計(jì)算機(jī)組成原理：浮點(diǎn)數(shù)表示及運(yùn)算

1、計(jì) 算 機(jī) 組 成 原 理,浮點(diǎn)數(shù)表示及運(yùn)算,一、浮點(diǎn)數(shù)的表示,N=Rem = 2EM = 2e (m),E0,M0,91028 = 0.9 10-27 21033 = 0.2 1034 任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù) 可以寫(xiě)成 =10E （十進(jìn)制表示）,計(jì)算機(jī)中一個(gè)任意進(jìn)制數(shù) 可以寫(xiě)成,m ：尾數(shù)，是一個(gè)純小數(shù)。 e ：浮點(diǎn)的指數(shù), 是一個(gè)整數(shù)。 R ：基數(shù)，對(duì)于二進(jìn)計(jì)數(shù)值的機(jī)器是一個(gè)常數(shù)，一般規(guī)定 為2，8或16,浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍,負(fù)上溢,N=2EM |N| 產(chǎn)生正上溢或者負(fù)上溢 |N|0 產(chǎn)生正下溢或者負(fù)下溢,尾數(shù)：用定點(diǎn)小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示精度 階碼：用定點(diǎn)整數(shù)形式表示，

2、指明小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍。,一個(gè)機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)由階碼和尾數(shù)及其符號(hào)位組成：,最大正數(shù),最小正數(shù),最小負(fù)數(shù),最大負(fù)數(shù),8位定點(diǎn)小數(shù)可表示的范圍 0.0000001 - 0.1111111 1/128 - 127/128 設(shè)階碼2位，尾數(shù)4位 可表示2-11*0.0001 - 211*0.1111 0.0000001 - 111.1 設(shè)階碼3位，尾數(shù)3位 可表示2-111*0.001 - 2111*0.111 0.0000000001 - 1110000,機(jī)器字長(zhǎng)一定時(shí)，階碼越長(zhǎng)，表示范圍越大，精度越低 浮點(diǎn)數(shù)表示范圍比定點(diǎn)數(shù)大，精度高,一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)有不同的表示： 0.5； 0.

3、05101 ； 0.005 102 ； 50 10-2,為提高數(shù)據(jù)的表示精度，需做規(guī)格化處理。,浮點(diǎn)數(shù)是數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的子集合，由一個(gè)純小數(shù)乘上一個(gè)指數(shù)值來(lái)組成。,二、浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化,把不滿(mǎn)足這一表示要求的尾數(shù)，變成滿(mǎn)足這一要求的尾數(shù)的操作過(guò)程，叫作浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化處理，通過(guò)尾數(shù)移位和修改階碼實(shí)現(xiàn)。,在計(jì)算機(jī)內(nèi)，其純小數(shù)部分被稱(chēng)為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，對(duì)非 0 值的浮點(diǎn)數(shù)，要求尾數(shù)的絕對(duì)值必須 = 1/2，即尾數(shù)域的最高有效位應(yīng)為1,稱(chēng)滿(mǎn)足這種表示要求的浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化表示： 0.1000101010,規(guī)格化目的： 為了提高數(shù)據(jù)的表示精度 為了數(shù)據(jù)表示的唯一性 尾數(shù)為R進(jìn)制的規(guī)格化： 絕對(duì)值大于或等于1/R 二

4、進(jìn)制原碼的規(guī)格化數(shù)的表現(xiàn)形式：,正數(shù) 0.1xxxxxx 負(fù)數(shù) 1.0 xxxxxx,正數(shù) 0.1xxxxxx 負(fù)數(shù) 1.1xxxxxx,補(bǔ)碼尾數(shù)的規(guī)格化的表現(xiàn)形式：尾數(shù)的最高位與符號(hào)位相反。,解：12310=11110112= 0.1111011000227 7移=10000+00111 = 10111 0.1111011000補(bǔ)=0.1111011000 123浮= 1011 1 0 11 1101 1000 = BBD8H,例：對(duì)數(shù)據(jù)12310作規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的編碼，假定1位符號(hào)位，基數(shù)為2，階碼5位，采用移碼，尾數(shù)10位，采用補(bǔ)碼。,S尾數(shù)符號(hào)，0正1負(fù)； M尾數(shù), 純小數(shù)表示, 小數(shù)點(diǎn)

5、放在尾數(shù)域的最前面。采用原碼表示。 E階碼，采用“移碼”表示（移碼可表示階符）; 階符采用隱含方式，即采用移碼方法來(lái)表示正負(fù)指數(shù)。,為便于軟件移植，使用 IEEE（電氣和電子工程師協(xié)會(huì)）標(biāo)準(zhǔn)IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)：尾數(shù)用原碼；階碼用“移碼”；基為2。,三 、浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式IEEE754,規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的真值,x = (-1)s (1.) 2127 e = 127,一個(gè)規(guī)格化的32位浮點(diǎn)數(shù)的真值為：,32位浮點(diǎn)數(shù)格式：,x = ( 1)s(1.)21023,一個(gè)規(guī)格化的64位浮點(diǎn)數(shù)的真值為：,這里e是真值，是機(jī)器數(shù),1.隱藏位技術(shù),2.階碼用“移碼”偏移值127而不是128,Emin=1, Ema

6、x=254/2046,原碼非0值浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)數(shù)值最高位必定為 1，則在保存浮點(diǎn)數(shù)到內(nèi)存前，通過(guò)尾數(shù)左移, 強(qiáng)行把該位去掉, 用同樣多的位數(shù)能多存一位二進(jìn)制數(shù)，有利于提高數(shù)據(jù)表示精度，稱(chēng)這種處理方案使用了隱藏位技術(shù)。,當(dāng)然，在取回這樣的浮點(diǎn)數(shù)到運(yùn)算器執(zhí)行運(yùn)算時(shí)，必須先恢復(fù)該隱藏位。,例：若浮點(diǎn)數(shù) x 的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為(41360000)16，求其32位浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制值。,解： 0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000 數(shù)符：0 階碼：1000,0010 尾數(shù)：011,0110,0000,0000,0000,0000 指數(shù)e階碼127100000100111

7、1111 00000011=(3)10 包括隱藏位1的尾數(shù)： 1.M1.011 0110 0000 0000 0000 00001.011011,于是有 x(1)s1.M2e (1.011011)231011.011(11.375)10,例: 將十進(jìn)制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制格式來(lái)存儲(chǔ)。,解：首先分別將整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)： 20.5937510100.10011 然后移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，使其在第1，2位之間 10100.100111.01001001124 e4 于是得到： e = 127 S0，E4127131=1000,0011，M010010011 最后得到32位浮

8、點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 (41A4C000)16,解：-0.75 = -3/4 = -0.112 = -1.12-1 =(-1)1(1 + 0.1000 0000 0000 0000 0000 000)2-1 =(-1)1(1 + 0.1000 0000 0000 0000 0000 000)2126-127 s=1，E=12610 = 011111102，F(xiàn)=1000 000。 1 011,1111,0 100,0000,0000,0000,0000,0000 B F 4 0 0 0 0 0 H,例：將十進(jìn)制數(shù)-

9、0.75表示成單精度的IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)代碼。,單精度浮點(diǎn)數(shù)編碼格式,+0/-0,0,0,0/1,(-1)S (0.f) 2(-126),f (非零),0,0/1,(-1)S (1.f) 2(e-127),f,1254,0/1,- ,0,255,1,+,0,255,0,sNaN Signaling NaN,非零0 xxxx,255,0/1,NaN Not a Number,非零1xxxx,255,0/1,表示,尾數(shù),階碼,符號(hào)位,IEEE754 規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)表示范圍,Emax=2046, f=1.1111,1.111122046-1023 =21023(2-2-52),Emin=1, M=0

10、, 1.021-1023 =2-1022,雙精度,Emax=254, f=1.1111, 1.11112254-127 = 2127(2-2-23),Emin=1, M=0, 1.021-127 = 2-126,單精度,最大值,最小值,格式,設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)和, 它們分別為:,浮點(diǎn)加減法運(yùn)算,其中 Ex 和 Ey 分別為數(shù)和的階碼， Mx 和 My為數(shù)和的尾數(shù)。 兩浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加法和減法的運(yùn)算規(guī)則是: (Mx2ExEyMy)2Ey Ex 0, ExEy 若E 0, ExEy,通過(guò)尾數(shù)的移動(dòng)來(lái)改變Ex或Ey，使其相等。, 對(duì)階原則 階碼小的數(shù)向階碼大的數(shù)對(duì)齊； 對(duì)階過(guò)程小階的尾數(shù)右移，每右移一位,其

11、階碼加1(右規(guī))。,(2) 對(duì)階,(1) 0 操作數(shù)檢查,210*(0.11000)+28*(0.00110) 大階對(duì)小階 210*(0.11000)-28*(11.000) 11.000+0.00110 ? 小階對(duì)大階 28*(0.00110)-210*(0.00001) 0.00001+0.11000=0.11001,例: x=2010.1101, y=211(-0.1010), 求x+y=?,解：為便于直觀(guān)了解，兩數(shù)均以補(bǔ)碼表示，階碼、尾數(shù)均采用 雙符號(hào)位。 x補(bǔ)=00 01, 00.1101 y補(bǔ)=00 11, 11.0110 E補(bǔ)= Ex補(bǔ)Ey補(bǔ)= 00 01+11 01 = 11

12、10 E = -2, 表示Ex比Ey小2, 因此將x的尾數(shù)右移兩位. 右移一位, 得 x補(bǔ)=00 10, 00.0110 再右移一位, 得 x補(bǔ)=00 11, 00.0011 至此, E=0, 對(duì)階完畢.,尾數(shù)求和方法與定點(diǎn)加減法運(yùn)算完全一樣。 對(duì)階完畢可得: x補(bǔ)=00 11, 00.0011 y補(bǔ)=00 11, 11.0110 對(duì)尾數(shù)求和: 00.0011 + 11.0110 11.1001 即得: x+y補(bǔ)=00 11, 11.1001,(3) 尾數(shù)求和運(yùn)算,(4) 結(jié)果規(guī)格化,求和之后得到的數(shù)可能不是規(guī)格化了的數(shù), 為了增加有效數(shù)字的位數(shù), 提高運(yùn)算精度,必須將求和的結(jié)果規(guī)格化。 規(guī)格

13、化的定義:,(二進(jìn)制),對(duì)正數(shù): S=00.1 對(duì)負(fù)數(shù): S=11.0,采用雙符號(hào)位的補(bǔ)碼：,采用原碼： 正數(shù): S=0.1 負(fù)數(shù)： S=1.1 ,規(guī)格化規(guī)則,運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生溢出時(shí)，必須進(jìn)行右歸 如變形補(bǔ)碼結(jié)果出現(xiàn) 10.XX 或者 01.XXX 如運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn) 0.0XXX或 1.1XX 必須左歸 左歸時(shí)最低數(shù)據(jù)有效位補(bǔ)0 右歸時(shí)連同符號(hào)位進(jìn)位位一起右移 左歸時(shí)，階碼作減法，右歸時(shí)，階碼作加法,00.0XXXX - 00.1XXX0 左規(guī) 11.1XXXX - 11.0XXX0 左規(guī) 01.XXXXX - 00.1XXXX 右規(guī) 10.XXXXX - 11.0XXXX 右規(guī),規(guī)格化方法,例：兩

14、浮點(diǎn)數(shù) x=0.1101 210 , y=(0.1011) 201, 求x+y。,解： x補(bǔ)=00 10，00.1101 y補(bǔ)=00 01，00.1011 對(duì)階： E補(bǔ)= Ex補(bǔ)Ey補(bǔ)=00 10+ 11 11= 00 01 y向x對(duì)齊，將y的尾數(shù)右移一位，階碼加1。 y補(bǔ)=00 10，00.0101,x+y補(bǔ)=00 10，01.0010,右歸：運(yùn)算結(jié)果兩符號(hào)位不同，其絕對(duì)值大于1，右歸。 x+y補(bǔ)= 00 11，00.1001,求和： 00.1101 + 00.0101 01.0010,在對(duì)階或向右規(guī)格化時(shí), 尾數(shù)要向右移位, 這樣, 被右移的尾數(shù)的低位部分會(huì)被丟掉, 從而造成一定誤差,因此

15、要進(jìn)行舍入處理。 簡(jiǎn)單的舍入方法有兩種： “0舍1入”法 即如果右移時(shí)被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去，反之則將尾數(shù)的末位加“1”。 “恒置1”法 即只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末位恒置“1”。從概率上來(lái)說(shuō),丟掉的0和1各為1/2。,(5) 舍入處理,在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中,舍入處理提供了四種可選方法： 就近舍入 其實(shí)質(zhì)就是通常所說(shuō)的四舍五入。例如,尾數(shù)超出規(guī)定的23位的多余位數(shù)字是10010,多余位的值超過(guò)規(guī)定的最低有效位值的一半,故最低有效位應(yīng)增1。若多余的5位 是01111,則簡(jiǎn)單的截尾即可。對(duì)多余的5位10000這種特殊情況：若最低有效位現(xiàn)為0,則截尾；若最低有效位現(xiàn)為1,則向上進(jìn)一位使其變

16、為 0。 朝0舍入 即朝數(shù)軸原點(diǎn)方向舍入,就是簡(jiǎn)單的截尾。無(wú)論尾數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),截尾都使取值的絕對(duì)值比原值的絕對(duì)值小。這種方法容易導(dǎo)致誤差積累。 朝舍入 對(duì)正數(shù)來(lái)說(shuō),只要多余位不全為0則向最低有效位進(jìn)1;對(duì)負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)則是簡(jiǎn)單的截尾。 朝舍入 處理方法正好與 朝舍入情況相反。對(duì)正數(shù)來(lái)說(shuō),只要多余位不全為0則簡(jiǎn)單截尾;對(duì)負(fù)數(shù)來(lái)說(shuō),向最低有效位進(jìn)1。,(6)溢出處理,與定點(diǎn)加減法一樣，浮點(diǎn)加減運(yùn)算最后一步也需判溢出。在浮點(diǎn)規(guī)格化中已指出，當(dāng)尾數(shù)之和(差)出現(xiàn)01或10時(shí)，并不表示溢出，只有將此數(shù)右規(guī)后，再根據(jù)階碼來(lái)判斷浮點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果是否溢出。,若機(jī)器數(shù)為補(bǔ)碼，尾數(shù)為規(guī)格化形式，并假設(shè)階符取2位，階碼取

17、7位、數(shù)符取2位，尾數(shù)取n位，則它們能表示的補(bǔ)碼在數(shù)軸上的表示范圍如圖所示。,圖中A，B，a，b分別對(duì)應(yīng)最小負(fù)數(shù)、最大正數(shù)、最大負(fù)數(shù)和最小正數(shù)。它們所對(duì)應(yīng)的真值分別是： A最小負(fù)數(shù) 2+127 (-1) B最大正數(shù) 2+127 (1-2-n) a最大負(fù)數(shù) 2-128 (-2-1-2-n) b最小正數(shù) 2-128 2-1,最小負(fù)數(shù),最大正數(shù),最大負(fù)數(shù),最小正數(shù),圖中a,b之間的陰影部分，對(duì)應(yīng)階碼小于128的情況，叫做浮點(diǎn)數(shù)的下溢。下溢時(shí)浮點(diǎn)數(shù)值趨于零，故機(jī)器不做溢出處理，僅把它作為機(jī)器零。 圖中的A、B兩側(cè)陰影部分，對(duì)應(yīng)階碼大于127的情況，叫做浮點(diǎn)數(shù)的上溢。此刻，浮點(diǎn)數(shù)真正溢出，機(jī)器需停止運(yùn)算

18、，作溢出中斷處理。一般說(shuō)浮點(diǎn)溢出，均是指上溢。 可見(jiàn)，浮點(diǎn)機(jī)的溢出與否可由階碼的符號(hào)決定： 階碼j補(bǔ)=01, 為上溢，機(jī)器停止運(yùn)算，做中斷處理； 階碼j補(bǔ)=10, 為下溢，按機(jī)器零處理。,例：若某次加法操作的結(jié)果為 X+Y補(bǔ)=11.010, 00.0000110111,則應(yīng)對(duì)其進(jìn)行向左規(guī)格化操作： 尾數(shù)為： 00.1101110000 ， 階碼減4：,11.010 + 11.100 -4補(bǔ) 10.110,例：若某次加法操作的結(jié)果為 X+Y補(bǔ)=00.111, 10.1011100111,則應(yīng)對(duì)其進(jìn)行向右規(guī)格化操作： 尾數(shù)為： 11.0101110011 ， 階碼加1： 01.000 階碼超出了它

19、所能表示的最大正數(shù)（+7），表明本次浮點(diǎn)運(yùn)算產(chǎn)生了溢出。,階碼超出了它所能表示的最小負(fù)數(shù)（-8），表明本次浮點(diǎn)運(yùn)算產(chǎn)生了溢出。,例:兩浮點(diǎn)數(shù)x = 21010.11011011， y = 2111(-0.10101100)。假設(shè)尾數(shù)在計(jì)算機(jī)中以補(bǔ)碼表示，可存儲(chǔ)10位尾數(shù)，2位符號(hào)位，階碼以補(bǔ)碼表示，雙符號(hào)位,求x+y。,解：將x,y轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式 x浮 = 00 101, 00.11011011 Y浮 = 00 111, 11.01010011+1 00 111, 11.01010100 步驟1：對(duì)階，階差為Ex-Ey=Ex補(bǔ)+-Ey補(bǔ) -Ey補(bǔ)=11000111001 Ex-Ey0010

20、11100111110 （000011）000102 0 Ex-Ey0 ExEy 小階對(duì)大階， X階碼加2 X尾數(shù)右移2位,解：將x,y轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)據(jù)格式 x浮 = 00 101, 00.11011011 Y浮 = 00 111, 11.01010011+1 00 111, 11.01010100 步驟1：對(duì)階，階差為Ex-Ey=Ex補(bǔ)+-Ey補(bǔ) Ex-Ey2 0 Ex-Ey0 ExEy 小階對(duì)大階， X階碼加2 X尾數(shù)右移2位 x浮 = 00 111, 00.00110110(11) 步驟2：尾數(shù)求和 X+Y浮 = 00 111, 00.00110110(11 ) + 00 111, 11.

21、01010100 = 00 111, 11.10001010(11),步驟2：尾數(shù)求和 X+Y浮 = 00 111, 00.00110110(11) + 00 111, 11.01010100 = 00 111, 11.10001010(11) 步驟3：計(jì)算結(jié)果規(guī)格化 X+Y浮 為非規(guī)格化數(shù)，左歸一位, 階碼減一， 00110, 11.00010101(1) 步驟4：舍入處理 X+Y浮 = 00 110, 11.00010110 (0舍1如法) X+Y浮 = 00 110, 11.00010101 (截去法) 步驟5：溢出判斷 無(wú)溢出 X+Y浮 = 2110 x (-00.11101011),

22、例 設(shè)=20100.11011011, =2100 (-0.10101100), 求+。,解： 階碼采用雙符號(hào)位, 尾數(shù)采用單符號(hào)位, 則它們的浮點(diǎn)表示分別為 x浮= 00 010, 0.11011011 y浮= 00 100, 1.01010100 (1) 求階差并對(duì)階,E = Ex- Ey= Ex補(bǔ)+ -Ey補(bǔ)= 00 010 + 11 100 = 11 110,x浮00 100, 0.00110110(11),其中(11)表示M右移2位后移出的最低兩位數(shù)。,即E為-2, x的階碼小, 應(yīng)使 Mx右移兩位, Ex加2,(2)尾數(shù)求和,(4) 舍入處理,采用0舍1入法處理, 則有:,1.00010101 + 1 1.00010110,0.00110110(11) + 1.01010100 1.10001010(11),(3) 規(guī)格化處理 尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位與最高數(shù)值位為同值，應(yīng)執(zhí)行左規(guī)處理，結(jié)果為1.00010101(10)， 階碼為00 011。,(5) 判斷溢出 階碼符號(hào)位為00，不溢出，故得最終結(jié)果為 x + y = 2011 (-0.11101010),例：兩浮點(diǎn)數(shù)x = 2010.1101，y = 211(-0.1010)。假設(shè)尾數(shù)