初中數(shù)學(xué)簡單的軸對稱圖形第3課時角平分線的性質(zhì) 2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊（北師大版2024）

北師大版（2024）七年級數(shù)學(xué)下冊第五章圖形的軸對稱5.2簡單的軸對稱圖形

第3課時角平分線的性質(zhì)目錄學(xué)習目標01情景導(dǎo)入02新知探究03課本例題0405課本練習06分層練習0807課本習題課堂小結(jié)學(xué)習目標1.從軸對稱的性質(zhì)中，提煉出里面的數(shù)學(xué)思想，探索并掌握角平分線的性質(zhì)及尺規(guī)作圖的畫法.2.由具體的客觀事實，轉(zhuǎn)化成抽象的猜想證明，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思維解決問題的方法.3.經(jīng)歷猜想、驗證、歸納的學(xué)習過程，體會歸納的數(shù)學(xué)思想方法，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達與交流的習慣.情景導(dǎo)入生活中哪些地方有角的身影?請舉例說明.墻角，桌角等.新知探究角是生活中常見的圖形，角是軸對稱圖形嗎？如果是，請指出它的對稱軸.如圖，將

∠AOB

對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？OBA角兩邊能完全重合角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.強調(diào)：角平分線是一條射線，而角的對稱軸是角平分線所在的直線.嘗試思考如圖，OP是∠AOB的平分線，點C是OP上任意一點。在∠AOB的兩邊上畫出以O(shè)P所在直線為對稱軸的一組對應(yīng)點D和D'，連接CD和CD'。（1）線段CD和CD'之間有什么關(guān)系?

說說你的理由。CD=CD'。理由如下：因為OP是∠AOB的平分線，所以∠POA=∠POB。在△COD和△COD'中，DO=D'O，∠POA=∠POB，CO=CO。所以△CED≌△CED'(SAS)所以CD=CD'。（2）特別地，當CD⊥OA時，如圖所示，CD'與OB有怎樣的位置關(guān)系?為什么?CD'⊥OB。理由如下:因為CD⊥OA，所以∠ODC=90°。由(1)可知，∠OD'C=∠ODC=90°，所以CD'⊥OB。D'（2）線段CD和CD'之間還有(1)中的關(guān)系嗎?CD=CD'。改變點C的位置，線段CD和CD'還相等嗎?由此你能得到什么結(jié)論?D'角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì):幾何語言:因為點C在∠AOB的平分線上，且CD⊥OA于點D，CD′⊥OB于點D′。所以CD=CD′。思考交流如圖，已知∠AOB，如何作出它的平分線?思路：①利用性質(zhì)確定角平分線上的一個點；②連接這個點和頂點確定角平分線。假設(shè)∠AOB的平分線已作出，那么(1)這條射線有什么特征?(2)如何確定這條射線上除端點之外的一個點?這條射線在∠AOB內(nèi)部，端點是О，在這條射線上任取一點(非點O)，這一點到邊OA，OB的距離相等。提示：需要確定的點是角的對稱軸上的點，因此應(yīng)當從角兩邊進行“對稱”的操作。例題講解例

如圖，已知∠?AOB，請用尺規(guī)作∠?AOB的平分線。

請你說說這樣作的道理。角平分線的作圖依據(jù)是“SSS”.思考交流過直線上一點作已知直線的垂線與作一個平角的角平分線，這兩種尺規(guī)作圖方法有什么共同點?作一個平角的平分線的方法就是過直線上一點作已知直線的垂線的方法，不同的是平角的平分線最后是作射線，而直線的垂線最后是作直線?；仡櫡此?/p>

回顧研究等腰三角形、線段、角的過程，你運用了哪些方法?積累了哪些經(jīng)驗?概念歸納1.角的軸對稱性及角平分線的性質(zhì)類別內(nèi)容圖形依據(jù)角的軸對稱性角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸，即OP所在的直線為∠MON的對稱軸AAS角平分線的性質(zhì)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，即PE＝PF2.用尺規(guī)作角的平分線作法圖形依據(jù)(1)在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD＝OE.

(2)分別以D，E為圓心、以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C.(3)作射線OC.OC就是∠AOB的平分線SSS特別提醒1.利用“角平分線的性質(zhì)”必須要具備兩個條件：①點在角平分線上；②有過該點的角兩邊的垂線段.二者缺一不可.2.利用角平分線的性質(zhì)說明線段相等時，所要說明的線段是“垂直于角兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.隨堂練習理由：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以DC⊥BC。因為BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，所以DE=DC（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）1.如圖，BD是Rt△ABC的一條角平分線，DE⊥AB，垂足為E。你認為DE與DC相等嗎?為什么?

解：相等。【課本P133隨堂練習第1題】2.任意畫一個角，用尺規(guī)將它四等分。分層練習基礎(chǔ)題1.下列說法不正確的是(

)A

（第2題）

CA.4

B.3

C.2

D.1（第3題）

B

（第4題）

CA.

7

B.

6

C.

5

D.

4

CA.

1

B.

2

C.

3

D.

4

2.4（第6題）

1（第7題）

綜合應(yīng)用題（第9題）

B

C（第10題）A.3

B.5

C.6

D.不能確定（第11題）

C

（第11題）

2（第13題）

4

（第14題）

4（第15題）

創(chuàng)新拓展題

18.[2024太原期末]

9

習題1.如圖，在下面的等腰三角形中，∠A是頂角，分別求出它們的底角的度數(shù)。解:（1）∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°。（2）∠B=∠C=(180°-90°)÷2=45°。（3）∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°。AB2.畫一條線段AB，用尺規(guī)將它四等分。解：已知：線段AB。求作：將線段AB四等分。

3.任意畫一個三角形，用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線的位置關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么?再換一個三角形試一試。解:已知：△ABC。求作:△ABC的三條邊的垂直平分線。ABC

4.任意畫一個三角形，用尺規(guī)作三角形三個內(nèi)角的平分線。解:已知：△ABC。求作:△ABC的三個內(nèi)角的平分線。ABC

5.等腰三角形的底角可能是銳角嗎?可能是直角嗎?可能是鈍角嗎?請說明理由。解:可能是銳角，不可能是直角或鈍角。6.在等腰三角形ABC中，已知∠A=100°，你知道這個等腰三角形的底角是多少度嗎?如果∠A=30°呢?解:∠A=100°時，底角是40°；∠A=30°時，底角是30°或75°。7.如圖，在△ABC中，AB≠AC，線段AM是它的一條中線，點P是線段AM上的一點，你認為PB與PC相等嗎?如果AB=AC呢?為什么?解:不相等。如果AB=

AC，那么PB=

PC。因為此時△ABP與△ACP關(guān)于AP所在的直線對稱，所以PB=

PC。8.在線段AB的垂直平分線上任取兩個不同的點M，N，則∠MAN和∠MBN之間有什么關(guān)系?為什么?解:∠MAN=∠MBN。理由：由題意容易得到△MAN和△MBN關(guān)于線段AB的垂直平分線對稱，所以∠MAN=∠MBN。解:

如圖，過點M作MN⊥AB于點N。因為∠CAB=60°，∠BAM

=30°，所以∠CAM=∠CAB－∠BAM=60°－30°=

30°。所以AM平分∠CAB。因為∠C=

90°，所以CM=MN

(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)9.把兩個同樣大小的含30°角的三角尺按如圖所示那樣放置，其中M是AD與BC的交點，這時MC

的長度就等于點M到AB的距離。你知道這是為什么嗎?N10.校園一角的形狀如圖(1)所示，其中AB，BC，CD表示圍墻。如圖(2)所示，小亮通過作角平分線在圖示的區(qū)域中找到了一點P，使得點P到三面墻的距離都相等。請解釋他這樣做的道理。ABCD(1)(2)解:如圖所示。過點P分別作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G。因為BP平分∠ABC，所以PE=PF。因為CP平分∠BCD，所以PF

=PG。所以PE=PF=PG?！?1.請用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解釋例3作法的道理。12.

(1)等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的底角有何特征?(2)請仿照(1)再提出一個問題。解:

（1）底角相等，且都為45°。12.

(1)等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的底角有何特征?(2)請仿照(1)再提出一個問題。解:

（1）底角相等，且都為45°。13.如圖，一張紙上有A，B，C，D四個點，請用尺規(guī)找出一點M，使得MA=MB，MC=MD。解:如圖