高一數(shù)學(xué)兩角和與差的正弦、余弦、正切知識(shí)精講（通用）

1、高一數(shù)學(xué)兩角和與差的正弦、余弦、正切【本講主要內(nèi)容】 兩角和與差的正弦、余弦、正切【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】 1. 兩角和與差的三角函數(shù)公式 2. 兩角和的余弦與正弦公式是本章各類公式的基礎(chǔ)，在這兩個(gè)公式中，兩角和的余弦公式又是基礎(chǔ)，因?yàn)閮山呛偷恼夜绞撬c誘導(dǎo)公式導(dǎo)出的。 3. 公式具有一般性，即、可為任意角，通過(guò)對(duì)展開(kāi)式進(jìn)行比較，可總結(jié)出規(guī)律：的展開(kāi)式是“異名同號(hào)”；的展開(kāi)式是“同名異號(hào)”。 公式也具有一般性，但應(yīng)明確：公式是在，時(shí)成立，否則不成立。 4. 注意公式的逆用或變形應(yīng)用 例如：， 5. 在公式的應(yīng)用中還要注意“角的演變”規(guī)律 例如：； 6. 重要結(jié)論 將化為一個(gè)角的一種三角函

2、數(shù)形式 解： 令，則： （其中角所在象限由a，b符號(hào)確定，角的值由確定） 注意：將化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)形式與本題解法，類似本題解法具有一般性，并且有記憶價(jià)值，它是解答此類問(wèn)題的基礎(chǔ)。 例如：【解題方法指導(dǎo)】 例1. 已知 求： 分析：本題運(yùn)用角的演變關(guān)系求解。根據(jù)已知中的角和欲求式子中的角的形式考慮，設(shè) 解： 或 評(píng)注：對(duì)角進(jìn)行演變是解答三角函數(shù)問(wèn)題的邏輯方法，如何對(duì)角進(jìn)行演變？主要是對(duì)照條件和結(jié)論，同學(xué)們應(yīng)該掌握常見(jiàn)的角的演變形式（前面已介紹）。再有解本題時(shí)，很容易忽略對(duì)角的范圍的確定，若漏掉這一條件，就會(huì)得出或兩組解。 例2. 計(jì)算： （1）（2） 分析：逆向使用公式，變形使用公式是化

3、簡(jiǎn)求值常用的方法，熟練地掌握公式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。 （1）解法一： 解法二： （2）解： 評(píng)述：（1）題中解法一是正用公式，使問(wèn)題得到解決，但顯得比較煩瑣。解法二是通過(guò)變換，湊出了兩角和的正切公式形式，逆用公式使問(wèn)題得以解決。 （2）題是利用公式的變形 以后在涉及到兩正切值的和與兩正切值的積的問(wèn)題中常用此變形。 還需要說(shuō)明的是：在正用、逆用、變形應(yīng)用公式解題時(shí)，由于所求的式子與公式有一定距離，應(yīng)先變形、整理，再應(yīng)用公式。 例3. 已知方程的兩根分別為，且 求的值。 分析：本題考查了兩角和三角函數(shù)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用。 解：由韋達(dá)定理得 評(píng)述：整個(gè)解題過(guò)程就是統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)的過(guò)

4、程。 其中由，如何求的值是難點(diǎn)，而將所求式子轉(zhuǎn)化為用表示的式子是關(guān)鍵，這就需要將所求式子看成是分母為“1”的分式，再把“1”用代換將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，然后將分子、分母同時(shí)除以，這樣就得到了用表示的式子。問(wèn)題得以解決。【考點(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】 兩角和與差的三角函數(shù)是三角的重要組成部分，高考試題中以考查學(xué)生利用這些公式進(jìn)行恒等變形的技能和一定的邏輯推理能力及運(yùn)算能力為主，題型有選擇題，填空題，以容易題為主，所占分值一般是5分。 但觀察近兩年的高考題，不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò)一個(gè)題目考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的高考題呈上升趨勢(shì)。 例如：已知函數(shù) （I）求f(x)的定義域。 （II）設(shè)是第四象限角，且，求的值。

5、這道題就同時(shí)考查了“三角函數(shù)定義域”；“三角函數(shù)值的符號(hào)”；“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”；“兩角和與差的三角函數(shù)公式”；“倍角公式”等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。以解答題形式出現(xiàn)，屬于中檔題分值占12分。（本題在下一講例題分析中給出詳解） 本講內(nèi)容在高考中主要考查： 三角變換的基本問(wèn)題是利用三角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，求值及三角恒等式的證明。歷年高考中，在考查三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，特別注重的是考查學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。 解決“兩角和與差的三角函數(shù)”問(wèn)題的基本思路和方法： 了解用兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型：化簡(jiǎn)題，求值題，證明題。 對(duì)公式會(huì)“

6、正用”，“逆用”，“變形使用”。 掌握變角解題的規(guī)律，學(xué)會(huì)一些拆角、湊角的技巧。 領(lǐng)悟公式與其它知識(shí)的結(jié)合使用?！镜湫屠}分析】 例4. 已知_。 分析：觀察已知條件中角的結(jié)構(gòu)和所求式子的角的結(jié)構(gòu)，本題應(yīng)這樣配湊角 解： 評(píng)注：本題主要考查兩角差的三角函數(shù)，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)中的角的關(guān)系的變換。 在解題過(guò)程中，有些同學(xué)缺乏整體思維意識(shí)，不能從整體上把握，這些角，而是將已知三角函數(shù)式展開(kāi)來(lái)做，越化越繁，導(dǎo)致最終半途而廢。 例5. 已知銳角三角形ABC中， （I）求證： （II）設(shè)AB3，求AB邊上的高 分析：，所以將已知兩式用兩角和差公式展開(kāi)，聯(lián)立成方程組，整體解出與的值，

7、再將兩式相除，即可求解。 解：（I）證明：， （II）解：三角形ABC是銳角三角形， 而 即 將tanA2tanB代入上式并整理得： 解得（舍去負(fù)值），得 設(shè)AB邊上的高為CD，如圖所示 則 又AB3，CD 所以AB邊上的高等于 評(píng)述：本小題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和、差的三角函數(shù)值以及應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。 例6. 已知為銳角，且 （I）求的值 （II）求的值 分析：觀察已知條件，兩邊同除就可得到用tan表示的式子，求出tan值即可。 解：（I）為銳角，cos0 又由 得，解得或 又為銳角，tan2 （II）為銳角，且tan2 故： 評(píng)述：本題重點(diǎn)考查同角三角函數(shù)關(guān)系式與兩角差的三角函數(shù)公

8、式的應(yīng)用。本題有兩個(gè)思路，一個(gè)是由，結(jié)合，解出sin、cos，進(jìn)而求得tan；另一個(gè)是將已知條件中sin、cos轉(zhuǎn)化為tan求值。思路一體現(xiàn)的是方程，方程組的思想，有同學(xué)用這種方法求解此題非常煩瑣，最終導(dǎo)致半途而廢。思路二體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的思想，就解答高考試題而言，思路二更有啟發(fā)性，上述的解法就是運(yùn)用的轉(zhuǎn)化的思想，顯然非常簡(jiǎn)潔，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真反思這種解法。【綜合測(cè)試】一. 選擇題 1. 已知，則等于（ ） A. B. 7C. D. 7 2. 在ABC中，若cosAcosBcosC，則下列結(jié)論一定成立的是（ ） A. sinBsinC為常數(shù) B. tanBtanC為常數(shù) C. cosBcosC為常

9、數(shù) D. cotBcotC為常數(shù) 3. 已知，且x、y為銳角，則tan(xy)的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在ABC中，若A為鈍角，則tanCtanB的值為（ ） A. 大于0且小于1B. 等于1C. 大于1D. 不能確定 5. 若等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，則sin的值為（ ） A. B. C. D. 7. 在ABC中，已知cosAcosBsinAsinB，則ABC是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形 C. 鈍角三角形D. 等腰三角形 8. 已知，則的值等于（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 9. 的值為_(kāi)。 10. 計(jì)算_。 11. 設(shè)均為

10、銳角，則_。 12. 化簡(jiǎn)_三. 解答題 13. 已知 求的值 14. 求證： 15. 已知 求的值綜合測(cè)試答案一. 選擇題 1. A 解： 故：，故選A。 2. B 解： ABC，A（BC） cosBcosCcosAcos(BC)sinBsinCcosBcosC 2cosBcosCsinBsinC 故tanBtanC2為常數(shù)，選B。 3. B 解法一：由 22得 x、y為銳角， 故：，故選B。 解法二：x、y為銳角， ， 可得出 觀察選項(xiàng)，只有B滿足條件，故選B。 4. A 解：A為鈍角，BC為銳角，B、C均為銳角 即 ，故選A。 5. C 解： ，故選C。 6. A 解法一：， 解法二： 直接求出，故選A。 7. C 解： ，故選C。 8. D 解： 故選D。二. 填空題 9. 解：誘導(dǎo)公式變角，再逆用兩角和差的正余弦切入 10. 11. 解： 12. 解法一：原式 解法二：原式 解題反思：注意公式的結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，可以?jiǎn)化計(jì)算。三. 解答題 13. 解： 又 14. 分析：由于三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，所以應(yīng)分析角之間的關(guān)系，式子中有幾個(gè)角，應(yīng)考慮這幾個(gè)角的關(guān)系，通過(guò)觀察，我們以為中心進(jìn)行考慮。 說(shuō)明：左邊 原式成立 15. 分析：先求出tan的值，再求出tan(2)的值，然后根據(jù)角的范圍及