2024高中數(shù)學第四章圓與方程4.2直線圓的位置關(guān)系第1課時直線與圓的位置關(guān)系講義含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE13第1課時直線與圓的位置關(guān)系[核心必知]1．預(yù)習教材，問題導(dǎo)入依據(jù)以下提綱，預(yù)習教材P126～P128，回答下列問題．(1)怎樣用幾何法推斷直線與圓的位置關(guān)系？提示：利用圓心到直線的距離d與圓半徑的大小關(guān)系推斷它們之間的位置關(guān)系，若d>r，直線與圓相離；若d＝r，直線與圓相切；若d<r，直線與圓相交．(2)如何用直線和圓的方程推斷它們之間的位置關(guān)系？提示：①假如直線l和圓C的方程分別為：Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2.可以用圓心C(a，b)到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))與圓C的半徑r的大小關(guān)系來推斷直線與圓的位置關(guān)系；②把直線與圓的交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的對應(yīng)方程組成的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0))的解的個數(shù)問題，這樣當方程組無解時，直線與圓相離；方程組有一組解時，直線與圓相切；方程組有兩組解時，直線與圓相交．(3)過平面一點P可作幾條圓的切線？提示：當點P在圓內(nèi)時，切線不存在；當點P在圓上時，只能作一條圓的切線；當點P在圓外時，可作兩條圓的切線．2．歸納總結(jié)，核心必記直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及推斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)兩個一個零個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0[問題思索]用“代數(shù)法”與“幾何法”推斷直線與圓的位置關(guān)系各有什么特點？提示：“幾何法”與“代數(shù)法”推斷直線與圓的位置關(guān)系，是從不同的方面，不同的思路來推斷的．“幾何法”更多地側(cè)重于“形”，更多地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；_“代數(shù)法”則側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標”與“方程”．[課前反思]通過以上預(yù)習，必需駕馭的幾個學問點．(1)直線與圓有哪些位置關(guān)系？怎樣推斷？；(2)怎樣解決直線與圓相切及弦長問題？.“大漠孤煙直，長河落日圓”是唐朝詩人王維的詩句，它描述了黃昏日落時分塞外特有的景象．假如我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，視察下面三幅太陽落山的圖片．[思索1]圖片中，地平線與太陽的位置關(guān)系怎樣？提示：(1)相離；(2)相切；(3)相交．[思索2]結(jié)合初中平面幾何中學過的直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓有幾種位置關(guān)系？提示：3種，分別是相交、相切、相離．[思索3]如何推斷直線與圓的位置關(guān)系？提示：可利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系．講一講1．已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當m為何值時，圓與直線：(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點．[嘗試解答]法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.則Δ＝4m(3m＋4)．當Δ>0，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當Δ＝0，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當Δ<0，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).當d<2，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當d＝2，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當d>2，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．推斷直線與圓位置關(guān)系的三種方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系推斷．(2)代數(shù)法：依據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來推斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過推斷點與圓的位置關(guān)系推斷，但有肯定的局限性，必需是過定點的直線系．練一練1．已知圓C:x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則()A．l與C相交B．l與C相切C．l與C相離D．以上三個選項均有可能解析：選A將點P(3,0)的坐標代入圓的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴點P(3,0)在圓內(nèi)．∴過點P的直線l必與圓C相交.講一講2．過點A(4，－3)作圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．[思路點撥]用待定系數(shù)法求解，但千萬不要忽視斜率不存在的狀況．[嘗試解答]∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，∴點A在圓外．(1)若所求直線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(15,8).所以切線方程為y＋3＝－eq\f(15,8)(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若切線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離也為1，這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x＝4，綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.圓的切線的求法(1)點在圓上時求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可得切線方程．假如斜率為零或不存在，則由圖形可干脆得切線方程x＝x0或y＝y(tǒng)0.(2)點在圓外時①幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．②代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．特殊留意：切線的斜率不存在的狀況，不要漏解．練一練2．求過點(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程．解：由題意知切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴eq\f(|－k－7|,\r(k2＋1))＝5.解得k＝eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).∴所求切線方程為y＋7＝eq\f(4,3)(x－1)或y＋7＝－eq\f(3,4)·(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.講一講3．直線l經(jīng)過點P(5,5)并且與圓C:x2＋y2＝25相交截得的弦長為4eq\r(5)，求l的方程．(鏈接教材P127—例2)[思路點撥]設(shè)出點斜式方程，利用r、弦心距及弦長的一半構(gòu)成三角形可求．[嘗試解答]據(jù)題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y－5＝k(x－5)，與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，法一：聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－5＝kx－5，,x2＋y2＝25.))消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0.又x1＋x2＝－eq\f(10k1－k,k2＋1)，x1x2＝eq\f(25kk－2,k2＋1)，由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2,k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1))))＝4eq\r(5).兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝2符合題意．故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.法二：如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半．在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×4eq\r(5)＝2eq\r(5)，則|OH|＝eq\r(|OA|2－|AH|2)＝eq\r(5).∴eq\f(|51－k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝eq\f(1,2)或k＝2.∴直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.求直線與圓相交的弦長的兩種方法(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|AB|))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．練一練3．求直線l：3x＋y－6＝0被圓C:x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．解：法一：由直線l與圓C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))消去y，得x2－3x＋2＝0.設(shè)兩交點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋[－3x1＋6－－3x2＋6]2)＝eq\r(1＋32x1－x22)＝eq\r(10[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(10×32－4×2)＝eq\r(10).∴弦AB的長為eq\r(10).法二：圓C:x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5.其圓心坐標為C(0,1)，半徑r＝eq\r(5)，點C(0,1)到直線l的距離為d＝eq\f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),2)，所以半弦長eq\f(|AB|,2)＝eq\r(r2－d2)＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2)＝eq\f(\r(10),2).所以弦長|AB|＝eq\r(10).————————————[課堂歸納·感悟提升]————————————1．本節(jié)課的重點是理解直線和圓的三種位置關(guān)系，會用圓心到直線的距離來推斷直線與圓的位置關(guān)系，能解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問題．難點是解決直線與圓的位置關(guān)系．2．本節(jié)課要重點駕馭的規(guī)律方法(1)直線與圓位置關(guān)系的推斷方法，見講1.(2)求圓的切線的方法，見講2.(3)求直線與圓相交時弦長的方法，見講3.3．本節(jié)課的易錯點是在解決直線與圓位置關(guān)系問題時易漏掉斜率不存在的狀況，如講2、講3.課下實力提升(二十四)[學業(yè)水平達標練]題組1直線與圓的位置關(guān)系1．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是()A．過圓心B．相切C．相離D．相交但不過圓心解析：選D圓心(1，－1)到直線3x＋4y＋12＝0的距離d＝eq\f(|3×1＋4×－1＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(11,5)，0<d<r，所以相交但不過圓心．2．(2024·洛陽高一檢測)直線l:y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y＝0的關(guān)系是()A．相離B．相切或相交C．相交D．相切解析：選Cl過定點A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴點A在圓上，∵直線x＝1過點A且為圓的切線，又l斜率存在，∴l(xiāng)與圓肯定相交，故選C.3．求實數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿意：(1)相交；(2)相切；(3)相離．解：圓的方程化為標準式為(x－3)2＋y2＝4，故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圓的半徑r＝2.(1)若相交，則d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m∈(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)．(2)若相切，則d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2).(3)若相離，則d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以m∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))．題組2圓的切線問題4．若直線y＝x＋a與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為()A.eq\r(2)B．±eq\r(2)C．1D．±1解析：選B由題意得eq\f(|a|,\r(2))＝1，所以a＝±eq\r(2)，故選B.5．圓心為(3,0)且與直線x＋eq\r(2)y＝0相切的圓的方程為()A．(x－eq\r(3))2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝3C．(x－eq\r(3))2＋y2＝3D．(x－3)2＋y2＝9解析：選B由題意知所求圓的半徑r＝eq\f(|3＋\r(2)×0|,\r(1＋2))＝eq\r(3)，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝3，故選B.6．(2015·重慶高考)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________．解析：設(shè)切線斜率為k，則由已知得：k·kOP＝－1.∴k＝－eq\f(1,2).∴切線方程為x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝07．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，過點P(2，－1)作圓C的切線，切點為A，B.求直線PA，PB的方程．解：切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.圓心到直線的距離等于eq\r(2)，即eq\f(|－k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，故所求的切線方程為y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.題組3圓的弦長問題8．設(shè)A、B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：選D直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0,0)，則|AB|＝2.9．過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為eq\r(2)，求直線l的方程．解：由題意，直線與圓要相交，斜率必需存在，設(shè)為k.設(shè)直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)．又圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|2k－1－2|,\r(1＋k2))＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2).解得k＝1或eq\f(17,7).所以直線l的方程為y＋2＝x＋1或y＋2＝eq\f(17,7)(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.[實力提升綜合練]1．已知a，b∈R，a2＋b2≠0，則直線l:ax＋by＝0與圓x2＋y2＋ax＋by＝0的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．不能確定解析：選B聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋ax＋by＝0，,ax＋by＝0，))化簡得x2＋y2＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))即直線l與圓只有一個公共點(0,0)，因此它們相切，故選B.2．(2015·安徽高考)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12解析：選D因為直線3x＋4y＝b與圓心為(1,1)，半徑為1的圓相切，所以eq\f(|3＋4－b|,\r(32＋42))＝1?b＝2或12，故選D.3．(2014·浙江高考)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8解析：選B圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，則圓心(－1,1)到直線x＋y＋2＝0的距離為eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由22＋(eq\r(2))2＝2－a，得a＝－4.4．若點P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0D．x－y－3＝0解析：選D圓心是點C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直線AB過點P，所以直線AB的方程為x－y－3＝0.5．過點P(－1,6)且與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直線方程是____________________．解析：當所求直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的方程為y－6＝k(x＋1)，則d＝eq\f(|2－6－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此時，直線方程為：4y－3x－27＝0；當所求直線的斜率不存在時，所求直線的方程為x＝－1，驗證可知，符合題意．答案：4y－3x－27＝0或x＝－16．直線l:y＝x＋b與曲線C:y＝eq\r(1－x2)有兩個公共點，則b的取值范圍是________．解析：如圖所示，y＝eq\r(1－x2)是一個以原點為圓心，長度1為半徑的半圓，y＝x＋b是一個斜率為1的直線，要使兩圖有兩個交點，連接A(－1,0)和B(0,1)，直線l必在AB以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線l的b值，當直線l與AB重合時，b＝1；當直線l與半圓相切時，b＝eq\r(2).所以b的取值范圍是[1，eq\r(2))．答案：[1，eq\r(2))7．(1)圓C與直線2x＋y－5＝0切于點(2,1)，且與直線2x＋y＋15＝0也相切，求圓C的方程；(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．解：(1)設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵兩切線2x＋y－5＝0與2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋12))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10，①eq\f(