為的切線；（2）解：由（1）得，設的半徑，則，∴，，在中，由勾股定理得，，，解得，或舍去，∴的半徑為．12．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，是的直徑，D為上一點，C為上一點，且，延長交于E，連．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握圓周角的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角定理得到，則，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，從而得到結(jié)論；（2）連接OC、OE，利用（1）的結(jié)論和圓周