生活中的數(shù)學(xué)――初探數(shù)學(xué)建模

1、生活中的數(shù)學(xué) 初探數(shù)學(xué)建模,汕頭市第一中學(xué) 肖朝欣,什么是數(shù)學(xué)建模,當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過(guò)計(jì)算得到的模型結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程就稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。 數(shù)學(xué)建模也稱(chēng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。,數(shù)學(xué)在各領(lǐng)域中的地位,數(shù)學(xué)建模,能用數(shù)學(xué)解決的問(wèn)題,數(shù)學(xué)理論的加工,今天我們要說(shuō)什么,目 錄,你能推算出案發(fā)時(shí)間

2、嗎？,某日凌晨一住所發(fā)生一件兇殺案，警方于6時(shí)到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后測(cè)得尸溫26，室溫17，2小時(shí)后尸溫下降了3，試根據(jù)冷卻定律建立差分方程，估計(jì)兇殺案發(fā)生的時(shí)間. 冷卻定律為 其中室溫為C，人體常溫即初始提問(wèn)為T(mén)0， 死亡后第t小時(shí)尸體溫度為T(mén)，k為可求常數(shù).,如何建模,可設(shè)正常人體溫為37 假設(shè)案發(fā)之后沒(méi)有外界環(huán)境對(duì)尸體溫度產(chǎn)生客觀影響,建模過(guò)程,使用冷卻定律作理論依據(jù)來(lái)幫助計(jì)算 列出相應(yīng)適用的數(shù)學(xué)方程,分析過(guò)程,由公式 根據(jù)題意，可將 T=23,C=17,To=26,t=2 代入上式，可求得常數(shù) 故可建立差分方程：,分析過(guò)程,Ti表示經(jīng)過(guò)第i小時(shí)尸體的溫度，借助計(jì)算機(jī)的計(jì)算我們可以得到，從凌晨開(kāi)始后

3、每隔一小時(shí)的尸體溫度狀況： 凌晨到早上6點(diǎn)尸溫的變化,描點(diǎn)作出溫度與時(shí)間的關(guān)系圖,結(jié)果分析,由上述數(shù)據(jù)，當(dāng)受害者死亡接近4小時(shí)時(shí)，尸溫接近26，而警方于6時(shí)測(cè)得尸溫為26。而當(dāng)受害者死亡接近6小時(shí)時(shí)測(cè)得尸溫約為23也與題目吻合，從而我們推測(cè)兇殺案發(fā)生的時(shí)間約為凌晨2點(diǎn)。,你能當(dāng)大預(yù)言家嗎？,建立人口增長(zhǎng)模型，用表1的數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)2010年美國(guó)的人口，并進(jìn)行模型檢驗(yàn).下表是17901990年美國(guó)每隔十年的人口記錄： 表1 美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(百萬(wàn)人),建模過(guò)程,通過(guò)使用散點(diǎn)圖，用點(diǎn) 將數(shù)據(jù)在圖象上描繪出來(lái)，觀察變化,可以借助計(jì)算機(jī)軟件等手段找到滿 足接近圖象散點(diǎn)的函數(shù)，將其表達(dá)式求出來(lái),利用擬合出來(lái)的

4、函數(shù)計(jì)算相應(yīng)的結(jié)果,描繪散點(diǎn)圖,數(shù)據(jù)處理,由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖知，美國(guó)人口數(shù)量xk隨著時(shí)間而增加。為了找到增長(zhǎng)率變化的數(shù)量規(guī)律，我們用前差公式定義美國(guó)人口數(shù)量在第k個(gè)十年的增長(zhǎng)率，即,從表格中22個(gè)數(shù)據(jù)我們應(yīng)該得到21個(gè)增長(zhǎng)率 rk(k=1,2,21)，將它們也畫(huà)成散點(diǎn)圖.,年增長(zhǎng)率的散點(diǎn)圖,擬合一次函數(shù)的效果圖,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模擬值的對(duì)照,人口增長(zhǎng)的模擬效果圖,結(jié)果猜測(cè),由以上數(shù)據(jù)的模擬整合，我們可以預(yù)測(cè)2010年美國(guó)人口數(shù)量。2010與2000年相比，其增長(zhǎng)率大概為0.12左右，而2000年的人口數(shù)量為281.4百萬(wàn)人，故可計(jì)算得2010年美國(guó)人口數(shù)量大概為305.2百萬(wàn)人。,山貓們活得好嗎？,據(jù)

5、報(bào)道，某種山貓?jiān)诮毯谩⒅械燃拜^差的自然環(huán)境下，年平均增長(zhǎng)率分別為1.68%，0.55%和-4.50%，假定開(kāi)始時(shí)有100只山貓，按以下情況討論山貓數(shù)量逐年變化過(guò)程及趨勢(shì)： （1）3種自然環(huán)境下25年的變化過(guò)程； （2）如果每年捕獲3只，會(huì)發(fā)生什么情況？山貓會(huì)滅絕嗎？如果每年只捕獲1只呢？,山貓數(shù)量的影響因素,問(wèn)題一,記第k（k=0,1,2）年山貓的數(shù)量為xk，設(shè)自然環(huán)境下的年平均增長(zhǎng)率為r，則列式得,等比數(shù)列,描繪三種條件下演變曲線,問(wèn)題一結(jié)果分析,在較差的自然環(huán)境下，山貓的數(shù)量會(huì)越來(lái)越少，最后可能將瀕于滅絕； 在中等和較好的自然環(huán)境下，由于增長(zhǎng)率大于0，即山貓數(shù)量呈幾何級(jí)數(shù)無(wú)限增長(zhǎng)，且在較好的自然環(huán)境下增長(zhǎng)得快一些。,問(wèn)題二,如果每年捕獲山貓若干只，設(shè)自然環(huán)境下的年平均增長(zhǎng)率為r，且每年捕獲的數(shù)量為b，則列式得,下面我們要分析的就是b=1和b=3兩種情況.,每年捕捉3只山貓后的演變圖,由圖形可知： 直線是向下遞減彎曲的，這說(shuō)明如果每年捕獲3只山貓，那么不管在哪種自然環(huán)境下，山貓最終都將瀕臨滅種。而且在第20年時(shí)，在較差的自然環(huán)境下，山貓就滅種了。,每年捕捉1只山貓后的演變圖,當(dāng)每年捕獲1只山貓時(shí)，由圖形可知