高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.1.3 集合的基本運算素材 新人教A版必修1（通用）

1、1.1.3 集合的基本運算交、并集思想在實際中的應(yīng)用新教材高中數(shù)學(xué)（必修1）在課程標準中提到：理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。交、并集是集合的運算。準確把握交、并集思想；恰當運用交、并集的運算方法是培養(yǎng)我們從日常生活中的問題抽取到用數(shù)學(xué)符號表示的抽象、歸納的思維能力，也是培養(yǎng)我們從感性到理性的認識能力。本文就交、并集思想在實際中的應(yīng)用作些探討，供同行參考。一準確理解交、并集的定義從而直接解題例1已知集合，求，分析：利用數(shù)行結(jié)合的思想，將滿足條件的集合在數(shù)軸上一一表示出來，從而求集合的交集與并集

2、。解：利用數(shù)軸工具，畫出集合A、B的示意圖。如圖：即可以得到，例2（06江蘇高考）設(shè)A，B，C為三個集合，。則一定有：（A） （B） （C） （D）解：根據(jù)交、并集的定義與Venn圖，選擇A評：這種利用數(shù)軸或Venn圖等數(shù)形結(jié)合的方式，既簡單又直觀，是解決這類問題的基本方法。二利用交、并集的性質(zhì)確定參數(shù)的取值或取值范圍例3設(shè)，函數(shù)，求使（1）的實數(shù)a的取值范圍。（2）使的實數(shù)a的值.分析：交、并集有如下性質(zhì)：若，則若，則等解：（1）由 ，得，故：當時，解得；當或時，解得，此時，滿足；當時當，解得綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是或（2）由，得，故，即，解得評：利用交、并集的性質(zhì)，把交、并集的運算轉(zhuǎn)化

3、為集合與集合之間的子集關(guān)系的運算。三利用交、并集的的思想解決實際生活中的問題例2高一（1）班學(xué)生期終考試成績表明：（1）36人數(shù)學(xué)成績不低于80分；（2）20人物理成績不低于80分；（3）15人的人數(shù)學(xué)、物理成績不低于80分.問：有多少人這兩科成績至少有一科不低于80分？ 分析：利用Venn圖表示數(shù)學(xué)、物理不低于80分的人數(shù)的直觀圖，實質(zhì)上是求的元素的個數(shù)，從而利用方程的思想解出題中的問題.解：設(shè)數(shù)學(xué)、物理不低于80分的人數(shù)的集合分別是A、B，并用二個圓分別表示，則重疊的部分表示同時不低于80分的人數(shù)的集合。則A有36個元素，B有20個元素，有15個元素，由定義知，的元素有三部分：（1）屬于A

4、但不屬于B的元素有（36-15）個；（2）屬于B但不屬于A的元素有（20-15）個；（3）屬于A，B的公共元素有15個；故的有（36-15）+（20-15）+15=41（個元素）.評：先轉(zhuǎn)化為集合語言，再用Venn圖的直觀性是解決實際問題中交、并集有關(guān)知識的重要手段。四交、并集性質(zhì)的拓寬應(yīng)用例4某班共有學(xué)生50名，其中參加數(shù)學(xué)課外小組的學(xué)生有22名，參加物理課外小組的學(xué)生有18名，他們中同時參加數(shù)學(xué)、物理課外小組的學(xué)生有13人.問至少參加數(shù)學(xué)與物理兩個課外小組中一個的學(xué)生有多少名？數(shù)學(xué)和物理兩個課外小組都不參加的學(xué)生有多少名？分析：交、并集中元素個數(shù)有如下性質(zhì)：用card(P)表示P中元素的個

5、數(shù)，則有：card()=card(A)+ card(B)- card()card()=card(S)-card(A)- card(B)+card()card()=card(A)+ card(B)+card(C)- card()-card()-card()+card()解：設(shè)全集U=該班學(xué)生，A=該班參加數(shù)學(xué)課外小組的學(xué)生，B=該班參加物理課外小組的學(xué)生.U，A，B集合中的元素個數(shù)分別為card(U), card(A), card(B),則有card(U)= 50，card(A)= 22，card(B)=18，card()=13，至少參加數(shù)學(xué)與物理兩個課外小組中一個的學(xué)生的人數(shù)card()=card(A)+card(B)-card()=22+18-13=27. 數(shù)學(xué)和物理兩個課外小組都不參加的學(xué)生有：card(U)- card()=50-27=23.評：掌握交、并集中元素個數(shù)的性質(zhì)對解決比較復(fù)雜的交、并集的問題起到了快速而又簡潔的效果.五復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化到交、并集的領(lǐng)域，實現(xiàn)思維的升華例6設(shè)U=R，集合，若A，B，C中至少一個不是空集，求實數(shù)a的取值范圍。分析：“A，B，C中至少一個不是空集”的意義是“A不是空集或B不是空集或C不是空集”，即轉(zhuǎn)化到求A，B，C三集合不是空集的并集解：由或或分別解得：或；或，以上對應(yīng)解集取并集得評：對一些較為復(fù)雜的問題，通過集合之間的語言轉(zhuǎn)