浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）（通用）

1、浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共10小題）1. 設(shè)全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D. 2. 設(shè)純虛數(shù)z滿足=1+ai（其中i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a等于（）A. 1B. C. 2D. 3. 若x、y滿足約束條件，則的取值范圍是A. B. C. D. 4. 已知a，bR，下列四個(gè)條件中，使ab成立的充分不必要的條件是（ ）A. B. C. D. 5. 函數(shù)y=的圖象大致是（）A. B. C. D. 6. 已知函數(shù)，則（）A. ,0是的一個(gè)周期B. ,1是的一個(gè)周期C. ,1是的一個(gè)周期D. ,

2、的最小正周期不存在7. 若關(guān)于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|3t無(wú)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D. 8. 若O是ABC垂心，且，則m=（）A. B. C. D. 9. 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（|b|2|a|），定義f1（x）=maxf（t）|-1tx1，f2（x）=minf（t）|-1tx1，其中maxa，b表示a，b中的較大者，mina，b表示a，b中的較小者，下列命題正確的是（）A. 若,則B. 若,則C. 若,則D. 若,則10. 已知數(shù)列an滿足，若，設(shè)數(shù)列bn的前項(xiàng)和為Sn，則使得|S2020-k|最小的整數(shù)k的值為（）A. 0B.

3、1C. 2D. 3二、填空題（本大題共7小題）11. （1-2x）5展開(kāi)式中x3的系數(shù)為_(kāi)；所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)12. 等比數(shù)列an中，則=_，a1a2a3a4=_13. 在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則C=_；若，ABC的面積為，則a+b=_14. 已知函數(shù)，則=_，若函數(shù)g（x）=f（x）-k有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是_15. 已知x，yR且x2+y2+xy=1，則x+y+xy的最小值為_(kāi)16. 已知平面向量滿足，則的最大值為_(kāi)17. 當(dāng)x1，4時(shí)，不等式0ax3+bx2+4a4x2恒成立，則7a+b的取值范圍是_三、解答題（本大題共5小題）18. 已知函數(shù)f

4、（x）=2sinxcos（x+）+（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（）求函數(shù)f（x）在區(qū)間0，上的最大值及最小值19. 已知在ABC中，|AB|=1，|AC|=2（）若BAC的平分線與邊BC交于點(diǎn)D，求；（）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求的最小值20. 已知正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足：，其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）令，證明：21. 設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax+a，aR，其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1x2（1）求a的取值范圍；（2）證明：22. 已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2-bx-2，aR（）當(dāng)b=2時(shí)，試討論f（x）的單調(diào)性；（）若對(duì)任意的，方

5、程f（x）=0恒有2個(gè)不等的實(shí)根，求a的取值范圍答案和解析1.【答案】C【解析】解：全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21=x|x1或x-1，MP=P，MP=M故選：C先分別求出集合M，P，利用交集和并集的定義直接求解本題考查交集、并集的求法，考查交集、并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2.【答案】A【解析】解：由=1+ai，得z=，由z為純虛數(shù)，得，即a=1故選：A把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解a值本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3.【答案】D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函

6、數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是4，+）故選：D畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，畫(huà)出可行域判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵4.【答案】B【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)充要條件的定義，逐一分析給定四個(gè)條件與ab的充要關(guān)系，可得答案【解答】解：ab+1是ab的充分不必要的條件；ab-1是ab的必要不充分條件；|a|b|是ab的既不充分也不必要條件；2a2b是ab的充要條件.故選：B5.【答案】D【解析】解：當(dāng)x0時(shí)，y=xlnx，y=1+lnx，即0x

7、時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞減，當(dāng)x，函數(shù)y單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)y為偶函數(shù)，故選：D根據(jù)掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題6.【答案】B【解析】解：若x為有理數(shù)，D（D（x）=D（1）=1，若x為無(wú)理數(shù)，D（D（x）=D（0）=1，綜上D（D（x）=1，排除C，D根據(jù)函數(shù)的周期性的定義，周期不可能是0，故A錯(cuò)誤，若x為有理數(shù)，D（x+1）=1，D（x）=1，則D（x+1）=D（x），若x為無(wú)理數(shù)，D（x+1）=0，D（x）=0，則D（x+1）=D（x），綜上D（x+1）=D（x），即1是函數(shù)D（x）的一個(gè)周期，故選：B根據(jù)定義，結(jié)

8、合函數(shù)值之間的關(guān)系以及函數(shù)周期性的定義進(jìn)行判斷即可本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)值的計(jì)算以及函數(shù)周期的求解，根據(jù)條件和定義是解決本題的關(guān)鍵7.【答案】C【解析】解：|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|（x+t2-2）-（x+t2+2t-1）|=|-2t-1|=|2t+1|，關(guān)于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|3t無(wú)解等價(jià)于|2t+1|3t，或，t0，解得t1故選：C先求f（x）的最小值，然后把關(guān)于x的不等式|x+t2-2|+|x+t2+2t-1|3t無(wú)解轉(zhuǎn)化為|2t+1|3t，解不等式可得本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬中檔題8.【答案】D【解析】解：在ABC中，s

9、inBsinC0，由，得+=2m，連接CO并延長(zhǎng)交AB于D，O是ABC垂心，CDAB，=+=2m（+），兩端同乘以得+=2m（+），c2+bccosA=2m=2m|ccos0=2mbcosAcA=c2+bc=bcm，由正弦定理化為sin2C+sinBsinC=msinBsinC，cosCsinC+cosBsinC=msinBsinC，又sinC0，約去sinC，得cosC+cosB=msinB，C=-A-B=-B，cosC=cos（-B）=-cosB+sinB，代入上式，得sinB=msinB，又sinB0，約去sinB，m=故選：D利用垂心的性質(zhì)，連接CO并延長(zhǎng)交AB于D，得到CDAB，把由

10、，變形，兩端同乘以，利用數(shù)量積、正弦定理進(jìn)行整理化簡(jiǎn)得到得cosC+cosB=msinB，再把cosC化為cos（-B）整理就可以得到m的值本題考查了平面向量線性運(yùn)算、數(shù)量積、正弦定理、兩角差的余弦公式、誘導(dǎo)公式、三角形垂心性質(zhì)等知識(shí)綜合運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法屬于難題9.【答案】C【解析】解：對(duì)于A，若f1（-1）=f1（1），則f（-1）為f（x）在-1，1上的最大值，f（-1）f（1）或f（-1）=f（1）故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若f2（-1）=f2（1），則f（-1）是f（x）在-1，1上的最小值，f（-1）f（1）或f（-1）=f（1），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若f2（1）=f1（-1），則

11、f（-1）為f（x）在-1，1上的最小值，而f1（-1）=f（-1），f1（1）表示f（x）在-1，1上的最大值，f1（-1）f1（1）故C正確；對(duì)于D，若f2（1）=f1（-1），由新定義可得f1（-1）f2（-1），則f2（1）f2（-1），故D錯(cuò)誤故選：C由新定義可知f1（-1）=f2（-1）=f（-1），f（x）在-1，1上的最大值為f1（1），最小值為f2（1），即可判斷A，B，D錯(cuò)誤，C正確本題考查了對(duì)于新定義的理解和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題10.【答案】C【解析】解：an+1-an=0，a1=-，等號(hào)不成立，可得an+1an，數(shù)列an是遞增數(shù)列數(shù)列an滿足，

12、=-，bn=-數(shù)列bn的前項(xiàng)和為Sn=-+-+-=2-則使得|S2020-k|=|2-k|使得|S2020-k|最小的整數(shù)k的值為2故選：Can+1-an=0，可得數(shù)列an是遞增數(shù)列數(shù)列an滿足，可得=-，bn=-進(jìn)而得出結(jié)論本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11.【答案】-80 -1【解析】解：根據(jù)題意得，（1-2x）5展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=（-2x）r=（-2）rxr令r=3得（-2）3=-80，令x=1得所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1-2）5=-1故答案為-80，-1運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)及所有項(xiàng)系數(shù)的和可解決此問(wèn)題本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)及

13、所有項(xiàng)的系數(shù)和12.【答案】 【解析】解：等比數(shù)列an中，q=，=（）6=，a1a2a3a4=（）4（）6=4=故答案為：，推導(dǎo)出q=，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得=，a1a2a3a4=，由此能求出結(jié)果本題考查等差數(shù)列的兩項(xiàng)和的比值、四項(xiàng)積的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題13.【答案】 7【解析】解：在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，由正弦定理可得，解得，解得ab=6，cosC=，解得a=1，b=6或a=6，b=1，a+b=7故答案為：，7由正弦定理可得，從而得到，由，得ab=6，由此利用余弦定理能求出a+b本題考查三角形的角及邊長(zhǎng)的求法，涉及到

14、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題14.【答案】 0，+）【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8；由f（x）=2x+2-x-20，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，可得f（x）=2f（x+1），可知周期為1，函數(shù)值隨x的減小而增大，且f（x）min0函數(shù)g（x）=f（x）-k有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，則k0故答案為：6-8；0，+）由f（-）=2f（-）=4f（）=4（+-2）=6-8可得解；根據(jù)由f（x）=2x+2-x-20

15、，f（-x）=f（x），可知f（x）偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，可得f（x）=2f（x+1），可知周期為1，函數(shù)值隨x的減小而增大，且f（x）min0，零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題，即可求解本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題15.【答案】【解析】解：已知x，yR且x2+y2+xy=1，所以x2+y2=1-xy2xy，解得，又由已知得（x+y）2=xy+1，由于是求最小值，故可取，所以，令，則xy=t2-1，故當(dāng)時(shí)x+y+xy的最小值為，故答案為：本題已知條件二元二次方程表示平面上的一條曲線，所求式子也是二元函數(shù)最值問(wèn)題，從基本不等式角度出發(fā)，然后換元處理即可本題考查了基本不等式的性質(zhì)、換

16、元解決二元函數(shù)最值問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題16.【答案】10【解析】解：，設(shè)與的夾角為，=，cos=-1時(shí)，取得最大值10故答案為：10根據(jù)，可設(shè)與的夾角為，根據(jù)=進(jìn)行數(shù)列的運(yùn)算即可得出，從而可求出的最大值本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題17.【答案】-4，8【解析】解：當(dāng)x1，4時(shí)，不等式可化為，若a=0，則0b4，故7a+b0，4；若a0，y=，y=a-=a（1-）=a，當(dāng)x1，2，y遞減，x2，4，y遞增，可得x=1，y最大值為5a，x=2，y最小3a，故3a+b0，5a+b4，7a+b-（3a+b）+2（5a

17、+b）8，若a0，由上知，5a+b0，3a+b4，由7a+b-（3a+b）+2（5a+b-4，綜上，7a+b-4，8故答案為：-4，8當(dāng)x1，4時(shí)，不等式可化為，分三種情況討論，根據(jù)3a+b，5a+b的范圍，確定7a+b范圍考查不等式恒成立問(wèn)題，函數(shù)最值計(jì)算，線性規(guī)劃解不等式，中檔題18.【答案】解：（）函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+）+=2sinx（cosx-sinx）+=sinxcosx-sin2x+ =sin2x-+=sin（2x+）令2k+x2k+，求得k+xk+，可得函數(shù)的減區(qū)間為k+，k+，kZ（）在區(qū)間0，上，2x+，故當(dāng)2x+=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為1；當(dāng)2x+=時(shí)

18、，函數(shù)f（x）取得最小值為-【解析】（）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間0，上的最值本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題19.【答案】解：（1）AD為BAC的平分線，|AC|=2|AB|，所以|BD|=2|DC|，由B，C，D三點(diǎn)共線，所以=（2）由E為BC的中點(diǎn)，由平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)，所以=，所以由柯西不等式（）（）（2+1）2=9，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為【解析】（1）利用三點(diǎn)共線定理，求出，代入求出即可；（2）根據(jù)平行四邊形對(duì)角

19、線性質(zhì)得到=，利用柯西不等式求出最值考查三點(diǎn)共線定理，向量的運(yùn)算，平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)，柯西不等式，中檔題20.【答案】解：（）依題意，數(shù)列an為正項(xiàng)等差數(shù)列，所以a1=1，所以=1+，整理得：a2（a2+1）（a2-2）=0，所以a2=2，或a2=0（舍）或a2=-1（舍）所以數(shù)列an的公差d=2-1=1，所以an=1+（n-1）1=n；（）證明：=（-1）n-1-（-1）n，b1+b2+b3+bn=（1+）+（-）+（+）+（-1）n-1-（-1）n，）=1-1+=，命題得證【解析】（）將原式中的n換為1，2得到a1，a2的方程組，解出a1，a2的值，即可得到公差，進(jìn)而得到數(shù)列an的通項(xiàng)公

20、式；（）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，再放縮證明即可本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，放縮法證明不等式考查了運(yùn)算求解能力和推理能力，屬于中檔題21.【答案】解：（1）f（x）=ex-ax+a，f（x）=ex-a，若a0，則f（x）0，則函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾a0，令f（x）=0，則x=lna，當(dāng)f（x）0時(shí)，xlna，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)f（x）0時(shí)，xlna，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，于是當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取得極小值，函數(shù)f（x）=ex-ax+a（aR）的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0）（x1x2），f（lna）=a（2-

21、lna）0，即ae2，此時(shí)，存在1lna，f（1）=e0，存在3lnalna，f（3lna）=a3-3alna+aa3-3a2+a0，又由f（x）在（-，lna）及（lna，+）上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知ae2為所求取值范圍（2），兩式相減得a=，記=s（s0），則f（）=-=2s-（es-e-s），設(shè)g（s）=2s-（es-e-s），則g（s）=2-（es+e-s）0，g（s）是單調(diào)減函數(shù)，則有g(shù)（s）g（0）=0，而0，f（）0又f（x）=ex-a是單調(diào)增函數(shù)，且，f（）0【解析】（1）由f（x）=ex-ax+a，知f（x）=ex-a，再由a的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)交點(diǎn)求出a的取值范圍；（2）由x1、x2的關(guān)系，求出f（）0，然后再根據(jù)f（x）=ex-a的單調(diào)性，利用不等式的性質(zhì)，問(wèn)題得以證明