四年級奧數(shù)專題精講精練-巧妙求和（練習(xí)附答案）

四年級奧數(shù)專題精講精練—第8講巧妙求和（一）一、知識要點若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項。其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中項的個數(shù)稱為項數(shù)。從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項的差稱為公差。在這一章要用到兩個非常重要的公式：“通項公式”和“項數(shù)公式”。通項公式：第n項=首項+（項數(shù)－1）×公差項數(shù)公式：項數(shù)=（末項－首項）÷公差＋1二、精講精練【例題1】有一個數(shù)列：4，10，16，22.…，52.這個數(shù)列共有多少項？【思路導(dǎo)航】容易看出這是一個等差數(shù)列，公差為6，首項是4，末項是52.要求項數(shù)，可直接帶入項數(shù)公式進(jìn)行計算。項數(shù)=（52－4）÷6＋1=9，即這個數(shù)列共有9項。練習(xí)1：1.等差數(shù)列中，首項=1.末項=39，公差=2.這個等差數(shù)列共有多少項？2.有一個等差數(shù)列：2.5，8，11.…，101.這個等差數(shù)列共有多少項？3.已知等差數(shù)列11.16，21.26，…，1001.這個等差數(shù)列共有多少項？【答案】1.（39-1）÷2+1=20項2.（101-2）÷3+1=34項3.（1001-11）÷5+1=199項【例題2】有一等差數(shù)列：3.7，11.15，……，這個等差數(shù)列的第100項是多少？【思路導(dǎo)航】這個等差數(shù)列的首項是3.公差是4，項數(shù)是100。要求第100項，可根據(jù)“末項=首項+公差×（項數(shù)－1）”進(jìn)行計算。第100項=3+4×（100－1）=399.練習(xí)2：1.一等差數(shù)列，首項=3.公差=2.項數(shù)=10，它的末項是多少？2.求1.4，7，10……這個等差數(shù)列的第30項。3.求等差數(shù)列2.6，10，14……的第100項?！敬鸢浮?.末項是212.1+（30-1）×3=883.2+（100-1）×4=398【例題3】有這樣一個數(shù)列：1.2.3.4，…，99，100。請求出這個數(shù)列所有項的和?！舅悸穼?dǎo)航】如果我們把1.2.3.4，…，99，100與列100，99，…，3.2.1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內(nèi)的兩個數(shù)的和都是101.一共有100個101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.就是所求數(shù)列的和。1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的數(shù)列是一個等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2這個公式也叫做等差數(shù)列求和公式。練習(xí)3：計算下面各題。（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【答案】（1）1275（2）2835（3）3280【例題4】求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和?！舅悸穼?dǎo)航】這個數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項數(shù)是多少：項數(shù)=（末項－首項）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首項=2.末項=50，項數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）×25÷2=650.練習(xí)4：計算下面各題。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【答案】（1）72（2）4100（3）4185【例題5】計算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）【思路導(dǎo)航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列其實是把1～100這100個數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個等差數(shù)列，每個數(shù)列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數(shù)列中的每一項分別對應(yīng)相減，可得到50個差，再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50練習(xí)5：用簡便方法計算下面各題。（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）【答案】（1）4（2）1000（3）1000四年級奧數(shù)專題精講精練—第16講巧妙求和（二）一、知識要點某些問題，可以轉(zhuǎn)化為求若干個數(shù)的和，在解決這些問題時，同樣要先判斷是否求某個等差數(shù)列的和。如果是等差數(shù)列求和，才可用等差數(shù)列求和公式。在解決自然數(shù)的數(shù)字問題時，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點，有時可考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對，使問題得以順利解決。二、精講精練【例題1】劉俊讀一本長篇小說，他第一天讀30頁，從第二天起，他每天讀的頁數(shù)都前一天多3頁，第11天讀了60頁，正好讀完。這本書共有多少頁？【思路導(dǎo)航】根據(jù)條件“他每天讀的頁數(shù)都比前一天多3頁”可以知道他每天讀的頁數(shù)是按一定規(guī)律排列的數(shù)，即30、33、36、……57、60。要求這本書共多少頁也就是求出這列數(shù)的和。這列數(shù)是一個等差數(shù)列，首項=30，末項=60，項數(shù)=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（頁）想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？練習(xí)1：1.劉師傅做一批零件，第一天做了30個，以的每天都比前一天多做2個，第15天做了48個，正好做完。這批零件共有多少個？2.胡茜讀一本故事書，她第一天讀了20頁，從第二天起，每天讀的頁數(shù)都比前一天多5頁。最后一天讀了50頁恰好讀完，這本書共有多少頁？3.麗麗學(xué)英語單詞，第一天學(xué)會了6個，以后每天都比前一天多學(xué)1個，最后一天學(xué)會了16個。麗麗在這些天中學(xué)會了多少個英語單詞？【答案】1.（20+48）×15÷2=510（個）2.（20+50）×7÷2=245（頁）3.（6+16）×11÷2=121（個）【例題2】30把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試幾次？【思路導(dǎo)航】開第一把鎖時，如果不湊巧，試了29把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開，即開第一把鎖至多需要試29次；同理，開第二把鎖至多需試28次，開第三把鎖至多需試27次……等打開第29把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開。所以，至多需試29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。練習(xí)2：1.有80把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？2.有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次，就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個盒子里的羽毛球只數(shù)不相等？【答案】1.（79+1）×79÷2=3160（次）2.一共有7把鑰匙搞亂了3.放10只盒子至少需要0+1+2+3+……+9=45（只）44＜45，所以不能?！纠}3】某班有51個同學(xué)，畢業(yè)時每人都和其他的每個人握一次手。那么共握了多少次手？【思路導(dǎo)航】假設(shè)51個同學(xué)排成一排，第一個人依次和其他人握手，一共握了50次，第二個依次和剩下的人握手，共握了49次，第三個人握了48次。依次類推，第50個人和剩下的一人握了1次手，這樣，他們握手的次數(shù)和為：50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.練習(xí)3：1.學(xué)校進(jìn)行乒乓球賽，每個選手都要和其他所有選手各賽一場。如果有21人參加比賽，一共要進(jìn)行多少場比賽？2.在一次同學(xué)聚會中，一共到43位同學(xué)和4位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他同學(xué)握一次手。那么一共握了多少次手？3.假期里有一些同學(xué)相約每人互通兩次電話，他們一共打了78次電話，問有多少位同學(xué)相約互通電話？【答案】1.一共要進(jìn)行（20+1）×20÷2=210（場）2.（46+1）×46÷2=1081（次）3.有13位同學(xué)相約互通電話【例題4】求1～99這99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和?！舅悸穼?dǎo)航】首先應(yīng)該弄清楚這題是求99個連續(xù)自然數(shù)的數(shù)字之和，而不是求這99個數(shù)之和。為了能方便地解決問題，我們不妨把0算進(jìn)來（它不影響我們計算數(shù)字之和）計算0～99這100個數(shù)的數(shù)字之和。這100個數(shù)頭尾兩配對后每兩個數(shù)的數(shù)字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50對，所以，1～99這99個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是18×50=900。練習(xí)4：1.求1～199這199個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。2.求1～999這999個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。3.求1～3000這3000個連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。【答案】1.（1+9+9）×（200÷2）=19002.（9+9+9）×（1000÷2）135003.（2+9×3）×（3000÷2）+3=43503【例題5】求1～209這209個連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和?！舅悸穼?dǎo)航】不妨先求0～199的所有數(shù)字之和，再求200～209的所有數(shù)字之和，然后把它們合起來。0～199的所有數(shù)字之和為（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～2