高三數(shù)學人教A版高考復習專題：第11講 函數(shù)與方程

1、第八節(jié)函數(shù)與方程 考情展望1.考查具體函數(shù)的零點個數(shù)和零點的取值范圍 .2.利用函數(shù)零 點求解參數(shù)的取值范圍.3.考查函數(shù)零點、方程的根和兩函數(shù)圖象交點橫坐標的 等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想 一、函數(shù)零點 1定義：對于函數(shù) yf(x)(xD)，把使 f(x)0 成立的實數(shù) x 叫做函數(shù) y f(x)(xD)的零點 2函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：方程 f(x)0 有實根函數(shù) yf(x)的圖象與 x 軸有交點函數(shù) yf(x)有零點 3零點存在性定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的 一條曲線，并且有 f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系 b24ac 二次函數(shù) yax2 bxc (a0

2、)的 圖象 與 x 軸的交點 零點個數(shù) (x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 無交點 0 000 二次函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)的零點分布情況 根的分布(mnp為常數(shù))圖象滿足的條件 0， b 2am， fm0 0， b 2am， fm0 x1x2m (兩根都小于 m) mx1x2 (兩根都大于 m) x1mx2 (一根大于 m，一根小于 m) f(m)0 x1，x2(m，n) (兩根位 于 m，n 之間) m2 b an， fm0， fn0 0， mx1nx2p (兩根 分別位于 m 與 n， n 與 p 之間) fm0， fn0， fp0 只有一根在 m，n 之間 0，

3、 b m 2an， 或 f(m)f(n)0 三、二分法 對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且 f(a)f(b)0 的函數(shù) yf(x)，通過不斷地 把函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二， 使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點， 進而 得到零點近似值的方法叫做二分法 1若函數(shù) f(x)x2mx1 有兩個零點，則實數(shù) m 的取值范圍是() A(1,1) C(，2)(2，) B(2,2) D(，1)(1，) 【解析】依題意， m240，m2 或 m2. 【答案】C 2在下列區(qū)間中，函數(shù) f(x)ex4x3 的零點所在的區(qū)間為() 1 A.4，0 1 1 C.4，2 1 B.0，4 1 3 D.2，4 1 【解析】

4、顯然 f(x)ex4x3 的圖象連續(xù)不間斷，又 f2 e10， 1 4 f4 e20. 1 1 由零點存在定理知，f(x)在4，2內(nèi)存在零點 【答案】C 1 1 3函數(shù) f(x)x22x的零點的個數(shù)為() A0 C2 B1 D3 1 1x 【解析】在同一平面直角坐標系內(nèi)作出 y1x2與 y22 的圖象如圖所 1 1 示，易知，兩函數(shù)圖象只有一個交點因此函數(shù) f(x)x22x只有 1 個零點 【答案】B 4已知函數(shù) f(x)x2xa 在區(qū)間(0,1)上有零點，則實數(shù) a 的取值范圍是 _ 【解析】函數(shù) f(x)x2xa 在(0,1)上遞增 由已知條件 f(0)f(1)0，即 a(a2)0，解得2

5、a0. 【答案】(2,0) 5(2013重慶高考)若 abc，則函數(shù) f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(x c)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間() A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi) C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi) 【解析】f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)， f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)， f(c)(ca)(cb)， a0，所以函數(shù) f(x)2xx32 在 (0,1)上遞增，且 f(0)10210，所以有 1 個零點 1 (2)設(shè) f(x)x32x2，則 x0是函數(shù) f(x)的零點在同一坐標系下畫出函數(shù)

6、y 1 x3與 y2x2的圖象，如圖所示 1 f(1)12110， 1 f(2)82070 f(1)f(2)0， x0(1,2) 【答案】(1)B(2)(1,2) 規(guī)律方法 1確定函數(shù) fx零點所在區(qū)間的常用方法,1解方程法：當對應 方程 fx0 易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上； 2利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù) yfx在區(qū)間a，b上的圖象 是否連續(xù)，再看是否有 fafb0.若有，則函數(shù) yfx在區(qū)間a，b內(nèi)必有零 點. 3數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交 點來判斷. 對點訓練(1)函數(shù) f(x) xcos x 在0，)內(nèi)() A沒有

7、零點 C有且僅有兩個零點 B有且僅有一個零點 D有無窮多個零點 2 (2)(2014廈門模擬)函數(shù) f(x)ln(x2)x的零點所在的大致區(qū)間是() A(1,2) C(3,4) B(2,3) D(4,5) 【解析】(1)令 f(x) xcos x0，則 xcos x，設(shè)函數(shù) y x和 ycos x，在同一坐標系下做出它們在0，)的圖象，顯然兩函數(shù)的圖象的交點有且 只有一個，所以函數(shù) f(x) xcos x 在0，)內(nèi)有且僅有一個零點 (2)由題意知函數(shù) f(x)的定義域為x|x2，排除 A. f(3)20，f(4)ln 21 320， f(5)ln 32 50， f(3)f(4)0，f(4)f

8、(5)0， 函數(shù) f(x)的零點在(3,4)之間，故選 C. 【答案】(1)B(2)C 考向二 032函數(shù)零點的應用 g(x)xe 2 已知函數(shù) x (x0) 若 g(x)m 有實數(shù)根，求 m 的取值范圍； 【思路點撥】可用基本不等式求出最值或數(shù)形結(jié)合法求解 e2 【嘗試解答】法一g(x)x x 2 e22e，等號成立的條件是 xe， 故 g(x)的值域是2e，)，因此，只需 m2e，則 g(x)m 就有零點 故當 g(x)m 有實數(shù)根時，m 的取值范圍為2e，) e2 法二作出 g(x)x x (x0)的大致圖象如圖： 可知若使 g(x)m 有零點，則只需 m2e. 故當 g(x)m 有實數(shù)

9、根時，m 的取值范圍為2e，) 規(guī)律方法 2已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路,1直接 法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； 2分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； 3數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的 圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解. 2 對點訓練(1)(2014山東省實驗中學模擬)函數(shù) f(x)2xxa 的一個零點 在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù) a 的取值范圍是() A(1,3) C(0,3) B(1,2) D(0,2) 2 xa，x0 (2)(2014撫順模擬)已知函數(shù) f(x)(aR)，若函數(shù) f(x)在

10、 R 2x1，x0 上有兩個零點，則 a 的取值范圍是() A(，1) C1,0) B(，1 D(0,1 【解析】(1)由題意可知 f(1)f(2)0，即 a(a3)0，所以 0a3. 1 (2)當 x0 時，f(x)2x1，由 f(x)0 得 x2. 要使 f(x)在 R 上有兩個零點，則必須 2xa0 在(，0上有解 又當 x(，0時，2x(0,1 故所求 a 的取值范圍是(0,1 【答案】(1)C(2)D 思想方法之七解決方程根問題的一大“利器”數(shù)形結(jié)合 利用函數(shù)處理方程解的問題，方法如下： (1)方程 f(x)a 在區(qū)間 I 上有解ay|yf(x)，xI， yf(x)與 ya 的圖象在

11、區(qū)間 I 上有交點 (2)方程 f(x)a 在區(qū)間 I 上有幾個解yf(x)與 ya 的圖象在區(qū)間 I 上有幾 個交點 一般地，在探究方程解的個數(shù)或已知解的個數(shù)求參數(shù)的范圍時，常采用轉(zhuǎn) 化與化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，從而可利用數(shù)形結(jié) 合的方法給予直觀解答 1 個示范例1 個對點練 (2014錦州模擬 )偶函數(shù) 1 f(x)滿足 f(x1)f(x1)，且在 x0,1時，f(x)x，則關(guān)于 x 的方程 f(x)10 x在 x0,4上解的個數(shù)是() A1 C3 B2 D4 【解析】根據(jù) f(x1)f(x1)可得函數(shù) f(x)的周期為 2，根據(jù)函數(shù) f(x)是 偶函數(shù)以及 f(x1)f(x1)可得 f(1x)f(1x)，所以這個函數(shù)的圖象關(guān)于直 線x1對稱 根據(jù)函數(shù)f(x)在0,1上的解析式可以畫出函數(shù)f(x)在0,4上的圖象， 1x 結(jié)合圖象可得函數(shù) f(x)10 在0,4上有 4 個解 |2 x1|，x2， (2014濟南模擬)已知函數(shù) f(x