金融數(shù)量分析第10章 期權(quán)定價(jià)模型與數(shù)值方法

第10章期權(quán)定價(jià)模型與

數(shù)值方法期權(quán)*期權(quán)就是在什么時(shí)候或在什么條件下，你有什么權(quán)力。教課書(shū)上的期權(quán)似乎離我們比較遙遠(yuǎn)，或僅限于金融市場(chǎng)。但如果仔細(xì)想想，車(chē)險(xiǎn)或疾病保險(xiǎn)也應(yīng)是一種期權(quán)，因?yàn)槠跈?quán)本質(zhì)是一種選擇權(quán)。例如，商業(yè)醫(yī)療保險(xiǎn)，客戶每年繳納一定的保費(fèi)，可獲得在生病時(shí)獲取一定補(bǔ)償?shù)臋?quán)利；公司期權(quán)，若工作業(yè)績(jī)達(dá)到某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（付出），則得到公司多少的期權(quán)。就如面臨選擇需要權(quán)衡一樣，各種期權(quán)也需要衡量（定價(jià)）。10.1

期權(quán)基礎(chǔ)概念

1．期權(quán)的定義期權(quán)分為買(mǎi)入期權(quán)（calloption）和賣(mài)出期權(quán)（putoption）。

買(mǎi)入期權(quán):又稱(chēng)看漲期權(quán)（或敲入期權(quán)），它是賦予期權(quán)持有者在給定時(shí)間（或在此時(shí)間之前任一時(shí)刻）按規(guī)定價(jià)格買(mǎi)入一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。

賣(mài)出期權(quán):又稱(chēng)看跌期權(quán)（或敲出期權(quán)），它是賦予期權(quán)持有者在給定時(shí)間（或在此時(shí)間之前任一時(shí)刻）按規(guī)定價(jià)格賣(mài)出一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。10.1.1

期權(quán)及其有關(guān)概念2．期權(quán)的要素期權(quán)的四個(gè)要素：行權(quán)價(jià)（exerciseprice或strikingprice）、到期日（maturingdata）、標(biāo)的資產(chǎn)（underlyingasset）、期權(quán)費(fèi)（optionpremium）。對(duì)于期權(quán)的購(gòu)買(mǎi)者（持有者）而言，付出期權(quán)費(fèi)后，只有權(quán)利沒(méi)有義務(wù)；對(duì)期權(quán)的出售者而言，接受期權(quán)費(fèi)后，只有義務(wù)沒(méi)有權(quán)利。3．期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值買(mǎi)入期權(quán)在執(zhí)行日的價(jià)值CT為CT=max(ST

－E,0)式中:E表示行權(quán)價(jià)；ST表示標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)。賣(mài)出期權(quán)在執(zhí)行日的價(jià)值PT為PT=max(E－ST,0)根據(jù)期權(quán)的行權(quán)價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)之間的關(guān)系，期權(quán)可分為價(jià)內(nèi)期權(quán)（inthemoney）(S>E)、平價(jià)期權(quán)（atthemoney）(S=E)和價(jià)外期權(quán)（outofthemoney）(S<E)。10.1.2期權(quán)及其有關(guān)概念買(mǎi)入期權(quán)、賣(mài)出期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)三者之間存在一種價(jià)格依賴(lài)關(guān)系，這種依賴(lài)關(guān)系就稱(chēng)為買(mǎi)入期權(quán)、賣(mài)出期權(quán)平價(jià)（callandputparity）。以歐式股票期權(quán)為例，考察一下這種平價(jià)關(guān)系。設(shè)S為股票市價(jià)，C為買(mǎi)入期權(quán)價(jià)格，P為賣(mài)出期權(quán)價(jià)格，E為行權(quán)價(jià)，ST為到期日股票價(jià)格，t為距期權(quán)日時(shí)間，

r為利率。

假設(shè)投資者現(xiàn)在以?xún)r(jià)格C出售一單位買(mǎi)入期權(quán)，以?xún)r(jià)格P購(gòu)入一單位賣(mài)出期權(quán)，以S價(jià)格購(gòu)入一單位期權(quán)的標(biāo)的股票，以利率r借入一筆借期為t的現(xiàn)金，金額為

Ee-rt，以上的權(quán)利義務(wù)在到期日全部結(jié)清，不考慮交易成本和稅收，投資者的現(xiàn)金和在到期日的現(xiàn)金流量如下表所列。10.1.3期權(quán)防范風(fēng)險(xiǎn)的應(yīng)用期權(quán)既然是一種權(quán)利，那么就有一種時(shí)間價(jià)值和內(nèi)涵價(jià)值?！坝袡?quán)不用，過(guò)期作廢”，是指權(quán)利的時(shí)間價(jià)值。有效期時(shí)間越長(zhǎng)，權(quán)利的時(shí)間價(jià)值越大?！罢l(shuí)的官大，就聽(tīng)誰(shuí)的”是指權(quán)利的內(nèi)涵價(jià)值。“官位”(標(biāo)的物價(jià)格)越高，權(quán)利的內(nèi)涵價(jià)值越大。從“官位”看，期權(quán)的內(nèi)涵價(jià)值與其標(biāo)的物價(jià)格和價(jià)值是相關(guān)的，但為非線性相關(guān)；而時(shí)間價(jià)值既與有效期時(shí)間的長(zhǎng)短有關(guān)，也與在有效期內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)狀況和獲利時(shí)機(jī)的把握有關(guān)。期權(quán)的定價(jià)要用到隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)微分方程等相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，因此非常困難。10.2期權(quán)定價(jià)方法的理論基礎(chǔ)期權(quán)定價(jià)的主要研究工具是隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)分支——隨機(jī)微分方程。隨機(jī)微積分起源于馬爾可夫過(guò)程結(jié)構(gòu)的研究。伊藤在探討馬爾可夫過(guò)程的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)，認(rèn)為布朗運(yùn)動(dòng)(又稱(chēng)維納過(guò)程)是最基本的擴(kuò)散過(guò)程，能夠用它來(lái)構(gòu)造出一般的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。布萊克和斯科爾斯考察一類(lèi)特殊的擴(kuò)散過(guò)程：dS=μSdt+σSdZ式中:S表示股票價(jià)格；股票預(yù)期收益率μ及波動(dòng)率σ均為常數(shù)；t代表時(shí)間;Z為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。在無(wú)交易成本、不分股利的假設(shè)下,得出歐式看漲期權(quán)價(jià)格C應(yīng)滿足如下微分方程(r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率)：利用偏微分方程的理論求出方程的解析解，即著名的布萊克斯科爾斯公式。10.2.1期權(quán)防范風(fēng)險(xiǎn)的應(yīng)用股票價(jià)格的變化行為常用著名的布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述。布朗運(yùn)動(dòng)是馬爾可夫過(guò)程的一種特殊形式。布朗運(yùn)動(dòng)最早起源于物理學(xué)，物理學(xué)中把某個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)是受到大量小分子碰撞的結(jié)果稱(chēng)為布朗運(yùn)動(dòng)。股票價(jià)格的變化也是受著很多種因素的影響，所以說(shuō)，股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的軌跡類(lèi)似于布朗運(yùn)動(dòng)。定義1

隨機(jī)過(guò)程{Z（t）,t≥0}如果滿足：①隨機(jī)過(guò)程{Z（t）,t≥0}具有正態(tài)增量；②隨機(jī)過(guò)程{Z（t）,t≥0}具有獨(dú)立增量；③

{Z（t）,t≥0}是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。則稱(chēng){Z（t）,t≥0}為布朗運(yùn)動(dòng)，也稱(chēng)維納過(guò)程。性質(zhì)2

定義2

設(shè)Z（t）,t≥0為布朗運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)dx(t)=adt+bdZ為一般化的維納過(guò)程。稱(chēng)a為漂移系數(shù)（或漂移率），b為過(guò)程x(t)的平均波動(dòng)率。性質(zhì)1假設(shè)一個(gè)小的時(shí)間間隔為Δt,ΔZ為在Δt時(shí)間內(nèi)維納過(guò)程Z的變化，則布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)有：10.2.2

伊藤引理定義3

如果過(guò)程{x(t),0≤t≤T}可以表示為

dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dZ式中：{Z(t),t≥0}為布朗運(yùn)動(dòng)，稱(chēng){x(t),0≤t≤T}為伊藤（ITO）過(guò)程（日本數(shù)學(xué)家Ito于1951年發(fā)現(xiàn)）。定理1(伊藤引理)

設(shè){x(t),0≤t≤T}是由dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dZ{S(t),0≤t≤T}給出的伊藤過(guò)程，G(x,t)為定義在[0,∞]×R上的二次連續(xù)可微函數(shù)，則G(x,t)仍為伊藤過(guò)程，并且

定義4

如果隨機(jī)過(guò)程{Z(t),t≥0}為布朗運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)dS(t)=μSdt+σSdZ為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。定理2

股票價(jià)格{S(t),t≥0}服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。10.2.3

Black-Scholes微分方程推導(dǎo)BlackScholes微分方程用到的基本假設(shè)有：①股票價(jià)格S服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)）：dS(t)=μSd(t)+σSdZ,平均收益μ和平均波動(dòng)率σ為常數(shù)；②允許使用全部所得賣(mài)空衍生證券；③沒(méi)有交易費(fèi)或稅收，所有證券都是高度可分的；④在衍生證券的有效期內(nèi)沒(méi)有紅利支付；⑤不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)；⑥證券交易是連續(xù)的；⑦無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)，且對(duì)所有到期日都相同。10.2.4

Black-Scholes方程求解BlackScholes微分方程的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。在風(fēng)險(xiǎn)中性事件中，以下兩個(gè)結(jié)論稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則:

任何可交易的基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，即恒有μ=r;

任何一種衍生工具當(dāng)前t時(shí)刻的價(jià)值均等于未來(lái)T時(shí)刻其價(jià)值的期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式，歐式買(mǎi)權(quán)或賣(mài)權(quán)解的表達(dá)式為式中：BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型將股票期權(quán)價(jià)格的主要因素分為五個(gè)：St：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格。X：執(zhí)行價(jià)格。r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

σ：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率。T-t：距離到期時(shí)間。MATLAB中計(jì)算期權(quán)價(jià)格的函數(shù)為blsprice函數(shù)，語(yǔ)法為\[Call,Put\]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)輸入?yún)?shù)：Price：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格；Strike：執(zhí)行價(jià)格；Rate：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；Time：距離到期時(shí)間；Volatility：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率；Yield：（可選）資產(chǎn)連續(xù)貼現(xiàn)利率，默認(rèn)為0。輸出參數(shù)：Call:Calloption價(jià)格；Put：Putoption價(jià)格。10.2.5

影響期權(quán)價(jià)格的因素分析期權(quán)價(jià)格受到當(dāng)前價(jià)格S、執(zhí)行價(jià)格E、期權(quán)的期限T、股票價(jià)格方差率σ2及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r五個(gè)因素的影響。下面以歐式看漲期權(quán)為例來(lái)分析。期權(quán)對(duì)這五個(gè)因素的敏感程度稱(chēng)為期權(quán)的Greeks，其計(jì)算公式與計(jì)算函數(shù)如下。1.德?tīng)査―elta）δ期權(quán)δ是考察期權(quán)價(jià)格隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的關(guān)系，從數(shù)學(xué)角度看，δ是期權(quán)價(jià)格相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù),有2.西塔（Theta）θθ表示期權(quán)價(jià)格對(duì)于到期日的敏感度，稱(chēng)為期權(quán)的時(shí)間損耗。3.維伽（Vega）νν表示方差率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。4.珞（Rho）ρρ為期權(quán)的價(jià)值隨利率波動(dòng)的敏感度，利率增加，使期權(quán)價(jià)值變大。

5.伽瑪（Gamma）ΓΓ表示δ與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的關(guān)系。10.3

B－S公式隱含波動(dòng)率計(jì)算BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式，歐式期權(quán)理論價(jià)格的表達(dá)式：式中：隱含波動(dòng)率是將市場(chǎng)上的期權(quán)交易價(jià)格代入權(quán)證理論價(jià)格BlackScholes模型反推出來(lái)的波動(dòng)率數(shù)值。由于期權(quán)定價(jià)BS模型給出了期權(quán)價(jià)格與五個(gè)基本參數(shù)之間的定量關(guān)系，只要將其中前4個(gè)基本參數(shù)及期權(quán)的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格作為已知量代入定價(jià)公式，就可以從中解出惟一的未知量，其大小就是隱含波動(dòng)率。10.3.1

隱含波動(dòng)率概念10.3.2

隱含波動(dòng)率計(jì)算方法隱含波動(dòng)率是把權(quán)證的價(jià)格代入BS模型中反算出來(lái)的，它反映了投資者對(duì)未來(lái)標(biāo)的證券波動(dòng)率的預(yù)期。BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式中已知St(標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格)、X(執(zhí)行價(jià)格)、r(無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率)、T－t(距離到期時(shí)間)、看漲期權(quán)ct或者看跌期權(quán)pt,根據(jù)B－S公式計(jì)算出與其相應(yīng)的隱含波動(dòng)率σyin。數(shù)學(xué)模型為式中:求解方程fc(σyin)=0,fp

(σyin)=0的根。10.3.3

隱含波動(dòng)率計(jì)算程序利用fsolve函數(shù)計(jì)算隱含波動(dòng)率，fsolve是MATLAB最主要內(nèi)置的求解方程組的函數(shù)，具體fsolve的使用方法可以參看相關(guān)函數(shù)說(shuō)明。例1假設(shè)歐式股票期權(quán)，一年后，執(zhí)行價(jià)格95元，現(xiàn)價(jià)為100元，無(wú)股利支付，股價(jià)年化波動(dòng)率為50%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，計(jì)算期權(quán)價(jià)格。計(jì)算結(jié)果如下：假設(shè)目前其期權(quán)交易價(jià)格為Call=15.00元，Put=7.00元，分別計(jì)算其相對(duì)應(yīng)的隱含波動(dòng)率。步驟1：建立方程函數(shù)?？礉q期權(quán)隱含波動(dòng)率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其語(yǔ)法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)輸入?yún)?shù)：Volatility：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率；Price：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格；Strike：執(zhí)行價(jià)格；Rate：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；Time：距離到期時(shí)間；Callprice：看漲期權(quán)價(jià)格。輸出函數(shù)：f:fc(σyin)的函數(shù)值。步驟2：求解方程函數(shù)。求解方程函數(shù)的M文件為ImpliedVolatility.m,其語(yǔ)法如下：\[Vc,Vp,Cfval,Pfval\]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)輸入?yún)?shù)：Price：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格；Strike：執(zhí)行價(jià)格；Rate：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；Time：距離到期時(shí)間；Callprice：看漲期權(quán)價(jià)格；Putprice：看跌期權(quán)價(jià)格。輸出函數(shù)：Vc：看漲期權(quán)的隱含波動(dòng)率；Vp：看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率；Cfval：fc(σyin)的函數(shù)值，若為0，則隱含波動(dòng)率計(jì)算正確；Pfval：fp(σyin)的函數(shù)值，若為0，則隱含波動(dòng)率計(jì)算正確。步驟3：函數(shù)求解。M文件TestImpliedVolatility.M代碼如下：10.4期權(quán)二叉樹(shù)模型二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。二叉樹(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)在于其比較簡(jiǎn)單直觀，不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以應(yīng)用。10.4.1

二叉樹(shù)模型的基本理論二叉樹(shù)模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔Δt，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔Δt內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：從開(kāi)始的S上升到原來(lái)的u倍，即到達(dá)Su；下降到原來(lái)的d倍，即Sd。其中，u>1，d<1。價(jià)格上升的概率假設(shè)為p，下降的概率假設(shè)為1－p。相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同，分別為fu和fd，如圖1所示。圖1

Δt

時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)10.4.2

二叉樹(shù)模型的計(jì)算在MATLAB的finance工具箱中提供二叉樹(shù)模型計(jì)算期權(quán)價(jià)格的函數(shù)binprice，其語(yǔ)法如下：\[AssetPrice,OptionValue\]=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)輸入?yún)?shù)：Price：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格；Strike：執(zhí)行價(jià)格；Rate：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；Time：距離到期時(shí)間；Increment:每個(gè)階段的時(shí)間間隔，例如1年分12階二叉樹(shù)，每階段時(shí)長(zhǎng)1個(gè)月；Volatility：波動(dòng)率；Flag:期權(quán)種類(lèi)標(biāo)記，flag=1看漲期權(quán)，flag=0看跌期權(quán)；DividendRate：（可選）分紅率；Dividend：（可選）分紅金額向量；ExDiv：（可選）額外份額金額。輸出參數(shù)：AssetPrice：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格；OptionValue：期權(quán)價(jià)格。10.5期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅方法10.5.1

二叉樹(shù)模型的基本理論以歐式期權(quán)f(t,S)（即期權(quán)價(jià)值只與兩個(gè)狀態(tài)變量：資產(chǎn)價(jià)格S和時(shí)間t有關(guān)，且利率為常數(shù)）為例，以說(shuō)明蒙特卡羅模擬的基本方法：①?gòu)某跏紩r(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格開(kāi)始，直到到期T，為S取在風(fēng)險(xiǎn)中性事件跨越整個(gè)有效期的一條隨機(jī)路徑，這就給出了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的一個(gè)實(shí)現(xiàn)；②計(jì)算出這條路徑下期權(quán)的回報(bào)；③重復(fù)①、②，得到許多樣本結(jié)果，即風(fēng)險(xiǎn)中性事件中的期權(quán)回報(bào)的值；④計(jì)算這些樣本回報(bào)的均值，得到風(fēng)險(xiǎn)中性事件中預(yù)期的期權(quán)回報(bào)值；⑤用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得到這個(gè)期權(quán)的估計(jì)價(jià)值。10.5.2模擬技術(shù)實(shí)現(xiàn)根據(jù)BlackScholes模型，在風(fēng)險(xiǎn)中性事件中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變量遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，我們用模擬的方法得到下列方程的解：

式中：μ為股票價(jià)格的預(yù)期收益率（在風(fēng)險(xiǎn)中性事件中，為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r）、σ為股票價(jià)格的波動(dòng)率，μ、σ為常數(shù)，Zt為一標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。常見(jiàn)的有三種模擬方法：①離散形式為②通過(guò)歐拉逼近有③原方程的解析解為10.5.3模擬技術(shù)改進(jìn)蒙特卡羅模擬精度與模擬次數(shù)密切相關(guān)，模擬次數(shù)越高其精度越高,但是次數(shù)增加又會(huì)增加計(jì)算量。實(shí)踐表明,減少模擬方差可以提高穩(wěn)定性，減少模擬次數(shù)。有很多種方法可以減小方差，如：對(duì)偶變量技術(shù)、控制變量技術(shù)、分層抽樣、矩匹配、條件蒙特卡羅模擬等，但最簡(jiǎn)單并且應(yīng)用最為廣泛的是對(duì)偶變量技術(shù)和控制變量技術(shù)。1.方差減少技術(shù)主要有5種方法，根據(jù)其應(yīng)用特點(diǎn)可分為通用性技術(shù)與特殊性技術(shù)兩類(lèi)。通用性方差減少技術(shù)有3種。(1)對(duì)偶變量技術(shù)

；(2)控制變量技術(shù)(3)分層抽樣技術(shù)；(4)重要性抽樣技術(shù)(5)條件蒙特卡羅模擬2.其他一些改進(jìn)技術(shù)(1)偽蒙特卡羅模擬