2017屆高三數(shù)學(xué)文理通用一輪復(fù)習(xí)課件：7.6 數(shù)學(xué)歸納法

1、7.6 數(shù)學(xué)歸納法,2,3,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),數(shù)學(xué)歸納法 一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n= 時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.,k+1,4,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立. ( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明. ( )

2、(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),歸納假設(shè)可以不用.( ) (4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng). ( ),5,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2,3,4,1,5,6,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2,3,4,1,5,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)的過程中,第二步假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到( ),D,解析:由條件知,等式的左邊從20,21,一直到2n-1都是連續(xù)的,則當(dāng)n=k+1時(shí),等式為1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k.,7,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2,3,4,1,5,C,8,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),

3、2,3,4,1,5,9,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2,3,1,4,5,5.(2015河北唐山一中調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明: (n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*)時(shí),從“n=k到n=k+1”時(shí),左邊應(yīng)增添的代數(shù)式為 .,2(2k+1),解析:當(dāng)n=k+1時(shí)左邊應(yīng)為 (k+1)+1(k+1)+2(k+1)+k-1(k+1)+k(k+1)+(k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2), 即從“n=k到n=k+1”時(shí),左邊應(yīng)添乘的式子是,10,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).

4、,證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=2,右邊=2,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)等式成立, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1), 那么,當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k135(2k-1)(2k+1)2 = (2k-1)(2k+1), 即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)所有nN*都成立.,11,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少. 2.由當(dāng)n=k

5、時(shí)等式成立,推出當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過程. 3.變形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆項(xiàng);(3)配方法.,12,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 例題(2015陜西高考)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2,xn的各項(xiàng)和,其中x0,nN,n2. (2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項(xiàng)和為gn(x),比較fn(x)和gn(x)的大小,并加以證明.,13,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,14,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,15,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,16,考點(diǎn)一,

6、考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,17,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,18,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,所以mk(x)mk(1)=0. 所以當(dāng)m0且m1時(shí),akbk(2kn), 又a1=b1,an+1=bn+1,故fn(x)gn(x). 綜上所述,當(dāng)x=1時(shí),fn(x)=gn(x); 當(dāng)x1時(shí),fn(x)23-1. 由此猜想:an2n-1.,26,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,27,數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題,證明過程的表述嚴(yán)格而且規(guī)范,兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),第二步中,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,當(dāng)n=k+1時(shí)一定要運(yùn)用它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”. 滿分策略 應(yīng)用數(shù)學(xué)