河北省衡水中學2015-2016學年高一數(shù)學上學期期末試卷 理(含解析)

1、2015-2016學年河北省衡水中學高一（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在下列四個選項中，只有一個是符合題目要求的）1若角與角終邊相同，則一定有（）A+=180B+=0C=k360，kZD+=k360，kZ2已知集合M=x|1，N=x|y=lg（1x），則下列關系中正確的是（）A（RM）N=BMN=RCMND（RM）N=R3設是第二象限角，且cos=，則是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角4下列四個函數(shù)中，既是（0，）上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（）Ay=tanxBy=|sinx|Cy=cosxDy=|cosx|5已知ta

2、n=，且tan（+）=1，則tan的值為（）A7B7CD6將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個單位，向上平移1個單位，得到的函數(shù)解析式為（）Ay=sin（2x+）+1By=sin（2x）+1Cy=sin（2x+）+1Dy=sin（2x）+17函數(shù)y=Asin（x+）（0，|，xR）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式（）Ay=4sin（x）By=4sin（x）Cy=4sin（x+）Dy=4sin（x+）8在ABC中，已知lgsinAlgcosBlgsinC=lg2，則三角形一定是（）A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D鈍角三角形9已知函數(shù)f（x）=loga（x+b）的大致圖象如圖，其中a，b為常

3、數(shù)，則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是（）ABCD10若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對于D上任意n個值x1，x2，xn總滿足 f（），則稱f（x）為D的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函數(shù)，則三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為（）AB3CD311已知O為ABC內任意的一點，若對任意kR有|k|，則ABC一定是（）A直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形D不能確定12ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a：b：c=：4：3，設=cosA， =sinA，又ABC的面積為S，則=（）A SB SCSD S二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

4、13設是奇函數(shù)，則a+b的取值范圍是14函數(shù)y=3sin（x+10）+5sin（x+70）的最大值為15已知奇函f（x）數(shù)滿足f（x+1）=f（x），當x（0，1）時，f（x）=2x，則f（log210）等于16給出下列命題：存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=；函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象關于點（，0）對稱；若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關于點（，0）對稱，則k=1；在平行四邊形ABCD中，若|+|=|+|，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形則其中正確的序號是（將正確的判斷的序號都填上）三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17已知

5、cos（）=，sin（+）=，且（0，），（，），求sin（+）的值18設冪函數(shù)f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的圖象過點（1）求k，a的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值為3，求實數(shù)b的值19銳角三角形ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設向量，且（1）求角B的大??；（2）若b=1，求a+c的取值范圍20已知函數(shù)f（x）=22cos2（+x）cos2x（1）求函數(shù)f（x）在x時的增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）的對稱軸；（3）若方程f（x）k=0在x，上有解，求實數(shù)k的取值范圍21如圖，ABC中，sin=，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，B

6、D=（）求：BC的長；（）求DBC的面積22已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx）其中0，若函數(shù)f（x）=的圖象上相鄰兩對稱軸間得距離為2（1）求方程f（x）=0在區(qū)間內的解；（2）若=+，求sinx；（3）在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足（2ac）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的值域2015-2016學年河北省衡水中學高一（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在下列四個選項中，只有一個是符合題目要求的）1若角與角終邊相同，則一定有（）A+=180B+=0C=k360，kZD+=k360，kZ

7、【考點】終邊相同的角【專題】計算題；轉化思想；定義法；三角函數(shù)的求值【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示方法，直接判斷即可【解答】解：角與角終邊相同，則=+k360，kZ，故選：C【點評】本題是基礎題，考查終邊相同的角的表示方法，定義題2已知集合M=x|1，N=x|y=lg（1x），則下列關系中正確的是（）A（RM）N=BMN=RCMND（RM）N=R【考點】交、并、補集的混合運算【專題】集合【分析】求出M中不等式的解集確定出M，求出N中x的范圍確定出N，即可做出判斷【解答】解：M中的不等式，當x0時，解得：x1；當x0時，解得：x1，即x0，M=（，0）=0，可得（2）+=k，kz，再結合|，=，

8、y=4sin（x+），故選：D【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（x+）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由特殊點的坐標求出的值，屬于基礎題8在ABC中，已知lgsinAlgcosBlgsinC=lg2，則三角形一定是（）A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D鈍角三角形【考點】三角形的形狀判斷【專題】計算題【分析】由對數(shù)的運算性質可得sinA=2cosBsinC，利用三角形的內角和A=（B+C）及誘導公式及和差角公式可得B，C的關系，從而可判斷三角形的形狀【解答】解：由lgsinAlgcosBlgsinC=lg2可得sinA=2cosBsinC即sin（B+C）

9、=2sinCcosB展開可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosBsinBcosCsinCcosB=0sin（BC）=0B=CABC為等腰三角形故選：A【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質及三角函數(shù)的誘導公式、和差角公式的綜合應用，屬于中檔試題9已知函數(shù)f（x）=loga（x+b）的大致圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是（）ABCD【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質【專題】壓軸題【分析】由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象可求出a和b的范圍，再進一步判斷g（x）=ax+b的圖象即可【解答】解：由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象為減函數(shù)可知0a

10、1，f（x）=loga（x+b）的圖象由f（x）=logax向左平移可知0b1，故函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是B故選B【點評】本題考查指對函數(shù)的圖象問題，是基本題10若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對于D上任意n個值x1，x2，xn總滿足 f（），則稱f（x）為D的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函數(shù)，則三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為（）AB3CD3【考點】函數(shù)的值【專題】轉化思想；函數(shù)的性質及應用；三角函數(shù)的求值；不等式的解法及應用【分析】由凸函數(shù)的性質可得：sinA+sinB+sinC3，即可得出【解答】解：由凸函數(shù)的性質可得：sinA+sinB

11、+sinC3=，當且僅當A=B=C=時取等號sinA+sinB+sinC的最大值為故選：C【點評】本題考查了凸函數(shù)的性質、三角形內角和定理、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題11已知O為ABC內任意的一點，若對任意kR有|k|，則ABC一定是（）A直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形D不能確定【考點】三角形的形狀判斷【專題】計算題；數(shù)形結合【分析】根據(jù)題意畫出圖形，在邊BC上任取一點E，連接AE，根據(jù)已知不等式左邊絕對值里的幾何意義可得k=，再利用向量的減法運算法則化簡，根據(jù)垂線段最短可得AC與EC垂直，進而確定出三角形為直角三角形【解答】解：從幾何圖形考慮：|k|的幾何意義表示

12、：在BC上任取一點E，可得k=，|k|=|=|，又點E不論在任何位置都有不等式成立，由垂線段最短可得ACEC，即C=90，則ABC一定是直角三角形故選A【點評】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：平面向量的減法的三角形法則的應用，及平面幾何中兩點之間垂線段最短的應用，利用了數(shù)形結合的思想，要注意數(shù)學圖形的應用可以簡化基本運算12ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a：b：c=：4：3，設=cosA， =sinA，又ABC的面積為S，則=（）A SB SCSD S【考點】余弦定理；正弦定理【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形【分析】由題意，利用比例的性質及余弦定理可求co

13、sA=，結合A的范圍可求A的值，利用三角形面積公式可求三角形面積，由已知可求向量，利用平面向量的數(shù)量積的運算化簡即可得解【解答】解：由題意可設：a=x，b=4x，c=3x，x0，則由余弦定理可得：cosA=，結合A（0，），可得A=從而解得ABC的面積為S=|sinA=|，可得： =cosA=， =sinA=，可得： =|cosA=|=|=S，故選：D【點評】本題主要考查了比例的性質，余弦定理，三角形面積公式，平面向量的數(shù)量積的運算在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13設是奇函數(shù)，則a+b的取值范圍是【考點】奇函數(shù)【專題】

14、計算題【分析】由題意和奇函數(shù)的定義f（x）=f（x）求出a的值，再由對數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，則所給的區(qū)間應是定義域的子集，求出b的范圍進而求出a+b的范圍【解答】解：定義在區(qū)間（b，b）內的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，任x（b，b），f（x）=f（x），即=，=，則有，即1a2x2=14x2，解得a=2，又a2，a=2；則函數(shù)f（x）=，要使函數(shù)有意義，則0，即（1+2x）（12x）0解得：x，即函數(shù)f（x）的定義域為：（，），（b，b）（，），0b2a+b，即所求的范圍是；故答案為：【點評】本題考查了奇函數(shù)的定義以及求對數(shù)函數(shù)的定義域，利用子集關系求出b的范圍，考查了學生的運算能力和對

15、定義的運用能力14函數(shù)y=3sin（x+10）+5sin（x+70）的最大值為7【考點】三角函數(shù)的化簡求值【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值【分析】分別把（x+10）與（x+70）化為（x+4030）與（x+40+30），展開兩角和與差的三角函數(shù)，整理后利用輔助角公式化積，則答案可求【解答】解：y=3sin（x+10）+5sin（x+70）=3sin（x+4030）+5sin（x+40+30）=3+5= sin（x+40）cos（x+40）+ sin（x+40）+cos（x+40）=4sin（x+40）+cos（x+40）=7sin（x+40）+cos（x+40）=7sin7故答

16、案為：7【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，訓練了輔助角公式的應用，是中檔題15已知奇函f（x）數(shù)滿足f（x+1）=f（x），當x（0，1）時，f（x）=2x，則f（log210）等于【考點】函數(shù)的值【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用【分析】利用奇偶性與條件得出f（x）的周期，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期計算【解答】解：f（x+1）=f（x），f（x+2）=f（x+1）=f（x），函數(shù)f（x）是以2為周期的奇函數(shù)，3log2104，14+log2100，04log2101f（log210）=f（4+log210）=f（4log210）=2=故答案為：【點評】本題考查

17、了函數(shù)奇偶性與周期性的應用，找到函數(shù)周期是解題關鍵16給出下列命題：存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=；函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象關于點（，0）對稱；若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關于點（，0）對稱，則k=1；在平行四邊形ABCD中，若|+|=|+|，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形則其中正確的序號是（將正確的判斷的序號都填上）【考點】命題的真假判斷與應用【專題】探究型；簡易邏輯；推理和證明【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質，可判斷，根據(jù)向量模的幾何意義，可判斷【解答】解：sinx+cosx=sin（x+）， ，故為假命題；當x=時，2x+=，此時函數(shù)取最大值，故函數(shù)y=2

18、sin（2x+）的圖象關于直線x=對稱，故為假命題；若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關于點（，0）對稱，則，解得：k=1，故為真命題；在平行四邊形ABCD中，若|+|=|+|，即平行四邊形ABCD的兩條對角線長度相等，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形，故為真命題；故答案為：【點評】本題考查的知識點是和差角（輔助角）公式，三角函數(shù)的對稱性，向量的模，向量加法的三角形法則，難度中檔三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17已知cos（）=，sin（+）=，且（0，），（，），求sin（+）的值【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】計算題；整體思

19、想；數(shù)學模型法；三角函數(shù)的圖像與性質【分析】由、的范圍求出的范圍，結合已知求出sin（）和cos（+）的值，則sin（+）的值可求【解答】解：（，），又cos（）=，又（0，），sin（+）=，則sin（+）=sin=sin（）cos（）+cos（）sin（）=【點評】本題考查兩角和與差正弦、余弦，關鍵是“拆角、配角”思想方法的運用，是中檔題18設冪函數(shù)f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的圖象過點（1）求k，a的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值為3，求實數(shù)b的值【考點】二次函數(shù)的性質；冪函數(shù)的單調性、奇偶性及其應用【專題】分類討論；換元法；函數(shù)的性質及應用【分析】（

20、1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質進行求解即可求k，a的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值為3，利用換元法轉化一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質即可求實數(shù)b的值【解答】解：（1）設冪函數(shù)f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的圖象過點則a1=1，即a=2，此時f（x）=xk，即=2，即=2，解得k=4；（2）a=2，k=4，f（x）=x4，則h（x）=f（x）+2b+1b=x4+2bx2+1b=（x2b）2+1b+b2，設t=x2，則0t4，則函數(shù)等價為g（t）=（tb）2+1b+b2，若b0，則函數(shù)g（t）在上單調遞減，最大值為g（0）=1b=3，即b=2，滿足條件若0b4，

21、此時當t=b時，最大值為g（b）=1b+b2=3，即b2b2=0，解得b=2或b=1（舍）若b4，則函數(shù)g（t）在上單調遞增，最大值為g（4）=3b15=3，即3b=18，b=6，滿足條件綜上b=2或b=2或b=6【點評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質的應用以及一元二次函數(shù)的性質，利用換元法結合一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵注意要進行分類討論19銳角三角形ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設向量，且（1）求角B的大??；（2）若b=1，求a+c的取值范圍【考點】余弦定理的應用；平面向量共線（平行）的坐標表示；正弦定理【專題】計算題；函數(shù)思想【分析】（1）首先運用向量的平行的

22、充要條件得出邊a、b、c的一個等，通過變形為分式再結合余弦定理可得cosB=，結合B（0，）得B=；（2）根據(jù)正弦定理將a+c變形為關于角A的一個三角函數(shù)式，再結合已知條件得出A的取值范圍，在此基礎上求關于A的函數(shù)的值域，即為a+c的取值范圍【解答】解：（1）（ca）c（ba）（a+b）=0 a2+c2b2=ac 即 三角形ABC中由余弦定理，得cosB=，結合B（0，）得B=（2）B=A+C=由題意三角形是銳角三角形，得再由正弦定理： 且b=1a+c=2【點評】本題綜合了向量共線與正、余弦定理知識，解決角的取值和邊的取值范圍等問題，考查了函數(shù)應用與等價轉化的思想，屬于中檔題20已知函數(shù)f（x

23、）=22cos2（+x）cos2x（1）求函數(shù)f（x）在x時的增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）的對稱軸；（3）若方程f（x）k=0在x，上有解，求實數(shù)k的取值范圍【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；空間位置關系與距離【分析】（1）由條件化簡得到f（x）=1+2sin（2x），求出f（x）的單調遞增區(qū)間，得出結論（2）根據(jù)對稱軸的定義即可求出（3）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k在x，上有交點，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出f（x）的值域，可得k的范圍【解答】解：（1）f（x）=22cos2（+x）cos2x=1+2sin（2x），由2x，kZ，

24、得x，kZ，可得函數(shù)f（x）在x時的增區(qū)間為，（2）由2x=k+，kZ，得函數(shù)f（x）的對稱軸為x=+，kZ，（3）x，2x，即21+2sin（2x）3，要使方程f（x）k=0在x，上有解，只有k【點評】本題主要考查三角函數(shù)的化簡，正弦函數(shù)的圖象的對稱性、單調性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題21如圖，ABC中，sin=，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，BD=（）求：BC的長；（）求DBC的面積【考點】解三角形【專題】計算題【分析】（）由sin的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cosABC的值，設BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到關于a與b的關系式，記作，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分別表示出cosADB和cosBDC，由于兩角互補，得到cosADB等于cosBDC，兩個關系式互為相反數(shù)，得到a與b的另一個關系式，記作，聯(lián)立即可求出a與b的值，即可得到BC的值；（）由角ABC的范圍和cosABC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的