n階行列式的定義及性質(zhì)

1、1.3 n階行列式的定義及性質(zhì),二、 n階行列式的性質(zhì),一、 n階行列式的定義,一、n階行列式的定義,為了給出n階行列式的定義 我們要先研究三階行列式的結(jié)構(gòu),(2)各項(xiàng)所帶的正負(fù)號可以表示為(1)t 其中t為列指標(biāo)排列p1p2p3所決定（稱為p1p2p3的逆序數(shù)）,三階行列式可以寫成,其中t為排列p1p2p3的逆序數(shù) 表示對1、2、3三個數(shù)的所有排列p1p2p3取和,三階行列式的結(jié)構(gòu)一：,特別規(guī)定一階行列式|(a)|的值就是a,由n2個數(shù)aij (i j1 2 n)構(gòu)成的代數(shù)和,稱為n階行列式 記為,簡記為det(aij) 其中p1p2 pn為自然數(shù)1 2 n的一個排列 t為這個排列的逆序數(shù)

2、表示對所有排列p1p2 pn取和,在n階行列式D中 數(shù)aij為行列式D的(i j)元,n階行列式的傳統(tǒng)定義：,為了給出n階行列式的第二種定義方式 我們再進(jìn)一步研究三階行列式的結(jié)構(gòu),三階行列式的結(jié)構(gòu)二：,其中Aij(1)i jMij Mij是D去掉第i行第j列全部元素后, 按原順序排成的n1階行列式, 稱Mij為元素aij的余子式, 稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式.,n階行列式的遞歸法定義：,由n2個數(shù)aij (i j1 2 n)組成的n階行列式,是一個算式. 當(dāng)n =1時 定義D=|(a11)|= a11;,當(dāng)n2時 定義 Da11A11a12A12 a1nA1n ,余子式與代數(shù)余子式的一個

3、例子,A23(1)23M23M23,例如 已知,則a23的余子式和代數(shù)余子式分別為,方陣與行列式,設(shè),為n階方陣,則A的行列式可記為|A|或detA, 即,(3) 只有方陣才有行列式!,矩陣與行列式的區(qū)別,(1) 行列式是一個算式, 一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值.,(2) 矩陣僅僅是一個數(shù)表, 它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.,例1 證明n階下三角行列式,證,對n作數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)n=2時 結(jié)論成立.,假設(shè)結(jié)論對n1階下三角行列式成立, 則由定義得,例2 計算n階行列式(副對角線以上元素全是0),解,利用行列式定義, 可得.,遞推可得,n階行列式的性質(zhì)：,性質(zhì)1 設(shè)A為方陣,則|AT|=|A|,

4、即轉(zhuǎn)置不改變方陣的行列式.,由此性質(zhì)可知 行列式中的行與列具有同等的地位 行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立 反之亦然,性質(zhì)2(行列式按行展開法則) 行列式等于它的任一行各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i=1 2 n) ,推論(行列式按列展開法則) 行列式等于它的任一列各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和 即 Da1j A1ja2j A2j anj Anj (j=1 2 n),例 設(shè),則,(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素;,(2)A的第3列元素的余子式,正好是|AT|的第3行元素的余子式的轉(zhuǎn)置,故|A|=|AT|

5、= AT的第3行元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和 = A的第3列元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和,又對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的符號關(guān)系一致,性質(zhì)3(線性性質(zhì)） (1)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k 等于用數(shù)k乘此行列式,(2),推論 (1)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面 (2)某一行(列)的所有元素全為0的行列式其值為0.,性質(zhì)4 行列式中如果有兩行(列)完全相等 則行列式等于零,推論 行列式中如果有兩行(列)元素成比例 則行列式等于零,性質(zhì)5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去 行列式不變 即,性質(zhì)6(反對稱

6、性質(zhì)) 行列式的兩行(列)對換 行列式的值反號,證,即,初等變換與行列式,性質(zhì)3 (1),設(shè)以下A,B都是方陣.,則|B|=k|A|.,則|B|=k|A|.,性質(zhì)5,則|B|=|A|.,性質(zhì)6,則|B|=|A|.,綜上, 我們有,命題,則|A|與|B|要么同時為0, 要么同時不為0.,(2)設(shè)n階方陣A滿足|A|0, 且A經(jīng)過有限次初等行變換變 成行簡化階梯矩陣R, 則R=En.,則|B|=|A|.,則|B|=|A|.,注 在計算行列式中, 經(jīng)常需要用初等變換來“打洞”, 可以看出“打洞”中起主要作用的是性質(zhì)5.,性質(zhì)7 行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 即 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij) 或 a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij),綜合結(jié)論,則A12A22+4A32+2A42=,D=57,A21+2A22+4 A23+2 A24=,0.,例 對于n階上三角行列式, 有,提示,利用性質(zhì)1及下三角行列式的結(jié)果,上三角形