2024年北京中考數(shù)學(xué)試卷試題真題解讀及答案詳解

年中考真題完全解讀（北京卷）本套“2024年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試·數(shù)學(xué)試卷”與往年本市或其他相近地區(qū)的中考數(shù)學(xué)試卷相比，其題量與結(jié)構(gòu)上仍保持了相對穩(wěn)定，共分為兩部分、三大題、28個小題，滿分為100分，總作答時間120分鐘。整卷內(nèi)容涵蓋代數(shù)、幾何、函數(shù)與圖象、統(tǒng)計與概率等初中數(shù)學(xué)核心板塊，既強調(diào)對基礎(chǔ)知識與基本技能的考查，也注重學(xué)生在真實情境或綜合任務(wù)中運用所學(xué)知識解決問題的能力。這在很大程度上體現(xiàn)了最新課程標(biāo)準(zhǔn)對“核心素養(yǎng)”及數(shù)學(xué)應(yīng)用性的要求。第一部分為選擇題，共8題，每題2分，合計16分；第二部分為非選擇題，包括填空題與解答題，總計84分。試卷形式沿用了傳統(tǒng)的“選擇+填空+解答”三部分模式，但在知識覆蓋、情境設(shè)置與思維深度的把握上更加精細精準(zhǔn)。此外，命題要求考生在答題卡上分別使用2B鉛筆和黑色字跡簽字筆作答，并在規(guī)定位置填寫姓名、準(zhǔn)考證號等信息，規(guī)范性與安全性兼具。本卷設(shè)置了8道選擇題，覆蓋幾何圖形的對稱性與性質(zhì)（如“既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形”的判定）、角度運算（如利用垂直概念和平角概念計算角的度數(shù)）、數(shù)軸與實數(shù)大小比較、概率初步（如用樹狀圖分析兩次抽球）、以及科學(xué)記數(shù)法等主干內(nèi)容。這些題目偏重概念理解與基礎(chǔ)技能，難度相對適中，適合絕大多數(shù)學(xué)生在較短時間內(nèi)完成。共有8道填空題，合計16分，圍繞二次根式的有意義范圍、因式分解、分式方程求解、函數(shù)圖象與性質(zhì)（如反比例函數(shù)y=本卷的解答題分兩大板塊：一是若干小題（每題5分或6分），二是較大綜合題（每題7分或6分）。涉及的知識面廣：?直線與函數(shù)綜合（如一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分段討論等）；?幾何綜合（如三角形中位線定理、平行四邊形判定與性質(zhì)、正方形與特殊線段、旋轉(zhuǎn)與對稱等）；?統(tǒng)計與概率（含平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等概念的應(yīng)用）；?實際應(yīng)用（如對排放量、體積、水杯設(shè)計、算力指標(biāo)等生活或社會熱點問題進行數(shù)學(xué)分析）。難度梯度明顯：前幾道以基礎(chǔ)及中檔題目為主，最后的綜合題或探究題則要求學(xué)生具備較強的幾何推理與代數(shù)演算相結(jié)合的能力，也需要一定的創(chuàng)新思維和綜合運用水平。試卷遵循新課標(biāo)對基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和探索性的要求，基礎(chǔ)知識如二次根式、方程、不等式、三角函數(shù)、幾何定理齊全；同時創(chuàng)設(shè)真實情境（如汽車排放、數(shù)字經(jīng)濟算力、水杯設(shè)計等），考查學(xué)生在綜合情境中解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會生活的融合。試題覆蓋面廣，題型多元，難度分布合理，能充分照顧到不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀。既有對核心概念和思維方法的直接考查，也有對應(yīng)用實踐與創(chuàng)新意識的需求。對于教學(xué)基礎(chǔ)扎實的學(xué)校與學(xué)生而言，后面綜合題能進一步發(fā)揮思維水平；而中等生也可在前面中小題取得足夠分數(shù)，從而實現(xiàn)分層評價的目的。試卷對做題過程的邏輯性、嚴謹性，以及運算準(zhǔn)確度仍有較高要求。學(xué)生在備考時既需牢記基礎(chǔ)知識、熟練運算技能，也要著重訓(xùn)練幾何推理、函數(shù)建模和代數(shù)綜合等能力，注重審題與答題規(guī)范性，以應(yīng)對純計算、幾何作圖、應(yīng)用場景分析等多樣化題型?？傊?，本套試卷覆蓋知識面廣、難度穩(wěn)中有升、注重應(yīng)用與探究，充分體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與綜合能力的考查。它具備較強的區(qū)分度和導(dǎo)向性，能有效引導(dǎo)教師關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展、注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)生整體能力評估具有積極促進作用。特別是在后續(xù)教學(xué)與復(fù)習(xí)中，教師可據(jù)此加強對思維過程與解題規(guī)范的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析與建模的意識，促進學(xué)生在理解“做數(shù)學(xué)”的過程中獲得全面發(fā)展?！镱}量與結(jié)構(gòu)基本保持不變，仍分為選擇題、填空題和解答題三大板塊，共28小題，滿分100分；★★題型分布與前一年相似，8道選擇題、8道填空題、12道解答題的比例未發(fā)生改變，但部分題目的情境和考查方式更貼近現(xiàn)實生活，如數(shù)字經(jīng)濟、環(huán)保排放等情境的應(yīng)用題出現(xiàn)頻率上升；★★★作圖題與概率統(tǒng)計題仍出現(xiàn)在選擇題和填空題中，難度保持穩(wěn)定，但對數(shù)據(jù)理解和圖表分析能力提出更高要求?！锴榫硲?yīng)用更豐富：多道試題與真實背景相結(jié)合，例如數(shù)字經(jīng)濟算力、環(huán)保排放標(biāo)準(zhǔn)、新材質(zhì)設(shè)計等，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力；★★知識融合度提高：部分題目綜合了函數(shù)、幾何、統(tǒng)計等多個知識點，要求學(xué)生在解題中靈活運用方程、不等式、三角幾何以及統(tǒng)計分析等多方面思維；★★★數(shù)據(jù)分析與推理：如概率統(tǒng)計、樣本估計總體以及函數(shù)圖像的應(yīng)用題，對數(shù)據(jù)分析與推理能力提出了更高要求，需關(guān)注圖表、平均數(shù)、中位數(shù)、方差等概念的運用；★★★★轉(zhuǎn)化與探索思維：旋轉(zhuǎn)對稱、平移映射以及新定義（如“可及點”）的幾何問題比重增加，學(xué)生需具備較強的圖形變換與推理能力。上述變化與前一年相比，雖題型結(jié)構(gòu)未變，但在情境設(shè)置、考查深度及綜合運用層面更突出，對學(xué)生的分析、建模與跨學(xué)科思維能力提出了更高要求。建議學(xué)生平時注重理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)基于情境的綜合解題和數(shù)據(jù)分析思維，以更好地應(yīng)對新的挑戰(zhàn)。以下為本套「2024年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷」的考情分析。試卷由兩部分組成，共三大題、28小題，滿分100分。其中，第一部分為選擇題，第二部分為非選擇題。具體情況如下：?第1～8題：單項選擇題，共8題，每題2分，合計16分。?第9～16題：填空題，共8題，每題2分，合計16分。?第17～19題：解答題（每題5分），共3題，合計15分。?第20～21題：解答題（每題6分），共2題，合計12分。?第22～23題：解答題（每題5分），共2題，合計10分。?第24題：解答題（6分），1題。?第25題：解答題（5分），1題。?第26題：解答題（6分），1題。?第27～28題：解答題（每題7分），共2題，合計14分。?選擇題（共16分）：占全卷16%。?填空題（共16分）：占全卷16%。?解答題（共68分）：占全卷68%。下面以表格形式呈現(xiàn)試卷每道題的分值、題型、考查內(nèi)容與難易分析。難度等級將分為“易”“中”“難”三個層次。題號分值題型考查內(nèi)容難易分析12選擇題軸對稱與中心對稱圖形的判斷易22選擇題相交線與垂線、平角概念易32選擇題數(shù)軸上實數(shù)的位置、絕對值與不等式的簡單判斷易42選擇題一元二次方程實數(shù)根的判別式中52選擇題簡單隨機抽樣、概率計算（樹狀圖或列表法）易62選擇題科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用易72選擇題尺規(guī)作圖與三角形全等判定（邊邊邊、邊角邊、角邊角等）中82選擇題菱形與旋轉(zhuǎn)綜合，角平分線、邊長距離綜合分析中92填空題二次根式有意義的條件（被開方數(shù)≥0）易102填空題分解因式（提取公因式、平方差公式）易112填空題分式方程的解法與增根檢驗易122填空題反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)易132填空題樣本估計總體、頻率與總數(shù)關(guān)系易142填空題垂徑定理、圓周角、幾何綜合中152填空題正方形性質(zhì)、相似三角形或直角三角形求面積中162填空題候場時間與排列組合，最優(yōu)順序問題中175解答題實數(shù)混合運算、特殊角三角函數(shù)值、絕對值易185解答題一元一次不等式組的解法與解集易195解答題代數(shù)式化簡求值、完全平方公式、分式化簡中206解答題構(gòu)造平行四邊形與三角形中位線定理、勾股定理綜合中216解答題列方程解應(yīng)用題，汽車排放限值判斷中225解答題一次函數(shù)與待定系數(shù)法，圖象平行的條件及函數(shù)不等思想中235解答題統(tǒng)計與概率，平均數(shù)、中位數(shù)、方差概念在競賽排名中的應(yīng)用中246解答題圓與幾何綜合，切線、相似三角形或等腰三角形等綜合中偏難255解答題函數(shù)應(yīng)用題，實際測量記錄、描點法畫函數(shù)圖像，估算水杯水面高度中266解答題二次函數(shù)的頂點及圖象性質(zhì)，分段討論中277解答題旋轉(zhuǎn)與全等、幾何綜合，三角形性質(zhì)及輔助線中偏難287解答題新定義、對稱變換與圓綜合題，空間想象力強，需多次輔助線或分類討論難（易：約40%；中：約45%；難：約15%）從整體來看，本試卷難度在中等偏上，注重對基礎(chǔ)知識與綜合運用的雙向考查，既包含常規(guī)的代數(shù)、幾何基礎(chǔ)計算題，也包括考查綜合思維、新定義和情境應(yīng)用的題目。?易題示例：第1題（軸對稱與中心對稱圖形）、第2題（垂直概念）、第3題（數(shù)軸上的實數(shù)比較）、第9題（根式有意義條件）等。此類題目對概念要求直接，運算簡單，考查學(xué)生對基本知識的掌握情況。?中等題示例：第7題（尺規(guī)作圖與三角形全等）、第22題（一次函數(shù)性質(zhì)及圖像平行標(biāo)準(zhǔn)）、第23題（統(tǒng)計量在競賽排名中的應(yīng)用）。此類題目多環(huán)節(jié)聯(lián)動，既需要基本運算也需適當(dāng)推理。?難題示例：第28題（基于新定義的圓對稱變換與幾何綜合），需靈活運用幾何變換思想（對稱、旋轉(zhuǎn)），并運用坐標(biāo)法或幾何推理綜合解決，思維量較大，屬于拉開區(qū)分度的壓軸題目之一。綜合看來，試卷整體布局合理，區(qū)分度較好，能有效考查學(xué)生在代數(shù)與幾何、函數(shù)與統(tǒng)計、應(yīng)用與創(chuàng)新思維等多方面的學(xué)習(xí)水平與綜合素養(yǎng)。試卷中的“易—中—難”梯度設(shè)置較合理，適合不同層次學(xué)生展示真實水平。試題內(nèi)容緊貼教學(xué)大綱與日常生活實際，用較多情境化背景引導(dǎo)學(xué)生在具體問題中運用數(shù)學(xué)思想方法。通過本卷的練習(xí)，學(xué)生可以鞏固基礎(chǔ)知識、提升應(yīng)用能力、培養(yǎng)探究意識。1.前期（1～2個月前）??夯實基礎(chǔ)：梳理教材知識結(jié)構(gòu)和課本例題，重溫一次函數(shù)、二次函數(shù)、幾何基本性質(zhì)（如相似、全等及圓的相關(guān)定理）等核心內(nèi)容。針對選擇題、填空題中常見的基礎(chǔ)失誤（如正負號、計算細節(jié)、特殊值代入等），可結(jié)合近三年真題積累錯題本，重點排除運算性和概念性錯誤。??專題訓(xùn)練：將代數(shù)與幾何分別進行專題強化，如“函數(shù)與方程”“三角形與四邊形性質(zhì)”等，保證知識點覆蓋全面。例如在函數(shù)部分，可多練習(xí)關(guān)于一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像性質(zhì)的題；在幾何部分，需重點掌握與平行線、圓常見性質(zhì)有關(guān)的題型，及時總結(jié)出典型題解題思路。2.中期（考前30天左右）??真題鞏固：套卷練習(xí)要注重時限要求，模擬正式考試的流程。做完后自我批改與教師講評結(jié)合，尤其關(guān)注填空題和選擇題中的易錯點，如對稱圖形判定、概率樹狀圖、數(shù)據(jù)分析中眾數(shù)、平均數(shù)與中位數(shù)等概念。??查漏補缺：針對做題中仍反復(fù)出現(xiàn)的錯誤，如做不等式組時區(qū)間表達不準(zhǔn)確、分式方程易出現(xiàn)增根等，要及時回歸課本例題與筆記，用小范圍測試來鞏固修正。3.后期（考前10天左右）??強調(diào)綜合：多練習(xí)綜合性較強的解答題，尤其留意幾何題中“輔助線”的添加和證明思路的自然銜接。需熟悉常見證明思路（“全等或相似”“三角形中位線定理”“特殊三角形”）的使用場景，并養(yǎng)成分步、分層寫出推理過程的習(xí)慣。??保持狀態(tài)：適度回歸基礎(chǔ)題，切忌盲目加大訓(xùn)練量，引發(fā)心理壓力。保持做題手感，為考試做好節(jié)奏控制練習(xí)。1.選擇題：??學(xué)會“排除+檢驗”法，可用特殊值或邊界值替代；對幾何選擇題，若選擇備選圖形時，可借助畫草圖或標(biāo)記輔助線來排錯。??答題速度與準(zhǔn)確度并重：先挑自己最有把握的題快速解決，再回頭對可能存在陷阱的選項進行更細致的比較或運算驗證。2.填空題：??計算與表達并重：如涉及整式、分式或開方運算，要嚴格注意符號與運算次序；對幾何中的角度、線段長度等答案，若可簡化成根式或分數(shù)，應(yīng)謹慎轉(zhuǎn)換，保證形式正確。??文字表述要簡練：若填空題需寫出結(jié)果推導(dǎo)過程，則先在草稿中清晰列出步驟，確認無誤后再寫到答題卡的答題區(qū)域。3.解答題：??書寫條理：按“已知—求證—推理過程—結(jié)論”順序；若涉及方程求解，需明示“去分母”“移項”及檢驗過程；幾何證明中，需體現(xiàn)每步結(jié)論的理由（如“同位角相等”“三角形全等”）。??善用綜合知識：二次函數(shù)常與幾何面積、三角函數(shù)知識結(jié)合，注意先轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)或幾何模型，再配合數(shù)形結(jié)合求解。1.情緒管理：??避免在模擬考或練習(xí)中過度關(guān)注一兩次失誤，應(yīng)注重解題思路的提升。若遇到難題卡殼，可先總結(jié)規(guī)律，再逐步回顧人為失誤點，保持自信，避免焦躁情緒影響后續(xù)復(fù)習(xí)效率。2.命題趨勢與關(guān)注要點：??關(guān)注數(shù)學(xué)文化與生活實際題：如圓柱圓錐的應(yīng)用、函數(shù)與數(shù)據(jù)分析（頻數(shù)分布直方圖、線性回歸思路）的考查往往貼近生活，熟悉《課程標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)的“數(shù)學(xué)建?！彼枷?。??新定義新情景：與幾何變換、統(tǒng)計推斷等相結(jié)合，靈活度更高，通常出現(xiàn)于解答題末或綜合應(yīng)用題。備考時要反復(fù)練習(xí)靈活運用對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、判定與性質(zhì)等知識。3.考場節(jié)奏建議：??三輪做題：1）快速瀏覽選擇填空，先易后難；2）標(biāo)記中等難度題目或第一輪未解完的選項再行突破；3）涂卡與審查：對標(biāo)答題卡是否簽到答題區(qū)，仔細核對計算結(jié)果與幾何圖示標(biāo)注。??保持審題到位：特別是幾何大題，畫圖時保證標(biāo)注整齊、輔助線明顯，千萬不要憑空假設(shè)。通過上述復(fù)習(xí)方案與心態(tài)調(diào)整，相信同學(xué)們能在接下來的考試中穩(wěn)定發(fā)揮，祝各位取得優(yōu)異成績！2024年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分，第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．2.如圖，直線和相交于點，，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查了垂直的定義，平角的定義，熟練掌握知識點，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)得到，再由平角即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：B．3.實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查了是實數(shù)與數(shù)軸，絕對值的意義，實數(shù)的運算，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由數(shù)軸可得，，根據(jù)絕對值的意義，實數(shù)的加法和乘法法則分別對選項進行判斷即可．【詳解】解：A、由數(shù)軸可知，故本選項不符合題意；B、由數(shù)軸可知，由絕對值的意義知，故本選項不符合題意；C、由數(shù)軸可知，而，則，故，故本選項符合題意；D、由數(shù)軸可知，而，因此，故本選項不符合題意．故選：C．4.若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值為（）A. B. C.4 D.16【答案】C【分析】根據(jù)方程的根的判別式即可．本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵方程有兩個相等的實數(shù)根，，∴，∴，解得．故選C．5.不透明的袋子中裝有一個紅色小球和一個白色小球，除顏色外兩個小球無其它差別．從中隨機取出一個小球后，放回并搖勻，再從中隨機取出一個小球，則兩次都取到白色小球的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率，依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都取到白色小球的結(jié)果有1種，兩次都取到白色小球的概率為．故選：D．6.為助力數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展，北京積極推進多個公共算力中心的建設(shè).北京數(shù)字經(jīng)濟算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為Flops（Flops是計算機系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計實現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達到Flops，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】用移動小數(shù)點的方法確定a值，根據(jù)整數(shù)位數(shù)減一原則確定n值，最后寫成的形式即可．本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)，熟練掌握把小數(shù)點點在左邊第一個非零數(shù)字的后面確定a，運用整數(shù)位數(shù)減去1確定n值是解題的關(guān)鍵．【詳解】，故選D．7.下面是“作一個角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，；（2）作射線，以點圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點；（3）過點作射線，則.

上述方法通過判定得到，其中判定的依據(jù)是（）A.三邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得，故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，故選A.8.如圖，在菱形中，，為對角線的交點.將菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，.對八邊形給出下面四個結(jié)論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點到該八邊形各頂點的距離都相等；④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【分析】根據(jù)菱形，，則，，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點一定在對角線上，且，，繼而得到，，結(jié)合，繼而得到，可證，，同理可證，證，繼而得到，得到，可以判定該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據(jù)題意，得，結(jié)合，，得到，可判定②該八邊形各內(nèi)角不相等；判定②錯誤，證，進一步可得，可判定點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤即③錯誤，解答即可.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】向兩方分別延長，連接，根據(jù)菱形，，則，，∵菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴點一定在對角線上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可證，∵，∴，∴，∴，∴該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據(jù)題意，得，∵，，∴，∴該八邊形各內(nèi)角不相等；∴②錯誤，根據(jù)，∴，∴，∵，故，∴點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤∴③錯誤，故選B．第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：．故答案為：10.分解因式：___________.【答案】【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】．故答案為：．11.方程的解為___________.【答案】【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根．【詳解】解：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，所以，原方程的解為，故答案為：．12.在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值是___________.【答案】0【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，已知自變量求函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．將點和代入，求得和，再相加即可．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，∴有，∴，故答案為：0．13.某廠加工了200個工件，質(zhì)檢員從中隨機抽取10個工件檢測了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個工件的質(zhì)量（單位：g）滿足時，評定該工件為一等品.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這200個工件中一等品的個數(shù)是___________.【答案】160【分析】本題考查了用樣本估計總體，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先計算出10個工件中為一等品的頻率，再乘以總數(shù)200即可求解．【詳解】解：10個工件中為一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02這8個，∴這200個工件中一等品的個數(shù)為個，故答案為：160．14.如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則___________【答案】55【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先由垂徑定理得到，由得到，故．【詳解】解：∵直徑平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案為：．15.如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為___________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，得到，結(jié)合，得到,，，求得的長，解答即可.本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴面積為；故答案為：．16.聯(lián)歡會有A，B，C，D四個節(jié)目需要彩排.所有演員到場后節(jié)目彩排開始。一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始.每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）。若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場時間為____________min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按___________的先后順序彩排【答案】①.60②.【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，正確理解題意，熟練計算是解題的關(guān)鍵．①節(jié)目D的演員的候場時間為；②先確定C在A的前面，B在D前面，然后分類討論計算出每一種情況下，所有演員候場時間，比較即可．【詳解】解：①節(jié)目D的演員的候場時間為，故答案為：60；②由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣，彩排時長不一樣，那么時長長的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時長一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時長會短一些，那么B在D前面，∴①按照順序，則候場時間為：分鐘；②按照順序，則候場時間為：分鐘；③按照順序，則候場時間為：分鐘；④按照順序，則候場時間為：分鐘；⑤按照順序，則候場時間為：分鐘；⑥按照順序，則候場時間為：分鐘．∴按照順序彩排，候場時間之和最小，故答案為：．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.）17.計算：【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．依次根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的意義化簡計算即可．【詳解】解：原式．18.解不等式組：【答案】【分析】先求出每一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組解集的確定方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”確定不等式組的解集．本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進行不等式求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為．19.已知，求代數(shù)式的值.【答案】3【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先利用完全平方公式和整式的加法，乘法對分母分子化簡，再對化簡得到，再整體代入求值即可．【詳解】解：原式，∵，∴，∴原式．20.如圖，在四邊形中，是的中點，，交于點，，.（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的長.【答案】（1）見詳解（2）【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到，而，即可求證；（2）解求得，由三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得到，最后對運用勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵是的中點，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；【小問2詳解】解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中點，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴在中，由勾股定理得．21.為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對某型號汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求類物質(zhì)排放量不超過，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過一次技術(shù)改進，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說明理由.【答案】符合，理由見詳解【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)技術(shù)改進后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，根據(jù)汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)技術(shù)改進后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，由題意得：，解得：，∵，∴這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準(zhǔn)”．22.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點.（1）求，的值；（2）當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象平行的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．（1）將代入先求出k，再將和k的值代入即可求出b；（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想解決，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，畫出臨界狀態(tài)圖象分析即可．【小問1詳解】解：由題意，將代入得：，解得：，將，，代入函數(shù)中，得：，解得：，∴；【小問2詳解】解：∵，∴兩個一次函數(shù)的解析式分別為，當(dāng)時，對于每一個值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，即當(dāng)時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方，則畫出圖象為：由圖象得：當(dāng)直線與直線平行時符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時的夾角也符合題意，∴當(dāng)直線與直線平行時，，∴當(dāng)時，對于的每一個值，直線的圖象在直線和直線的上方時，，∴m的取值范圍為．23.某學(xué)校舉辦的“青春飛揚”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個階段.（1）初賽由名教師評委和名學(xué)生評委給每位選手打分（百分制）對評委給某位選手的打分進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息..教師評委打分：.學(xué)生評委打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）：.評委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評委學(xué)生評委根據(jù)以上信息，回答下列問題：①的值為___________，的值位于學(xué)生評委打分數(shù)據(jù)分組的第__________組；②若去掉教師評委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評委打分的平均數(shù)為，則___________（填“”“”或“”）；（2）決賽由5名專業(yè)評委給每位選手打分（百分制）.對每位選手，計算5名專業(yè)評委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專業(yè)評委給進入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：

評委1評委2評委3評委4評委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是____________，表中（為整數(shù)）的值為____________.【答案】（1）①，；②（2）甲，【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差等知識，理解平均數(shù)、方差的意義和計算方法是正確解答的前提．（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)方差的定義和意義求解即可；（3）根據(jù)題意得出，進而分別求得方差與平均數(shù)，分類討論，求解即可．【小問1詳解】①從教師評委打分的情況看，分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故教師評委打分的眾數(shù)為，所以，共有45名學(xué)生評委給每位選手打分，所以學(xué)生評委給每位選手打分的中位數(shù)應(yīng)當(dāng)是第個，從頻數(shù)分面直方圖上看，可得學(xué)生評委給每位選手打分的中位數(shù)在第4組，故答案為：，；②去掉教師評委打分中的最高分和最低分，其余8名教師評委打分分別為：，，，，，，，，，故答案為：；【小問2詳解】，，，，丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，依題意，當(dāng)，則解得：當(dāng)時，此時∵，則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，不合題意，當(dāng)時，此時∵，則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，這三位選手中排序最靠前的是甲故答案為：甲，．24.如圖，是的直徑，點，在上，平分.

（1）求證：；（2）延長交于點，連接交于點，過點作的切線交的延長線于點.若，，求半徑的長.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)題意，得，結(jié)合，得到，繼而得到，根據(jù)平分，得到，繼而得到，可證；（2）不妨設(shè)，則，求得，證明，，求得，取的中點M，連接，則，求得，，結(jié)合切線性質(zhì)，得到，解答即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；【小問2詳解】∵，，不妨設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中點M，連接，則∵，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，解得，故半徑的長為.25.小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當(dāng)1號杯和2號杯中都有mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：cm）和2號杯的水面高度（單位：cm），部分數(shù)據(jù)如下：/mL040100200300400500/cm0

2.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（1）補全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當(dāng)1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．【答案】（1）1.0（2）見詳解（3）1.2，8.5【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，描點法畫函數(shù)圖像，求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量，正確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，則可求，代入即可求解；（2）畫與之間的關(guān)系圖象時，描點，連線即可，畫與的關(guān)系圖像時，由于是正比例函數(shù)，故只需描出兩點即可；（3）①當(dāng)時，，由圖象可知高度差；②在左右兩側(cè)找到等距的體積所對應(yīng)的高度相同，大致為．【小問1詳解】解：由題意得，設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，解得：，∴，∴當(dāng)時，，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所畫圖像，【小問3詳解】解：①當(dāng)時，，由圖象可知高度差，故答案為：1.2；②由圖象可知當(dāng)兩個水杯的水面高度相同時，估算高度約為，故答案為：．26.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或【分析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點式即可求解；（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；本題考查了求二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：把代入得，，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線；當(dāng)時，和都在對稱軸右側(cè)，此時y隨x的增大而增大，∵，∴如圖，此時，∴，又∵，∴；當(dāng)時，在對稱軸左側(cè)，在對稱軸右側(cè)，∴點關(guān)于對稱軸的對稱點在對稱軸右側(cè)，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，∵，∴，如圖，此時，解得，又∵，∴；綜上，當(dāng)或，都有．27.已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線交射線于點.

（1）如圖1，當(dāng)點在射線上時，求證：是的中點；（2）如圖2，當(dāng)點在內(nèi)部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，