2025版高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第3節(jié)直線平面平行的判定及其性質(zhì)教學案含解析理

PAGE1-第三節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)[考綱傳真]1.以立體幾何的定義、公理和定理為動身點，相識和理解空間中線面平行的有關性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡潔命題．1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥beq\o([常用結論])線、面平行的性質(zhì)(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(5)假如兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面相互平行．(6)假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．(7)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(8)垂直于同一平面的兩條直線平行．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行． ()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有多數(shù)條． ()(3)若一個平面內(nèi)有多數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行． ()(4)若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)下列命題中，正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿意a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．若直線a，b和平面α滿意a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直線a，b和平面α滿意a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD[依據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.]3．設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件B[當m∥β時，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥β?/α∥β；當α∥β時，α內(nèi)任始終線與β平行，因為m?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系是________．平行[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.其中是真命題的是________．(填上序號)②[對于①，m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；對于③，m∥β或m?β，故③錯誤；對于④，α∥β或α與β相交，故④錯誤．]直線與平面平行的判定與性質(zhì)?考法1直線與平面平行的判定【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.[證明](1)連接EC，因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BCAE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O為AC的中點．又因為F是PC的中點，所以FO∥AP，因為FO?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，因為F，H分別是PC，CD的中點，所以FH∥PD，因為FH?平面PAD，PD?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因為O是BE的中點，H是CD的中點，所以OH∥AD，因為OH?平面PAD，AD?平面PAD.所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.又因為GH?平面OHF，所以GH∥平面PAD.?考法2直線與平面平行的性質(zhì)【例2】如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的隨意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.證明：FG∥平面AA1B1B.[證明]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[規(guī)律方法]判定線面平行的4種方法1利用線面平行的定義無公共點；2利用線面平行的判定定理a?α，b?α，a∥b?a∥α；3利用面面平行的性質(zhì)定理α∥β，a?α?a∥β；4利用面面平行的性質(zhì)α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β.,留意：構造平行的常見形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關系證明兩直線平行等.如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點．(1)求證：MA∥平面BDE.(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關系，并證明你的結論．[解](1)證明：如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.因為O，M分別是AC，EF的中點，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，連接DM，MB.又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)因為GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC，因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1GEB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.[拓展探究]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.[證明]如圖所示，連接A1C交AC1于點M，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點，連接MD，因為D為BC的中點，所以A1B∥DM.因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1.BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因為DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D.所以平面A1BD1∥平面AC1D.[規(guī)律方法]判定平面與平面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題可用)；(4)利用平面平行的傳遞性，兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題可用)；留意：謹記空間平行關系之間的轉化在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB，G，H分別是EC和FB的中點．求證：GH∥平面ABC.[證明]取FC的中點I，連接GI，HI，則有GI∥EF，HI∥BC.又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.平行關系中的存在性問題【例4】如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形．(1)證明：平面AB1C∥平面DA1C1；(2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1？若存在，確定點P的位置；若不存在，請說明理由．[解](1)證明：由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性質(zhì)知，AB1∥DC1(圖略)，∵AB1?平面DA1C1，DC1?平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，同理可證B1C∥平面DA1C1，又AB1∩B1C＝B1，∴平面AB1C∥平面DA1C1.(2)存在這樣的點P，使BP∥平面DA1C1.∵A1B1ABDC，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形．∴A1D∥B1C.在C1C的延長線上取點P，使C1C＝CP，連接BP(圖略)，∵B1BC1C，∴B1BCP，∴四邊形BB1CP為平行四邊形，則BP∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C1.[規(guī)律方法]解決存在性問題的一般方法解決存在性問題一般先假設求解的結果存在，從這個結果動身，找尋使這個結論成立的充分條件，若找到了使結論成立的充分條件，則存在；若找不到使結論成立的充分條件出現(xiàn)沖突，則不存在.而對于探求點的問題，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．[解]法一：假設在棱AB上存在點E，使得DE∥平面AB1C1，如圖，取BB1的中點F，連接DF，EF，ED，則DF∥B1C1，又DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF?平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵點F是BB1的中點，∴點E是AB的中點．即當點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1.法二：存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.證明如下：如圖，取BB1的中點F，連接DF，則DF∥B1C1.∵DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.∵AB的中點為E，連接EF，ED，則EF∥AB1.∵EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵DF∩EF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.1．(2024·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A[A項，作如圖①所示的協(xié)助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項，作如圖③所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項，作如圖④所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.]2．(2024·全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P-ABCD的體積．[解](1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因為側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.設BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x.如圖，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因為△PCD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq