陜西省西安市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次質(zhì)量檢測試題 理（含解析）（通用）

1、西安市2020屆高三年級第三次質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合B和，然后計算即可.【詳解】解：；故選：D【點睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集計算，對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.2.為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化簡計算復(fù)數(shù)，然后計算模長即可.【詳解】解：，故選：D【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算，復(fù)數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析

2、】【分析】，由誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為，則故應(yīng)選C【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，合理地進(jìn)行角的變換的解題關(guān)鍵.4.已知向量，若與垂直，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量垂直可得數(shù)量積為，利用坐標(biāo)運算列出方程，即可解得的值.【詳解】因為與垂直，所以，解得故應(yīng)選B【點睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.5.過雙曲線的一個焦點作一條與其漸近線垂直的直線，垂足為，為坐標(biāo)原點，若，則此雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根據(jù)題意有：，即離心率.故選C.點睛：本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，離心率的求

3、解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出;構(gòu)造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解 6.在 中，角，的對邊分別為，若的面積和周長分別為和，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角形的面積和周長公式得出的關(guān)系式，再利用角和余弦公式得到關(guān)于的方程，可解得的值.【詳解】由題意可得，.，由余弦定理可得，解得故應(yīng)選A【點睛】本題考查利用余弦定理和面積公式解三角形.在運用余弦定理時常用到.7.如果執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按程

4、序框圖的順序得出循環(huán)結(jié)構(gòu)中每次的賦值，可發(fā)現(xiàn)的值呈現(xiàn)周期性變化，再結(jié)合循環(huán)條件可得輸出的值.【詳解】當(dāng)時，時，當(dāng)時，所以的值呈現(xiàn)周期性變化，周期為.當(dāng)時，的值與時的值相等，即.當(dāng)時，不成立，輸出故應(yīng)選D【點睛】本題考查程序框圖的輸出結(jié)果.8.某小區(qū)計劃在一正六邊形花園內(nèi)均勻地栽種株花卉，如圖所示，則陰影部分能栽種的株數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意得陰影部分與正六邊形的面積比等于陰影部分栽種的花卉株數(shù)與總的花卉株數(shù)之比，則答案易得.【詳解】由題意可得陰影部分面積占正六邊形面積的，設(shè)陰影部分能栽種株，則有，解得故應(yīng)選D【點睛】本題考查抽樣的基本問題.9.將正方形

5、沿對角線折起，并使得平面垂直于平面，直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將異面直線平移到同一個三角形中，可求得異面直線所成的角.【詳解】如圖，取，的中點，分別為，則，所以或其補(bǔ)角即為所求的角.因為平面垂直于平面，所以平面，所以.設(shè)正方形邊長為，所以，則.所以.所以是等邊三角形，.所以直線與所成的角為故應(yīng)選B【點睛】本題考查異面直線所成的角.10.函數(shù)的圖象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知函數(shù)的對稱性及特殊點進(jìn)行判斷即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B，當(dāng)時，排除A；當(dāng)時，排除D故應(yīng)選C【點睛】函數(shù)圖象的辨

6、識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.11.過拋物線的焦點且與軸垂直的直線與拋物線交于，兩點，若三角形的面積為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由拋物線方程得焦點坐標(biāo)，得直線的方程，求出點的方程，從而可表示出三角形的面積，解出即可.【詳解】過拋物線的焦點且與軸垂直的直線與拋物線的交點為，所以.因為三角形的面積為，所以，解得.故應(yīng)選B【點睛】本題考查拋物線的方程和焦點等基本問題.12.若定義

7、在上的函數(shù)滿足且時，則方程的根的個數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意作出函數(shù)與的圖象，兩圖象的交點個數(shù)即為方程的根的個數(shù).【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).又時，所以函數(shù)的圖象如圖所示.再作出的圖象，易得兩圖象有個交點，所以方程有個零點故應(yīng)選A【點睛】本題考查函數(shù)與方程.函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)之間是可以等價轉(zhuǎn)化的.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)有極值，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】三次函數(shù)有極值，則有兩個不等的實根，則，可解得的取值范圍.【詳解】由題意可得：.若函數(shù)有極值，則一元二次方

8、程有兩個不同的實數(shù)根，所以，整理可得：，據(jù)此可知取值范圍是或【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值.函數(shù)的極值點必為導(dǎo)函數(shù)的零點，但在導(dǎo)函數(shù)的零點處函數(shù)不一定取得極值，還需驗證導(dǎo)函數(shù)驗在零點附近的正負(fù).如果三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(二次函數(shù))對應(yīng)的方程有兩個相同的實根，那么三次函數(shù)是沒有極值的.14.若實數(shù)，滿足約束條件，則最大值是_【答案】【解析】【分析】作出不等式組表示平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)所表示的直線，可得出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示：可變形為，表示斜率為的直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值，【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題.15.已知函數(shù)，對任意，將函數(shù)

9、的圖象向右平移個單位后，所得圖象關(guān)于原點中心對稱，則函數(shù)在上的值域為_【答案】【解析】【分析】先由周期性求得，由平移求得，再求三角函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】由題意知函數(shù)的周期為，即.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得：，由其圖象關(guān)于原點中心對稱，故.，故.，.，即函數(shù)在上的值域為.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，求出三角函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵.16.已知正三棱柱的各條棱長都相等，且內(nèi)接于球，若正三棱柱的體積是，則球的表面積為_【答案】【解析】【分析】先由正三棱柱的體積求出棱長，再求出球的半徑和表面積.【詳解】設(shè)，則正三棱柱的體積是，解得，底面正三角形的外接圓半徑， 所以球的半徑，所以球的表面積為

10、【點睛】本題考查棱柱的體積、球的表面積，幾何體與球的切接問題，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征求得球的半徑是解題關(guān)鍵.三、解答題（共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）17.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用可求得，利用可得出是等比數(shù)列，則可得到的通項公式.(2)根據(jù)的通項公式，可用裂項相消法求和.【詳解】（1）因為， 所以當(dāng)時，得；當(dāng)時，. 兩式相減得，所以.所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以（2）由（1）得，所以【點睛

11、】本題考查求數(shù)列的通項和前項和.18.通過隨機(jī)調(diào)查大學(xué)生在購物時是否先詢問價格得到如下列聯(lián)表：男女總計先詢問價格不先詢問價格總計（1）根據(jù)以上列聯(lián)表判斷，能否在反錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與是否先詢問價格有關(guān)系？（2）從被調(diào)查的28名不先詢問價格的大學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生調(diào)查其優(yōu)先關(guān)注哪個方面的問題，求抽到女生人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望附：【答案】（1）能；（2）.【解析】【分析】（1）由二聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算出，結(jié)合附表做出判斷；（2）取值可能為，分別計算出概率，列出分布列表格，計算出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】解：（1）由計算可得所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“性別與先詢問價格之間有關(guān)系”（

12、2）的取值可能為，的分布列為的數(shù)學(xué)期望為【點睛】本題考查了獨立性檢驗，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.19.已知橢圓：經(jīng)過點，右焦點到直線的距離為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過點作兩條互相垂直的直線 ，分別交橢圓于，兩點求證：直線恒過定點【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】(1)由題意列出關(guān)于的方程組，解得的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，可求得點的坐標(biāo)，由即可證得直線恒過定點.【詳解】（1）由題意知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：顯然直線的斜率存在設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，解得，所以，由垂直，可得直線的方程為.用替換前式中的，可得，.則

13、，所以，故直線恒過定點【點睛】本題考查橢圓的綜合問題.求橢圓方程的方法一般是解關(guān)于的方程組，是簡單題. 要證明過兩點的直線恒過第三點，相當(dāng)于證明三點共線，可由用任意兩點求得的斜率相等來證.20.如圖，在三棱柱中，平面，是的中點，（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明：連接，發(fā)現(xiàn)，求出和，并證得，又平面，所以，所以平面，證得；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，求出平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，然后計算夾角即可.【詳解】解：（1）證明：連接，因為在中，所以所以，因為所以，又平面，且平面，所以，所以平面，因為平面

14、，所以（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，取所以，即二面角的平面角的余弦值為【點睛】本題考查了直線與平面垂直的證明，空間向量求解二面角的平面角，屬于中檔題.21.已知，函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程.（2）是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求實數(shù)的取值集合；若不存在，請說明理由【答案】（1）.（2）存在實數(shù)，使得恒成立，的取值集合為【解析】【分析】(1)由斜率等于導(dǎo)數(shù)值求切線方程.(2)恒成立，則的最小值恒大于等于，從而可求得的取值集合，若無解則不存在滿足條件的實數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，所以曲線在處的切線方程為，即（2）假設(shè)

15、存在實數(shù)，使得恒成立.，令，又，則，所以有兩個不等根，不妨設(shè).所以在上遞減，在上遞增.所以成立.因為，所以，所以令，所以在上遞增，在上遞減.所以.又，所以，.代入，得，所以存在實數(shù)，使得恒成立，的取值集合為【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，恒成立問題一般可轉(zhuǎn)化為最值問題.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位，以原點為極點，以軸正半軸為極軸，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)）（1）求的直角坐標(biāo)方程和的普通方程；（2）若與有兩個不同公共點，求【答案】（1）的直角坐標(biāo)方程為，的普通方程為；（2）【解析】【分析】(1)在極坐標(biāo)方程中湊出，分別替換為即可化得直角坐標(biāo)方程.把參數(shù)方程中的消去即可得普通方程.(2)為雙曲線，為直線，求直線和雙曲線相交的弦長，聯(lián)立方程，由弦長公式即可求得.【詳解】由,可得，則，所以的直角坐標(biāo)方程為.由消去參數(shù)得的普通方程為.（2）由（l）知是雙曲線，是直線，把直線方程代入雙曲線方程消去，得.設(shè)，所以，所以【點睛】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問題.解題的一般方法是把極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，把參數(shù)方程化為普通方程，再在直角坐標(biāo)系中解