華師大版初三數(shù)學(xué)上全冊(cè)教案

22.1.二次根式（1）

二次根式的概念及其運(yùn)用

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，/表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時(shí)，&等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，、后沒有意義.

一、概括：&（aN0）表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，4a（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它的平方

等于a.即有：（1）4aNO（a20）；

（2）（Va）2=a（a20）.

形如后（aNO）的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式后中，字母a必須滿足a，0,即被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

二、例題講解_

思考：叱等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的a2的值，看看有什么規(guī)律：

概括：當(dāng)a》0時(shí)，J/=a；當(dāng)a<0時(shí)，=-a.

這是二次根式的又一重要性質(zhì).如果二次根式的被開方數(shù)是一個(gè)完全平方，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)，可以將

它“開方”出來，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.例如：

V4x2=個(gè)（2x）2=2x（X2O）;-\[x^=J（X2）2=x2.

四、練習(xí)：X取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義_______

（]）A/3—4x.（2）J3x-2；（3）d（x-3）；（彳）J3x-4+J4-3x

五、拓展

例：當(dāng)x是多少時(shí)，j2x+3+,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X+1

分析:要使j2x+3+一一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足j2x+3中的20和二一中的x+1W0.

x+1x+1

3

由①得：xN--由②得：xW-1

2

41

當(dāng)X2--且xW-l時(shí)，j2x+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例：已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.(答案:2)

y

22.1二次根式(2)

教學(xué)內(nèi)容：1.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.(y[a)2=a(a^O).

五、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算______________________

1.(Jx+1)2(xNO),2.(Na?)2,3.(Na?+2a+1)2,4.(V4x2—12x+9)2

解：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0,(Jx+1)2=x+l

(2),.*a2^0,)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,又丁(a+1)2^0,

.'.a2+2a+1^0,/.ya~+2tz+1=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2,又：(2x-3)2^0

.\4X2-12X+9^0,(A/4X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

六、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.y[a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.(-\[a)2=a(aNO);反之:a=()2(a》0).

22.1二次根式（3）

教學(xué)內(nèi)容J/=a（a2O）

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：（老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容）

1.形如、石（a20）的式子叫做二次根式；

2.8（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù);

3.）2=a（a>0）.

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，必=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題.

二、探究新知：（學(xué)生活動(dòng)）填空：

廳=；Vo.oi2=

（老師點(diǎn)評(píng)）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到:

=2；Jo.OF=0.01；3

7

因此，一般地：［V^'=a（a20）|

三、例題講解：

例1化簡(jiǎn)：（1）百(2)7(-4)2⑶V25(4)7(-3)2

22

分析：因?yàn)椋?）9=-3,(2)(-4)2=42,(3)25=5?,⑷(_3)2=3,

所以都可運(yùn)用必=a（aNO）去化簡(jiǎn).

解：（1）乒后=3（2）,（—4）2=9=4

（3）V25==5（4）個(gè)（-3）2==3

五、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時(shí)，疔=；當(dāng)a<0時(shí)，J/=—,并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

（1）若J/=a,則a可以是什么數(shù)？（2）若必二a,則a可以是什么數(shù)？

（3）Vo?>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：（a20）,.?.要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（）

2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)a<0時(shí)，必=J（-a）?,那么-aNO.

（1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知J/=|a

I,而Ia|要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0.

解：（1）因?yàn)轲?a,所以a20；（2）因?yàn)樾?-a,所以aWO；

(3)因?yàn)楫?dāng)a20時(shí)〃^=a,要使即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，〃^=-a,要使

即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡(jiǎn)J(x-2)2_J(1—2x)2.

六、歸納小結(jié)：本課掌握：J/=a(a20)及運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，J/=-a的應(yīng)用拓展.

七、布置作業(yè):1.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl-2a+/的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l_(z)2=a+(1-a)=1；乙的解答為：原式=a+J(l-a)2=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+V?-2000=a,求a-1995?的值.(提示：注意根式有意義的隱含條件)

3,若-3WxW2時(shí)，試化簡(jiǎn)|x-2|+J(X+3)2+\JX2—10x+25。

22.2二次根式的乘除(1)

教學(xué)內(nèi)容：4a?>fb—4ab(a20,b>0),反之，石=&,4b(a20,b20)及其運(yùn)用.

教學(xué)過程：一、設(shè)疑自探一解疑合探

自探.(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.______

1.填空：(1)A/4XV9=___,—4x9=；(2)V16X^25=,J16x25=.

(3)V100XV36=，7100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或=”填空.

V?XV9____V479,V16XV25_____716x25,V100X736________J100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空__

(1)V2XV3_____V6,(2)V2XV5_____屈,

(3)垂)X\[6_____y/30,(4)A/4X-\/~5_____J20,

(5)V7xVio_____VTo.

(學(xué)生活動(dòng))讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

老師點(diǎn)評(píng)：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二

次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對(duì)二.根式的乘法規(guī)定為

4a,4b—4ab.(a20,bNO)

反過來：4ab=4a,4b(aNO,bNO)

合探1.計(jì)算：(1)石XJ7,(2)/1XV9,(3)79X727,(4)/IX76

V3X2

分析：直接利用&,4b=4ab(a20,b20)計(jì)算即可.

合探2化簡(jiǎn)(1)J9xl6,(2)A/16X81,(3)781x100,(4)再丁，(5)后

分析：利用=?4b(a20,b20)直接化簡(jiǎn)即可.

三、應(yīng)用拓展：判斷下列各式是否正確,不正確的請(qǐng)予以改正：

(1)&-4)x(—9)=廣義口

(2)J4—XV25=4xj—xV25=4J—X725=4712=873

V25\25V25

四、鞏固練習(xí)⑴計(jì)算(生練，師評(píng))①/X次(2)3^6X2V10③瓦?

(2)化簡(jiǎn)：同；灰；V24;V54;82a2b2

五、歸納小結(jié)(師生共同歸納)

本節(jié)課掌握：（1）4a,4b=-Jab=（aNO,b》O）,yfab=y/a,4b（aNO,b》O）及運(yùn)用.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題__

1.直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為乖cm和cm,那么此直角三角形斜邊長(zhǎng)是（）

A.3V2cmB.3A/3cmC.9cmD.27cm

2.化簡(jiǎn)aL的結(jié)果是（）.A.4-aB.4aC.-4-aD.-4a

3.等式J77TJT萬=，%2—1成立的條件是（）

A.x》lB.x》-lC.-IWXWID.xNl或x〈-l

4.下列各等式成立的是（_____

A.46X26=8BB.50X4夜=206；C.4GX3女=76；D.573X4A/2=20A/6

（二）、填空題：

1.71014=_______.

2.自由落體的公式為S=|gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2）,若物體下落的高度為720m,則下

落的時(shí)間是.

（三）、綜合提高題探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程.

⑴

2

驗(yàn)證：2j[2=V2X[2="2x2=1戶1/(23-2)+2

3N

313、3V3

"32,2__2⑵一]),=1.2_

V22-122-1-V22-122-1V3

驗(yàn)證：3叵=后X叵=叵=6-3+3

vrvrv—32-1-

22.2二次根式的乘除（2）

教學(xué)內(nèi)容：7a=j（a20,b>0）,反過來巴=Ja(aNO,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算

教學(xué)過程；一、設(shè)疑自探一解疑合探

自探.（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.填空（1）6=____，/~9~=_____;(2)Vlll=_____，]16=_____；

RV16^36V36

（3）V4=____,區(qū)=_____；(4)屈=_______,匡=________

VT?V16VsTv8i

規(guī)律：且____巴;_____匹;正[p~；/36".

A/T6V16下WV36VHrV16VsTV81

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空：

（1）VT=____,（2）V2-=____,（3）邁=____，(4).

VTVTV8

規(guī)律：事m；vi[2.6[2.a[7o

■\4vr\3vU<5V8

一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果.（老師點(diǎn)評(píng)），根據(jù)大家的練習(xí)和

告探：

【勺除法規(guī)定：

勺二次根式的除法規(guī)定：

=(a'O,b>0),反過來J—=-尸(aNO,b>0)

\b4b

,|啟）x（a>0）

22.2二次根式的乘除⑶

教學(xué)內(nèi)容

最簡(jiǎn)二次根式的概念及利用最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一解疑合探

自探1.（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書）

計(jì)算（1）正，（2）3正,（3）提

老師點(diǎn)評(píng)：6=VTT,三"=正，胡=23

5，273"2aa

自探2.觀察上面計(jì)算題的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有什么特點(diǎn)？（有如下兩個(gè)特點(diǎn):

1.被開方數(shù)不含分母；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.）

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式._

合探1.把下面的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）3后；Q）

^x2y4+x4y2；（3）//父

合探2.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,

求AB的長(zhǎng).

.3u2al/5、2”/169V16913,、

AB=V2.5+6=《（萬）+36=《—-—-—>——―=6.5（cm）

因此AB的長(zhǎng)為6.5cm.

三、應(yīng)用拓展

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式：

1_lx/_1）_艮1_乃］,

V2+1（V2+1）（72-1）-2-1

1_lx（V3-V2）_拒-6_1-行

TfTTF（用偽（百_①一^^77

同理可得：1=A/4-A/3,……

V4+VT

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

（J+1+1+……1）（V2002+1）的值.

VF+1渡+VFVT+V3V2002+V2001

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目

的.

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.如果J：（y>o）是二次根式，那么，化為最簡(jiǎn)二次根式是（）.

A.3（y>0）B.6（盧°）C-Q（y>0）D.以上都不對(duì)

2.把（a-1）1中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（）.

Va-1

A.ci—1B.Jl—aC.-<a—1D.-Jl-a

3.在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是()

A.=3^/1-5B.=+V2C.y]a4b=a28D.V-V3—x2=xVx—1

4.化簡(jiǎn)-3、/T的結(jié)果是()A.-1；B.-2_；C.-VH；D.-V2

V27-3V33

(二)、填空題________

1.化簡(jiǎn)Jx"+fy?=.(xNO)

2.a1五化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是.

Va2

(三)、綜合提高題

1.已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：JT-aFT，閱讀下面的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)寫

Va

出正確的解答過程：

解：J-a，-a/1=aJ—a-a?J_J-a=(a-1)J—a

Vaa

2.若x、y為實(shí)數(shù)，且尸，?-4+"—x2+1,求Jx+yJx—y的值.

x+2

22.3二次根式的加減⑴

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的加減

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一解疑合探

自探(學(xué)生活動(dòng))：計(jì)算下列各式.__

(1)2y/l,+3V2；(2)2Vs-3Vs+5V8；(3)-x/1+2V7+3<9x7；(4)3>J?>-2V3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2起與質(zhì)表面上看是不相同的，但它們可以合并

嗎？可以的.(板書)3V2+Vs=3V2+2V2=5V2和3V3+V27=3V3+3V3=6-\/3

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合

并.

合探1.計(jì)算：(1)V8+V18(2)V16x+V64^

分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合

并.

合探2.計(jì)算____

(1)3V48-9+3V12^(2)(V48+J20)+(V12-V5)

三、應(yīng)用拓展__

4x2+y2-4x-6y+10=0,求()-)的值.

分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

即*=工，y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二

2

次根式，最后代入求值.

四、歸納小結(jié)(師生共同歸納)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；(2)相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.以下二次根式：①Jii；②萬；③點(diǎn)；④板中，與G是同類二次根式的是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3百+3=6百；②上行=1；③行+&=&=2亞；④叵=2收，其中錯(cuò)誤的

7F

有（）.A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

（二）、填空題

L在他、三近藐、三E、同、2g、3配、-2忙中,與風(fēng)■是同類二次根式的有

aV8

2.計(jì)算二次根式5&1-3&-78+9&的最后結(jié)果是.

（三）、綜合提高題

1.已知后心2.236,求（廂-舊）-（舊+土斥）的值.（結(jié)果精確到0.01）

2.先化簡(jiǎn)，再求值.

（6x^￡+2_Jxy3）-（4X^￡+yj36xy）,其中X=2_,y=27.

22.3二次根式的加減（2）

教學(xué)內(nèi)容：利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一解疑合探

上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式

化成最簡(jiǎn)二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們研究三道題以做鞏固.

自探1.如圖所示的Rt^ABC中，/B=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/

秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移

動(dòng).問：幾秒后的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)

二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后4PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據(jù)三角形

面積公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后APBQ的面積為35平方厘米.則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x,2x=35X2=35X=V35

2

所以莊秒后APBQ的面積為35平方厘米.

PQ=^PB2+BQ2=VX2+4X2=A/5%7=J5x35=5g

答：V35秒后APIiQ的面積為35平方厘米,PQ的距離為5J7厘米.

自探2.要焊接如圖所示的鋼架,大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

解：由勾股定理，#AB=yjAD2+BD2=A/42+22=A/20=275

BC=^BD2+CD2=V22+l2=V5

所需鋼材長(zhǎng)度為AB+BC+AC+BD=2石+6+5+2=36+7心3

X2.24+7^13.7（m）

答：要焊接一個(gè)如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.）

四、應(yīng)用拓展

若最簡(jiǎn)根式3T4a+3b與根式一面+6已是同類二次根式,求b的值.

注：（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同；事實(shí)上，根式

yjlab2-b3+6b1不是最簡(jiǎn)二次根式，因此把y）2ab2-b3+6b2化簡(jiǎn)成|b|■j2a-b+6,才由同類二次根

式的定義得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2ab2-^+6,化為最簡(jiǎn)二次根式:

■\12ab2-Z?3+6b2=yjb2（2a-1+6）=|b|?-。+6

由題意得［4。+3。=2〃-。+612〃+4。=6.，.a=l,b=l

a—b=2a—b=2

六、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和5,那么斜邊的長(zhǎng)應(yīng)為（）.

A.572B.屈C.2#>D.以上都不對(duì)

2.小明想自己釘一個(gè)長(zhǎng)與寬分別為30cm和20cm的長(zhǎng)方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長(zhǎng)方形的

對(duì)角線又釘上了一根木條，木條的長(zhǎng)應(yīng)為（）米._

A.13V100B.V1300C.loV13D.5^/13

（二）、填空題

1.某地有一長(zhǎng)方形魚塘，已知魚塘的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積是1600m2,魚塘的寬是m.

2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長(zhǎng)為血，那么這個(gè)等腰直角三角形的周長(zhǎng)是.

（三）、綜合提高題

1.若最簡(jiǎn)二次根式2J3m2-2與‘飛4m2-10是同類二次根式,求m、n的值.

3

2.同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a?±2ab+b2=（a+b）2,你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了

二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=（6）2,

5=（V5）2,你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：

（V2-1）2=（V2）2-2?1?V2+12=2-2V2+1=3-272

反之，3-2&=2-2應(yīng)+1=（后-1）2.*.3-2V2=（V2-1）2；.，3-2后=6-1

求：（1）,3+2收；（2）"+26；（3）你會(huì)算「4-巫嗎?

（4）yja+2y/b=4m±4n>則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由.

22.3二次根式的加減（3）

教學(xué)內(nèi)容：含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相

乘、相除；乘法公式的應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一解疑合探

自探1.（學(xué)生活動(dòng)）：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：.

1.計(jì)算：（1）（2x+y）?zx（2）（2x2y+3xy2）4-xy

2.計(jì)算：（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+l）2+（2x-l）2

老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn).它主要有（1）單項(xiàng)式X單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式

X多項(xiàng)式；（3）多項(xiàng)式+單項(xiàng)式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運(yùn)用.

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立.

整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根

式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式._

自探2.計(jì)算：（1）（^6+V8）X-\/3（2）（4V6-3V2）4-2V2

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律.

自探3.計(jì)算：（1）（石+6）（3-5（2）（V10+V7）（V10-V7）

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立.

三、應(yīng)用拓展：已知=2—。，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+bWO,

ab

化簡(jiǎn)―—+1-+"x+1+,并求值.

x+1+y/~xVx+1-^J~x

分析：由于（6TT+4）（J7Z1-4）=i,因此對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可先將分母有理化，再通過解

含有字母系數(shù)的一元一次方程得到X的值，代入化簡(jiǎn)得結(jié)果即可.

(Vx+i-V%)2+(JX+1+

=(x+1)+x-2yjx(x+Y)+x+2-yjx(x+1)=4x+2

(X+1)-X(X+1)-X

x—bx—a

*.*-------=2---------.*.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2

ab

(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2〈a+bWOx=a+b

二?原式=4x+2=4(a+b)+2

五、作業(yè)設(shè)計(jì)(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.(后-3岳+2月)乂/的值是().

A.空百-3同B.3730-1V3C.2V30-1V3D.V3-V3O

3333

2.計(jì)算(6+Jx—l)(-Vx-1)的值是().A.2B.3C.4D.1

(二)、填空題

1.(-1+V1)2的計(jì)算結(jié)果(用最簡(jiǎn)根式表示)是.

22

2.(1-2V3)(1+2百)-(2百-1)2的計(jì)算結(jié)果(用最簡(jiǎn)二次根式表示)是

3.若x=\/2-1,貝(Jx?+2x+1=.

4.已知a=3+2\/^,b=3-241,則a?b-ab2=.

(三)、綜合提高題

1.化簡(jiǎn)狙+a

VTo-++^/Fs+V2T

2.當(dāng)x=7^時(shí)，求.+]+^^衛(wèi)+，+]一旺三的值.(結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示)

72-1x+1-Jx~+xx+l+Jx2+x

23.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)：

1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式a『+bx+c=°(。，0)2、在

分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中使學(xué)生感受方程

是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí)。3、會(huì)用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程

的解。

教學(xué)過程：

一做一做：

1.問題一綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開辟面積為900平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，

并且長(zhǎng)比寬多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？

分析：設(shè)長(zhǎng)方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+lOx-900=0.(1)

2.問題2

學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊(cè).求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊(cè)，則今年年底的圖書數(shù)是5(1

+x)萬冊(cè)；同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2萬冊(cè).可列

得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5X2+10X-2.2=0.(2)

3.思考、討論

這樣，問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個(gè)方程都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)

方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？

（學(xué)生分組討論，然后各組交流）共同特點(diǎn)：（1）都是整式方程（2）只含有一個(gè)未知數(shù)（3）未

知數(shù)的最高次數(shù)是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的方程叫做一元二次方程）.

通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑?/p>

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數(shù)，aWO）。其中以？叫做二次項(xiàng)，。叫做二次項(xiàng)系數(shù)；法叫做一次項(xiàng)，卜叫

做一次項(xiàng)系數(shù)，。叫做常數(shù)項(xiàng)。.

三、例題講解與練習(xí)鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

x-2_］_%2

（］）3%+2=5%-3（2）%2=4（3）x+1（4）,―4=（x+2/

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

1）6y2=y2）（x-2）（x+3）=83）（%+3）（3x-4）=（x+2/

說明：一元二次方程的一般形式a/+bx+c=°（a=o）具有兩個(gè)特征：一是方程的右邊為0；二是

左邊的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生意識(shí)到：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都

是包括符號(hào)的。

3.例3方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一

次方程？

本題先由同學(xué)討論，再由教師歸納。

解：當(dāng)。W2時(shí)是一元二姿方程；當(dāng)。=2,%#0時(shí)是一元一次方程；

4.例4已知關(guān)于x的一元二次方程（m-l）x2+3x-5m+4=0有一根為2,求m。

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.練習(xí)一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

2/=2-3x2X（X-1）=3（X-5）-4⑵一以-。.=。+3）（^—2）

練習(xí)二關(guān)于x的方程（祖-3）/+〃氏+也=（）,在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一

次方程？

本課小結(jié)：

1、只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式為a/+bx+c=°一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根據(jù)一般式定義

的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的。

3、在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性和重要性。

23.2.2一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1、會(huì)用直接開平方法解形如口（］一02（aWO,ab》O）的方程；

2、靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程。

3、使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用，滲透換遠(yuǎn)方法。

教學(xué)過程：

問：怎樣解方程（x+1）=256的？

讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書。

解：1、直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2、原方程可變形為

(%+1)2-256=0

方程左邊分解因式，得

(x+1+16)(x+1-16)=0

即可(x+17)(x—15)=0

所以x+17=0,x-15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例題講解與練習(xí)鞏固

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2—4=0；(2)12(2-x)2-9=0.

分析兩個(gè)方程都可以轉(zhuǎn)化為—(aN0,ab\0)

的形式，從而用直接開平方法求解.

解(1)原方程可以變形為

(x+1)2=4,

直接開平方，得

x+l=±2.

所以原方程的解是xl=l,x2=-3.

原方程可以變形為

有.

所以原方程的解是xl=,x2=.

2、說明：(1)這時(shí)，只要把(X+D看作一個(gè)整體，就可以轉(zhuǎn)化為(b2o)型的方法去解決，這里

體現(xiàn)了整體思想。

3、練習(xí)一解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0；(2)(X-1)2-18=0；

(3)(1-3X)2=1；(4)(2x+3)2—25=0.

三、讀一■讀

四、討論、探索：解下列方程

(1)(X+2)2=3(X+2)(2)2y(y-3)=9-3y(3)(x-2)2—x+2=0

222

(4)(2X+1)=(X-1)(5)%-2x+l=49o

本課小結(jié)：

1、對(duì)于形如—A)?(aW0,ab20)的方程，只要把(》一口看作一個(gè)整體，就可轉(zhuǎn)化為/=〃(n

20)的形式用直接開平方法解。

2、當(dāng)方程出現(xiàn)相同因式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)時(shí)，切不可約去相同因式，而應(yīng)用因式分解法解。

23.2.3一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

2、使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的應(yīng)用過程中體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

使學(xué)生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程轉(zhuǎn)化為a+PY=q

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問

解下列方程，并說明解法的依據(jù)：

22

⑴3-2x=1⑵(X+1)-6=0(3)(x-2)2-1=0

通過復(fù)習(xí)提問，指出這三個(gè)方程都可以轉(zhuǎn)化為以下兩個(gè)類型：

x2=b(b20)和(x-a)2=Z?(Z?>0)

根據(jù)平方根的意義，均可用“直接開平方法”來解，如果b<0,方程就沒有實(shí)數(shù)解。

請(qǐng)說出完全平方公式。

2

(X+Q)2-x+2QX+〃2

-x2-lax+a1

o

二、引入新課

我們知道，形如X?-4=0的方程，可變形為/=A(A20),再根據(jù)平方根的意義，用直接開平方

法求解.那么，我們能否將形如/+/+。=°的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節(jié)課要解

決的問題.

三、探索：

1、例1、解下列方程：

22

X+2x=5；(2)X—4x+3=o.

思考

能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將它們轉(zhuǎn)化為

()=a的形式，應(yīng)用直接開方法求解？

2

解(1)原方程化為X+2x+l=6,(方程兩邊同時(shí)加上1)

2

(2)原方程化為x—4x+4=-3+4(方程兩邊同時(shí)加上4)

三、歸納

上面，我們把方程一一4x+3=0變形為(X—2)=i,它的左邊是一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一

個(gè)非負(fù)常數(shù).這樣，就能應(yīng)用直接開平方的方法求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程兩邊同時(shí)加上了一個(gè)數(shù)后，左邊可以用完全平方公式從而轉(zhuǎn)化為用直接開平方法求解。

那么，在方程兩邊同時(shí)加上的這個(gè)數(shù)有什么規(guī)律呢？

四、試一試：對(duì)下列各式進(jìn)行配方：

x2+8x____=(x+___2x2-10%____=(x+_2

_J;__)

2

—5x+=(x-_).%2—9x+=(x-_____)2

23)2

x—X+=(x-2

2x+bx+__—_(/■xV+1______)2

通過練習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到；配方的關(guān)鍵是在方程兩邊同時(shí)添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

五、例題講解與練習(xí)鞏固

1、例2、用配方法解下列方程：

22

(1)x—6x—7=0；(2)x+3x+l=0.

2、練習(xí)：

①.填空：

⑴/+6x+()=()⑵/-8x+()=(x-)2

22

(3)X+x+()=(x+)2；(4)4%-6x+()=4(X—)2

②用配方法解方程：

22

⑴X+8X—2=0(2)X-5x—6=0.

(3)X2+7=-6X六、試一試

用配方法解方程x2+px+q=0(p2—4q>0).

先由學(xué)生討論探索，教師再板書講解。

解：移項(xiàng)，得x2+px=-q,

PPP

配方，得X2+2?x-2+(2R=(2%

pp2-4q

即(X+2)2=4.

因?yàn)閜2—4qK)時(shí)，直接開平方，得^_______

P_J/一鈉

x+2=±2.

￡Jp2_4q

所以x=-2土2,

_.土”-4q

即x=2.

思考：這里為什么要規(guī)定p2—4qK)?

七、討論

1、如何用配方法解下列方程？

4x2—12x—1=0;

請(qǐng)你和同學(xué)討論一下：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，如何應(yīng)用配方法？

2、關(guān)鍵是把當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

先由學(xué)生討論探索，再教師板書講解。

解：(1)將方程兩邊同時(shí)除以4,得X2-3x——=0

4

移項(xiàng)，得X2-3X=-

4

313

配方，得X2-3X+(-)2=-+(-)2

242

直接開平方，得x--

22

3+癡3-癡

所以X12，X2=2

3,練習(xí)：用配方法解方程：

(1)2/—7x—2=0(2)3X2+2X-3=0.

(3)2X2-4X+5=0(原方程無實(shí)數(shù)解)

本課小結(jié)：讓學(xué)生反思本節(jié)課的解題過程，歸納小結(jié)出配方法解一元二次方程的步驟：1、把常數(shù)項(xiàng)移到

方程右邊，用二次項(xiàng)系數(shù)除方程的兩邊使新方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1；2、在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的

一半的平方，使左邊成為完全平方；

如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，用直接開平方法解之，如果右邊是個(gè)負(fù)數(shù)，則指出原方程無實(shí)根。

23.2.4一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生熟練地應(yīng)用求根公式解一元二次方程。

2、使學(xué)生經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力。

3、在探索和應(yīng)用求根公式中，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)特殊與一般的關(guān)系，滲透辯證唯物廣義觀點(diǎn)。

1、,難點(diǎn)1掌握一元二次方程的求根公式，并應(yīng)用它熟練地解一元二次方程；

2、重點(diǎn)：對(duì)文字系數(shù)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方；求根公式的結(jié)構(gòu)比較