643第4課時正弦余弦定理習題課教學設計-高一下學期數(shù)學人教A版

第4課時6.4.3余弦定理、正弦定理【教學內容】余弦定理、正弦定理的綜合應用.【教學目標】（1）能靈活使用余弦定理和正弦定理進行邊角互化，解決較為復雜的綜合問題，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)；（2）能利用方程思想解三角形，發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng).【教學重點與難點】教學重點：余弦定理、正弦定理的綜合應用.教學難點：引入未知、建立方程思想解三角形.【教學過程設計】環(huán)節(jié)一綜合應用，提升能力例1設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，求B.師生活動：教師提問引導學生思考，學生作答，教師點評并總結.教師引導學生如下問題：①式子中出現(xiàn)了三個角，可以如何化簡？②條件只是邊的關系，只是角的關系，可以如何進行邊角轉化？學生獨立思考作答如下：①三角形內角和為，故可將條件化為只含A，C的表達式；②利用正弦定理可以將轉化為角的表達式，進而可以解出角B.教師總結：①從方程的角度上來說，三角形中可以利用內角和消去一個元.②余弦定理和正弦定理都可以實現(xiàn)邊角互化，結合本題條件和所求為角，因此考慮用正弦定理將邊轉化為角求解.解：由及，得，所以.所以.又由及正弦定理，得.故，即或（舍去）.于是或.若，則，顯然不成立.所以.設計意圖：讓學生學會分析三角形中的三角函數(shù)特征，應用正弦定理實現(xiàn)邊角互化，在老師的引導下逐步完善并規(guī)范步驟，體會解三角形的過程，培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng).例2的內角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知求C.師生活動：教師提問引導學生思考，學生作答，教師點評并總結.教師引導學生如下問題：①式子中既出現(xiàn)了角，也出現(xiàn)了邊，如何進行邊角轉化？學生獨立思考作答如下：①用正弦定理將邊轉化成角；②用余弦定理將角轉化成邊.教師總結：余弦定理和正弦定理都體現(xiàn)了邊角互化的關系.①首先觀察式子，發(fā)現(xiàn)是齊次式，可以利用正弦定理將三條邊轉化成只出現(xiàn)角的表達式；②用余弦定理將三個余弦值轉化成只出現(xiàn)邊的表達式.解法1（邊化角）：由和正弦定理，得所以，故.因為所以，，故.解法1（角化邊）：由和余弦定理，得所以，所以.故.設計意圖：通過例題讓學生靈活運用余弦定理和正弦定理實現(xiàn)邊角互化，從兩個角度均可以化簡表達式，有時某一種角度更為簡潔方便，需要結合條件判斷，培養(yǎng)了數(shù)學運算核心素養(yǎng).例3在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知,,.（1）求的值；（2）在邊BC上去一點D，使得,求的值.師生活動：教師在題目的基礎上給出可解三角形的定義，學生在教師的引導下先獨立思考再作答.可解三角形：已知三個量（至少有一邊）的三角形.教師引導學生如下問題：①根據(jù)已知條件，圖中的三角形哪些是可解的？哪些是不可解的？②你準備如何求解？學生獨立思考作答如下：①已知的兩邊及其夾角，說明是一個可解三角形，而和都是不可解的；②針對（1），根據(jù)已知條件可以利用余弦定理求出邊長b，再利用正弦定理求出角C的正弦值；針對（2），加上條件，和都已知兩角和一邊，都是可解三角形.的值可根據(jù)公式解出.解：（1）在中，由余弦定理，得所以所以在中，由正弦定理，得.（2）在中，因為，所以為鈍角，而,故C為銳角,故，則，因為，所以，.從而設計意圖：進一步熟練、鞏固所學知識，強化學生再多個三角形中有可解三角形時結合運用余弦定理和正弦定理的能力，培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng).問題2：你還有其他方法求解嗎？師生活動：學生獨立思考作答，根據(jù)實際情況，教師引導,最后作點評和總結.教師引導如下：余弦定理和正弦定理從方程的角度看，已知三個量可以求出剩下的一個量.若將未知量看作是未知數(shù)，那么就能根據(jù)定理建立等式.最后教師點評和總結.教師總結：利用正弦定理建立方程，a，c均已知，根據(jù)三角形內角和可消去角A，換成角B和角C的表達式，而角B已知，故方程只有角C這一個未知量，即可求出.另解（1）：由正弦定理和，得所以設計意圖：讓學生領悟通過建立方程解三角形，強化余弦定理和正弦定理也是方程的思想，加深對兩個定理的理解和方程的思維，以幫助學生形成良好的思維方式，培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng).例4在中，若，，BC邊上的中線AD長為，求邊長a.問題3：學生邊讀例題邊思考如下問題：（1）是否有可解三角形？（2）如何表達已知條件“AD是BC邊上的中線”？怎樣利用余弦定理或正弦定理？師生活動：學生思考以上問題，教師根據(jù)作答情況，做點評和總結.（1）根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)沒有可解三角形；（2）三角形中一邊有中線時，把邊看作向量，有；兩邊平方，可利用余弦定理.追問1：在沒有可解三角形的時候，結合例3，我們也可以采用什么方法？師生活動：在教師的引導下由學生回答：引入未知量，建立方程.追問2：怎樣建立方程？師生活動：教師講解，同時引導學生思考：不妨設所求的邊長a為未知數(shù)x，那么圖中的三個三角形均是可解三角形（解題過程中，x暫視為已知）.角B和角C都是公共角，利用余弦定理推論寫出在兩個三角形中的余弦值，建立等式，解出未知數(shù)x，即求出邊長.解法一：因為AD是BC邊上的中線，得，兩邊平方，得，可得，由余弦定理，得，所以，所以.解法二：因為AD是BC邊上的中線，有，可設，則，在中，由余弦定理推論得，，在中，由余弦定理推論得，,從而.解得或（負值舍去）.所以.由余弦定理，得，所以，所以.設計意圖：本例題的難點在于想到用向量表達“中線”這個條件，再結合余弦定理求解或者設未知量，抓住“同一個角在不同三角形里表達余弦定理”建立方程.讓學生體會沒有可解三角形的情形下，引入未知，建立方程的過程，加深了方程思想在解三角形的運用，培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)二總結回顧，凝練提升問題4：請你帶著下列問題回顧本節(jié)課內容，并給出回答：（1）這節(jié)課我們學習的余弦定理及其推論的內容是什么？從公式中你能分析出哪些特點？（2）什么是解三角形？余弦定理及其推論可以解決哪兩類解三角形問題？師生活動：學生獨立回答，教師補充點評，師生共同歸納總結.（1）余弦定理：余弦定理推論：特點：①公式是等式亦是方程，蘊含了三條邊和一個角這四個幾何量，知道了其中三個量就可以求出剩下的一個量;②在三角形中，邊長和角度是不同的幾何量，通過余弦定理及其推論，兩者可以相互轉化.③公式具有輪換美，完美揭示出了三角形邊長和角度的數(shù)量關系.（2）解三角形：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.余弦定理及其推論可以解決“已知兩邊及一角（SAS、SSA）”和“已知三邊（SSS）”這兩類基本解三角形問題，結合題目具體給出的條件去選擇公式求解.設計意圖：進一步反思鞏固所學知識，抓住本節(jié)課的知識重點，梳理清用兩個定理解三角形的基本思路.讓學生在今后的學習中能夠有引入未知、建立方程的思想方法，提升思維，發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng).環(huán)節(jié)三目標檢測，鞏固所學目標檢測：教科書第41頁練習1、2、3.設計意圖：通過練習題，檢測本堂課的教學效果，對學生學習結果進行課堂測評，考查學生綜合運用余