2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（9）解答題解題策略精品教學(xué)案（通用）

1、【專題九】解答題解題策略【考情分析】高考數(shù)學(xué)解答題是在高考試卷中的第二部分（或第卷），在近幾年的高考中其題量已基本穩(wěn)定在6題，分值占總分的49.3%，幾乎占總分一半的數(shù)學(xué)解答題（通常6大題，74分）匯集了把關(guān)題和壓軸題，在高考中舉足輕重，高考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預(yù)設(shè)目標(biāo)像圓錐曲線綜合題、函數(shù)方程不等式的交匯題、三角向量的結(jié)合問題等仍將是12年高考的重點(diǎn)；預(yù)計(jì)13年高考的熱點(diǎn)：1、三角函數(shù)解答題多集中在以下幾個(gè)類型上：三角函數(shù)的化簡、求值問題；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題；涉及解三角形的三角函數(shù)問題；三角函數(shù)與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等的交匯問題。三角形中的邊角關(guān)系特別是正余弦定理，

2、它是三角形本身內(nèi)在的一種確定關(guān)系。近幾年高考考查三角問題主要有兩種形式：一是求較為復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式的某些性質(zhì)、圖像的變換、值域或者最值；二是三角形中有關(guān)邊角的問題。高考試卷中將這兩種形式合二為一，這很可能會(huì)是今后命題的趨勢。對于第一種形式的問題，一般要根據(jù)角、次、名、結(jié)構(gòu)等方面，進(jìn)行三角公式變換，然后運(yùn)用整體代換思想或者結(jié)合函數(shù)思想進(jìn)行處理。對于第二種形式的問題，一般要結(jié)合正余弦定理和三角形的邊角知識進(jìn)行處理。備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該放在三角恒等式的等價(jià)變形、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正余弦定理的使用、三角形知識的掌握和靈活應(yīng)用以及三角函數(shù)常用基本思想、技能、方法方面。 2、立體幾何：多角度訓(xùn)練證明

3、平行、垂直問題；注重?cái)?shù)量關(guān)系中空間角、距離的計(jì)算與轉(zhuǎn)化；繼續(xù)關(guān)注作圖，識圖，空間想象能力。學(xué)會(huì)兩種法解題，側(cè)重于傳統(tǒng)解法。立體幾何解答題的考查近幾年基本形成一定規(guī)律，就是以棱柱、棱錐等簡單幾何體為載體考查平行、垂直的判定和性質(zhì)、角和距離的計(jì)算、表面積和體積的計(jì)算。試題的設(shè)置一般兩問或者三問，近幾年大多是兩問。若設(shè)置兩問，則第一問往往考查平行、垂直的判定和性質(zhì)（尤其垂直是重點(diǎn)）；第二問考查空間角的計(jì)算（尤其二面角是重點(diǎn)）；出現(xiàn)第三問，則一般考查空間距離的計(jì)算（尤其是點(diǎn)面距離）或者體積的計(jì)算，體積經(jīng)常也是以求空間距離為核心。其中空間角和距離的計(jì)算往往轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行。另外還要注意立體幾何探索性問

4、題的出現(xiàn)，主要是探索空間點(diǎn)的存在性。備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該放在三個(gè)方面。第一方面是掌握線線、線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)，尤其要注意平行鏈和垂直鏈知識之間的轉(zhuǎn)化。第二方面是掌握空間角和距離的求法。在空間角中，異面直線所成角要注意定義法和補(bǔ)形法；線面角要注意定義法和點(diǎn)面距離法；二面角要注意三垂線定理法和射影面積法。至于空間距離，要著重注意線面距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離的求法以及等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)面距離。第三方面是注意立體幾何常用的思想方法和解題技巧：方程思想（特別適用于解探索性問題）、轉(zhuǎn)化思想、空間問題平面化思想。3、概率與統(tǒng)計(jì)：概率作為近幾年應(yīng)用問題的考查題型，幾乎是不變的準(zhǔn)則（只有極

5、個(gè)別省市尋求變化沒出現(xiàn)），注意圖表意識，向統(tǒng)計(jì)方向轉(zhuǎn)移這一點(diǎn)在有些省市高考試題中已有體現(xiàn)；準(zhǔn)確識別概率模型；掌握事件間的運(yùn)算關(guān)系；熟悉常見的離散型隨機(jī)變量的分布列并準(zhǔn)確計(jì)算出期望。近幾年概率統(tǒng)計(jì)問題經(jīng)常結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考查，是近幾年的熱點(diǎn)。預(yù)計(jì)2020年仍將突出概率應(yīng)用題的考查，主要分兩個(gè)層次：文科主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的計(jì)算方法以及運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力；理科主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差的計(jì)算。離散型隨機(jī)變量的分布列與正態(tài)分布的內(nèi)容在近幾年的考查中得到了加強(qiáng)，估計(jì)2020年不僅不會(huì)減弱對的考查，而且還很可能加大對正

6、態(tài)分布的考查，提醒同學(xué)們注意。備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該放在掌握基本題型，搞清楚互斥事件、對立事件、等可能事件、相對獨(dú)立事件的概念和算法；掌握離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、方差的計(jì)算；注意如何抽取樣本、估計(jì)總體以及如何利用正態(tài)分布解決實(shí)際應(yīng)用問題。4、數(shù)列：把握數(shù)列的整體結(jié)構(gòu)，會(huì)求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和；數(shù)列就是一列數(shù)，可從函數(shù)與方程思想角度來理解，多用歸納，猜想，數(shù)列中經(jīng)常出現(xiàn)的一些不等式放縮問題要多總結(jié)。近幾年解答題關(guān)于數(shù)列知識的考查，重點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和及其應(yīng)用、Sn與an的關(guān)系，且這類題目多與函數(shù)、不等式、解析幾何等學(xué)科交叉命題，此類題目難度大、綜合性強(qiáng)需要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想和方法。備考復(fù)

7、習(xí)中，需要同學(xué)們注重基礎(chǔ)，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式（公比q的討論）；數(shù)列Sn與an的關(guān)系，并項(xiàng)法、裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法等常用求和方法。另外，還要注意數(shù)列知識與極限知識的結(jié)合，三種基本極限對于q的討論等知識的掌握。還有兩點(diǎn)想提醒同學(xué)們注意：一是探索性問題在數(shù)列中考查較多；二是數(shù)列應(yīng)用問題可能會(huì)在高考題目中出現(xiàn)。5、解析幾何：小題小做，多用圓錐曲線定義、性質(zhì)和平面幾何知識；大題注重通性通法，強(qiáng)化運(yùn)算代換能力，加強(qiáng)意志品質(zhì)的培養(yǎng)，注意分步得分，踩點(diǎn)得分；有向量背景的幾何問題，注意圖形特征及意義，一般情況都是坐標(biāo)表示，實(shí)施數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。與解析幾何有關(guān)的試題約占試題總數(shù)的

8、六分之一。試題既堅(jiān)持了注重通性通法、淡化特殊技巧的命題原則，又適度地體現(xiàn)了靈活運(yùn)用的空間，還集中考查了考生的運(yùn)算能力，真正做到了有效檢測考生對解析幾何知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度。解析幾何解答題，常常以圓錐曲線為載體，高考一般設(shè)置兩問，第一問經(jīng)?？疾閳A錐曲線的方程、定義、軌跡、離心率等基礎(chǔ)知識；第二問經(jīng)常研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長、焦點(diǎn)弦長、中點(diǎn)弦、參數(shù)范圍、最值問題等。經(jīng)常在題目設(shè)置時(shí)，結(jié)合平面向量，有時(shí)還結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識（例如切線問題），構(gòu)成知識交匯問題，綜合考查分析和解決問題的能力。備考復(fù)習(xí)時(shí)，首先應(yīng)該注意對基礎(chǔ)知識的掌握和靈活應(yīng)用，熟練掌握直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、性

9、質(zhì)；其次突出抓好高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容以及方法的復(fù)習(xí)，如軌跡問題、對稱問題、參數(shù)范圍問題、最值問題、弦長問題、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題、向量和解析幾何綜合問題等；最后還要重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)，盡可能達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程的目的。6、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式：考查求函數(shù)的解析式、定義域、值域、函數(shù)的奇偶性與周期性的問題；對函數(shù)圖象的考查；函數(shù)的單調(diào)性及最值問題；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式，函數(shù)與數(shù)列、不等式等綜合。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的觀點(diǎn)和方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)。導(dǎo)數(shù)作為新課標(biāo)新增內(nèi)容，近幾年已由解決問題的輔助地位，上升為分析問題和解決問題必不可少的工具。不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間存在千絲萬

10、縷的關(guān)系。在近幾年的高考解答題中，對于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的考查，理科基本是利用導(dǎo)數(shù)作為工具研究非初等函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、解決與方程以及不等式相關(guān)的綜合問題；文科基本上是以三次函數(shù)為載體考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值以及結(jié)合不等式考查參數(shù)的取值范圍問題。其中以參數(shù)的取值范圍問題和函數(shù)單調(diào)性、最值方面的應(yīng)用為重點(diǎn)，更多的是函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等交叉滲透命題，以導(dǎo)數(shù)、不等式為工具加以解決的綜合性題目。有時(shí)也出現(xiàn)考查解含參數(shù)不等式的解答題。備考復(fù)習(xí)中，應(yīng)將重點(diǎn)放在二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關(guān)系；基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)；原函數(shù)與反函數(shù)、原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系；不等式的基本性質(zhì)、均值不等式的

11、使用、八類不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、絕對值不等式、分式不等式、高次不等式、無理不等式、指對數(shù)不等式、三角不等式）等基本知識的熟練掌握，以及結(jié)合函數(shù)與方程的思想、分類討論思想（含參數(shù)不等式）、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，引進(jìn)變量、運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)分析問題，解決問題的能力提高上。另外，特別提醒兩點(diǎn)注意：一是函數(shù)和不等式結(jié)合，研究命題恒成立時(shí)的參數(shù)范圍問題；二是導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)不等式的證明相互結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)法證明不等式也有可能成為新的命題趨勢。還有高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型，另外,估測計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治、經(jīng)濟(jì)

12、、文化，緊扣時(shí)代的主旋律，凸顯了學(xué)科綜合的特色，是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線。多數(shù)出現(xiàn)在像理科概率中分布列的期望方差解釋實(shí)際問題、函數(shù)和數(shù)列知識及其性質(zhì)解釋、解決實(shí)際問題中?！局R歸納】在高考數(shù)學(xué)試題的三種題型中，解答題占分的比重最大，足見它在試卷中地位之重要。解答題也就是通常所說的主觀性試題，這種題型內(nèi)涵豐富，包含的試題模式靈活多變，其基本架構(gòu)是：給出一定的題設(shè)（即已知條件），然后提出一定的要求（即要達(dá)到的目的），讓考生解答。而且，“題設(shè)”和“要求”的模式則五花八門，多種多樣?？忌獯饡r(shí)，應(yīng)把已知條件作為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，進(jìn)行推理、演繹或計(jì)算，最后達(dá)到所要求的目標(biāo)，同時(shí)要

13、將整個(gè)解答過程的主要步驟和經(jīng)過，有條理、合邏輯、完整地陳述清楚。1數(shù)學(xué)綜合題的解題策略解綜合性問題的三字訣“三性”：綜合題從題設(shè)到結(jié)論，從題型到內(nèi)容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計(jì)的多樣性。在審題思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明確解題結(jié)果的終極目標(biāo)和每一步驟分項(xiàng)目標(biāo)。(2)準(zhǔn)確性：提高概念把握的準(zhǔn)確性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性。(3)隱含性：注意題設(shè)條件的隱含性。審題這第一步，不要怕慢，其實(shí)慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準(zhǔn)確性的前提和保證。“三化”：(1)問題具體化(包括抽象函數(shù)用具有相同性質(zhì)的具體函數(shù)作為代表來研究，字母用常數(shù)來代表)。即

14、把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關(guān)系具體明確，有時(shí)可畫表格或圖形，以便于把一般原理、一般規(guī)律應(yīng)用到具體的解題過程中去。(2)問題簡單化。即把綜合問題分解為與各相關(guān)知識相聯(lián)系的簡單問題，把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式。(3)問題和諧化。即強(qiáng)調(diào)變換問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式符合數(shù)或形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點(diǎn)，或者突出所涉及的各種數(shù)學(xué)對象之間的知識聯(lián)系?！叭D(zhuǎn)”：(1)語言轉(zhuǎn)換能力。每個(gè)數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語言、符號語言、圖形語言所組成。解綜合題往往需要較強(qiáng)的語言轉(zhuǎn)換能力。還需要有把普通語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的能力。(2)概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換能力。(3)

15、數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。解題中的數(shù)形結(jié)合，就是對題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合上找出解題思路。運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性，否則解題會(huì)出現(xiàn)漏洞?！叭肌保?1)思路：由于綜合題具有知識容量大，解題方法多，因此，審題時(shí)應(yīng)考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設(shè)置往往會(huì)突顯考查數(shù)學(xué)思想方法，解題時(shí)應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。(3)思辯：即在解綜合題時(shí)注意思路的選擇和運(yùn)算方法的選擇。“三聯(lián)”：(1)聯(lián)系相關(guān)知識，(2)連接相似問題，(2)聯(lián)想類似方法。2數(shù)學(xué)綜合題的解題策略求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系；（

16、2）、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題；（3）、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；（4）、評價(jià)：對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評估，對錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證.4在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。函數(shù)模型 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的一部分內(nèi)容，現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常?？蓺w結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識和方法去解決； 根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型； 運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識處理所得的函數(shù)模型。幾何模型 諸如航行、建橋、測量

17、、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，或用方程、不等式或用三角函數(shù)知識來求解；數(shù)列模型 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，諸如增長率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年（月）份有關(guān)的實(shí)際問題，大多可歸結(jié)為數(shù)列問題，即通過建立相應(yīng)的數(shù)列模型來解決.在解應(yīng)用題時(shí)，是否是數(shù)列問題一是看自變量是否與正整數(shù)有關(guān)；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律?！究键c(diǎn)例析】題型1：二次函數(shù)綜合問題例1（2020年高考（北京文）已知函數(shù)(),.(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,)處具有公共切線,求的值；(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值為28,求的取值范圍.解:(1),.因?yàn)榍€

18、與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線,所以,.即且.解得 (2)記 當(dāng)時(shí), 令,解得:,; 與在上的情況如下:1(1,2)2+00+28-43由此可知: 當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最大值為; 當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于28. 因此,的取值范圍是點(diǎn)評：三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.例2設(shè)，若，, 試證明：對于任意，有.分析：同上題，可以用來表示.解： ,

19、, . 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，問題獲證。點(diǎn)評：由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時(shí)，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。題型2：代數(shù)推理題的典例解析例3已知的單調(diào)區(qū)間；（2）若解析：（1） 對 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 ,（2）首先證明任意事實(shí)上：而 .點(diǎn)評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識又考能力的好題型 , 在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值.針對本例的求解,你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法。例4對于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù)有且只有兩

20、個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)；（3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立.解析：依題意有,化簡為 由違達(dá)定理, 得：解得 代入表達(dá)式，由得 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，（2）由題設(shè)得 （*）且 （*）由（*）與（*）兩式相減得： 解得（舍去）或，由，若這與矛盾，即是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，；（3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知,有，而當(dāng)這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，。關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上：由得0或結(jié)論成立；若，此時(shí)從而即數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立.點(diǎn)評：比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行

21、必要的反思, 學(xué)會(huì)反思才能長進(jìn)。題型3：解析幾何綜合問題例5已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且

22、僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解解析：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點(diǎn)評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性。例6已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程。分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多

23、動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的。由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可。通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)。將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y =

24、k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為： ，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.點(diǎn)評：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消

25、參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道。題型4：立體幾何應(yīng)用問題例7在邊長為a的正三角形的三個(gè)角處各剪去一個(gè)四邊形這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成的，并且這三個(gè)四邊形也全等，如圖若用剩下的部分折成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器，如圖則當(dāng)容器的高為多少時(shí)，可使這個(gè)容器的容積最大，并求出容積的最大值。 圖 圖解析：設(shè)容器的高為x則容器底面正三角形的邊長為, .當(dāng)且僅當(dāng) .故當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為點(diǎn)評：對學(xué)過導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來講，三次函數(shù)的最值問題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請做做對照. 類似的問題

26、是：某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最省（即容器的表面積最?。＠?（2020，江蘇17）請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=cm。（1）某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問應(yīng)取何值？（2）某廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值

27、。P解：設(shè)饈盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得：（1）所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值.（2）由（舍）或x=20.當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值，也是最小值.此時(shí)裝盒的高與底面邊長的比值為點(diǎn)評：解決此類問題要結(jié)合問題的實(shí)際情景，把問題分解、轉(zhuǎn)化解決。題型5：數(shù)列中的實(shí)際應(yīng)用問題例9某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?解析：設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，每年新增汽車萬輛，則，所以，當(dāng)時(shí)，

28、兩式相減得：（1）顯然，若，則，即，此時(shí)（2）若，則數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，.（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，此時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí)，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，由，得：，要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，即 對于任意正整數(shù)恒成立，解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，。點(diǎn)評：本題是2002年全國高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。例10（2020年高考（湖南文）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元,將其投入

29、生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.()用d表示a1,a2,并寫出與an的關(guān)系式;()若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).【解析】()由題意得, , . ()由()得 . 整理得 . 由題意, 解得. 故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時(shí),經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為4000元. 【點(diǎn)評】本題考查遞推數(shù)列問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力和使用數(shù)列知識分析解決實(shí)際問題的能力.

30、第一問建立數(shù)學(xué)模型,得出與an的關(guān)系式,第二問,只要把第一問中的迭代,即可以解決.由于數(shù)列知識與社會(huì)問題聯(lián)系密切，如銀行存、貸；按揭買房、買車；生產(chǎn)中的增長率等等，這些都是數(shù)列問題也都是生活中的現(xiàn)實(shí)問題，當(dāng)我們認(rèn)清本質(zhì)以后，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是等比數(shù)列問題，只是引發(fā)問題的角度不同罷了。題型6：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題例11（2020湖北理，17）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=（0x10），若不建隔熱層

31、，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與 20年的能源消耗費(fèi)用之和。（）求k的值及f(x)的表達(dá)式；（）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值。解：（）設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C（x）=，再由C（0）=8，得k=40，因此C（x）=。而建造費(fèi)用為C1（x）=6x，最后得隔熱層建造 費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f（x）=20C（x）+ C1（x）=20+6x=+6x（0x10）。（）f（x）=6，令f（x）=0，即=6，解得x=5，x=（舍去）。當(dāng)0x5時(shí)，f（x）0；當(dāng)5x0。故x=5是f（x）的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為f（5）=65

32、+=70。當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元。xOyPA點(diǎn)評：考查應(yīng)用型的函數(shù)題，第一問寫出函數(shù)表達(dá)式比較簡單，第二問考查的是導(dǎo)數(shù)的知識，較為容易。例12海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.（1）當(dāng)時(shí)，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo). 若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）問救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失

33、事船？（8分）解（1）時(shí)，P的橫坐標(biāo)xP=，代入拋物線方程中，得P的縱坐標(biāo)yP=3. 2分由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時(shí). 4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan弧度. 6分（2）設(shè)救援船的時(shí)速為海里，經(jīng)過小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為.由，整理得.10分因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)等號成立，所以，即.因此，救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船. 14分點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)、及均值不等式應(yīng)用等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力?！痉椒记伞?它的題型特點(diǎn)和考查功能決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計(jì)的多樣性。在審題時(shí)要把握好“三

34、性”。即明確目的性，提高準(zhǔn)確性，注意隱含性。解題實(shí)踐表明：條件暗示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向。一般地，解題設(shè)計(jì)要因題定法，無論是整體考慮或局部聯(lián)想，在確定方法時(shí)必須遵循的原則是：（1）熟悉化原則。（2）具體化原則。（3）簡單化原則。（4）和諧化原則。2解綜合題的基本策略是：（1）語言轉(zhuǎn)換策略。（2）數(shù)形結(jié)合策略。（3）進(jìn)退并舉策略。（4）辨證思維策略。（5）聯(lián)想遷移策略。（6）分類討論策略。由于數(shù)學(xué)問題的廣泛性，實(shí)際問題的復(fù)雜性，干擾因素的多元性，更由于實(shí)際問題的專一性，這些都給學(xué)生能讀懂題目提供的條件和要求，在陌生的情景中找出本質(zhì)的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、排

35、列、組合、概率、曲線、解三角形等問題?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、已知向量a(,1)，b(2，k)。（1）k為何值時(shí)，ab？（2）k為何值時(shí)，ab？（3）k為何值時(shí)，a、b夾角為120？2、如圖，現(xiàn)在要在一塊半徑為1m圓心角為60的扇形紙板AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在AB弧上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M,N在OB上，設(shè)BOP，YMNPQ的面積為S（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；PABOQMN（2）求S的最大值及相應(yīng)的值 3、請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四

36、棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AEFBxcm（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值4、已知橢圓C：y21，過點(diǎn)(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A、B兩點(diǎn)（1）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值5、已知f (x)axln(x)，x(e,0)，g(x)，其中e是自然常數(shù)，aR（1）討論a1時(shí), f (x)的單調(diào)性、極值；（2）求證：在（1）的條件下，|f (x)|g(x)；（3）是

37、否存在實(shí)數(shù)a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由 6、已知數(shù)列a,b,c為各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d(d0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個(gè)實(shí)數(shù)后，所得到的m3個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列an是等比數(shù)列，其公比為q（1）若a1,m1，求公差d；（2）若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，求所插入的m數(shù)的乘積（用a,c,m表示）；（3）求證：q是無理數(shù)【參考答案】1、解：（1）由k1(2)0 ，得：k2，k2時(shí)，ab；（2）由(2)k0，得：k6，k6時(shí)，ab；（3）ab(2)k 6k，a2，b，得k2，a、b夾角為1202、解：在OPQ中， OQsin，PQsin(60)SYMNPQ2SOPQOQPQsin120sinsin(60)cos(260)0606026060cos(260)10SYMNPQ30時(shí)，S的最大值為3、4、解：（）由已知得所以所以橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為（）由題