計算機圖形學 第七章 自由曲線與曲面

1、,自由曲線和曲面,曲線分類,規(guī)則曲線：可用初等解析函數來表示 如圓、橢圓、雙曲線、圓球、圓柱、圓錐等 自由曲線：以復雜方式自由變化，無法用初等解析函數來描述的光滑連續(xù)性曲線 如汽車車身、船體外殼和飛機機翼等 隨機曲線：處處連續(xù)，處處不光滑且處處不可導的非規(guī)則曲線 如地圖邊界、海岸線、水波以及超聲等,圖7-1 汽車的曲面,7.1 基本概念,7.1.1 樣條曲線曲面 7.1.2 曲線曲面的表示形式 7.1.3 擬合和逼近 7.1.4 連續(xù)性條件,7.1.1 樣條曲線曲面,在汽車制造廠里，傳統(tǒng)上采用樣條繪制曲線的形狀。繪圖員彎曲樣條（如彈性細木條）通過各型值點，其它地方自然過渡，然后沿樣條畫下曲線，

2、即得到樣條曲線（Spline Curve)。在計算機圖形學中，樣條曲線是指由多項式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件，而樣條曲面則可用兩組正交樣條曲線來描述。,7.1.2 曲線曲面的表示形式,曲線曲面的可以采用顯式方程、隱函數方程和參數方程表示： 首先看一下直線的表示形式：已知直線的起點坐標P1（x1，y1）和終點坐標P2（x2，y2）,直線的顯式方程表示為：,直線的隱函數方程表示為： 直線的參數方程表示為：,由于用參數方程表示的曲線曲面可以直接進行幾何變換，而且易于表示成矢量和矩陣，所以在計算機圖形學中一般使用參數方程來描述曲線曲面。下面以一條三次曲線為例，給出參數方程

3、的矢量和矩陣表示： 參數方程表示：,，t0,1；,矢量表示： t0,1； 矩陣表示： t0,1；,7.1.3 擬合和逼近,曲線曲面的擬合：當用一組型值點（插值點）來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點序列確定，稱為曲線曲面的擬合，如圖7-2所示。 曲線曲面的逼近：當用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點，稱為曲線曲面的逼近，如圖所示。,圖7-2 擬合曲線 圖7-3逼近曲線,7.1.4連續(xù)性條件,通常單一的曲線段或曲面片難以表達復雜的形狀，必須將一些曲線段連接成組合曲線，或將一些曲面片連接成組合曲面，才能描述復雜的形狀。為了保證在連接點處平滑過渡，需要滿足連續(xù)性條

4、件。連續(xù)性條件有兩種：參數連續(xù)性和幾何連續(xù)性。,參數連續(xù)性 零階參數連續(xù)性，記作C0，指相鄰兩個曲線段在交點處具有相同的坐標。如圖7-4所示。,圖7-4 零階連續(xù)性,一階參數連續(xù)性，記作C1，指相鄰兩個曲線段在交點處具有相同的一階導數。如圖7-5所示。,圖7-5 一階連續(xù)性,二階參數連續(xù)性，記作C2，指相鄰兩個曲線段在交點處具有相同的一階和二階導數。如圖7-6所示。,圖7-6 二階連續(xù)性,7.4 Bezier曲線,法國雷諾汽車公司的工程師Bezier和法國雪鐵龍汽車公司的de Casteljau分別提出了一種新的參數曲線表示方法，稱為Bezier曲線。,Bezier的想法從一開始就面向幾何而不

5、是面向代數。Bezier曲線由控制多邊形惟一定義，Bezier曲線只有第一個頂點和最后一個頂點落在控制多邊形上，且多邊形的第一條和最后一條邊表示了曲線在起點和終點的切矢量方向，其它頂點則用于定義曲線的導數、階次和形狀，曲線的形狀趨近于控制多邊形的形狀，改變控制多邊形的頂點位置就會改變曲線的形狀。繪制Bezier曲線的直觀交互性使得對設計對象的控制達到了直接的幾何化程度，使用起來非常方便。幾種典型的三次Bezier曲線如圖7-7所示。,幾種典型的三次Bezier曲線,7.4.1 Bezier曲線的定義 7.4.2 Bezier曲線的性質 7.4.3 Bezier曲線的可分割性,給定n+1個控制點

6、Pi（i0，1，2n），稱為n次Bezier曲線。 t0，1 式中，Pi（i0，1，2n）是控制多邊形的n+1個控制點，控制多邊形是連接n條邊構成的多邊形。是Bernstein基函數，其表達式為：,7.4.1 Bezier曲線的定義,1.一次Bezier曲線 當n1時，Bezier曲線的控制多邊形有二個控制點P0和P1，Bezier曲線是一次多項式。 可以看出，一次Bezier曲線是一段直線。,2.二次Bezier曲線 當n2時，Bezier曲線的控制多邊形有三個控制點P0、P1和P2，Bezier曲線是二次多項式。 可以證明，二次Bezier曲線是一段拋物線。,3.三次Bezier曲線 當n

7、3時，Bezier曲線的控制多邊形有四個控制點P0、P1、P2和P3，Bezier曲線是三次多項式。 可以證明，三次Bezier曲線是自由曲線。,注意：對于Bezier曲線，在區(qū)間0,1范圍內，每個基函數均不為零，說明不能使用控制多邊形對曲線的形狀進行局部調整，如果要改變某一控制點位置，整個曲線都將受到影響。,7.4.2 Bezier曲線的性質,1.端點性質 在閉區(qū)間0，1內，將t0和 t1代入式（7-12），得到p(0)P0和p(1)Pn。說明Bezier曲線的起點和終點分別位于頂點P0和Pn上。,2.一階導數 將式（7-12）求導，有 在閉區(qū)間0，1內，將t0和t1代入上式，得到 這說明B

8、ezier曲線的起點和終點的切線方向位于控制多邊形的起始邊和終止邊的切線方向上。,3.凸包性質 由公式（7-13）可以看出，在閉區(qū)間0，1內， ，而且 。說明Bezier曲線位于控制多邊形構成的凸包之內。,（4）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點 的位置有關，它不依賴坐標系的選擇。,Bezier曲線的性質,7.4.3 Bezier曲線的可分割性,Bezier曲線的可分割性可用德卡斯特里奧（De Casteliau）算法表達如下。 給定空間n+1個點Pi（i=0，1， 2n）及參數t，有,例如，當n=3時，有 三次Bezier曲線

9、遞推如下：,其中：規(guī)定：,根據該式可以繪制Bezier曲線，取t=0，t1/3，t2/3，t=1，點的運動軌跡形成Bezier曲線。圖7-8繪制的是t=1/3的點。,圖7-9繪制的是t=2/3的點。,幾何設計中，一條Bezier曲線往往難以描述復雜的曲線形狀。這是由于增加特征多邊形的頂點數，會引起B(yǎng)ezier曲線次數的提高，而高次多項式又會帶來計算上的困難，實際使用中，一般不超過10次。所以有時采用分段設計，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達到不同階幾何連續(xù)的條件。,Bezier曲線的拼接,給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應控

10、制點為Pi(i=0, 1, ., n)和Qj(j=0,1,., m)，且令 ，如圖所示，我們現在把兩條曲線連接起來。 圖 Bezier曲線的拼接,b,1,P,n-2,P,n-1,P,(t),a,n-1,a,n,P,n,Q,0,Q,1,b,2,Q,2,Q(t),Bezier曲線的拼接,（1）要使它們達到G0連續(xù)的充要條件是：Pn= Q0； （2）要使它們達到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn= Q0 ，Q1三點共線，即： （3）要使它們達到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，并滿足方程 。,Bezier曲線的拼接,Bezier曲線的繪制,繪制Bezier曲線時，可以利用其定義式，對參數t

11、選取足夠多的值，計算曲線上的一些點，然后用折線連接來近似畫出實際的曲線。隨著選取點增多，折線和曲線可以任意接近。 假設給定的四個型值點是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，則計算結果見表,( 1)特征點個數與曲線的次數有關，若給定任意n+1個控制點,可構造出一條n 次的Bezier曲線.當n值較大時,計算相當復雜。 在實際應用時,一般用分段三次Bezier曲線來實現:將多段三次Bezier曲線依次拼接起來,并保證連接處具有C1和C2連續(xù)性。 (2) Bezier曲線是一個整體的逼近方案（牽一發(fā)動全身），Bezier曲線不能局部修改。,Bezier曲線的主要

12、缺點,習 題,請利用下面給出的控制點的坐標，做三次 Brezier曲線： p0=(1,0)；p1=(5,5)；p2=(15,7)；p3=(10,2) 參數t的取值間隔為0.2。,n=3時， B0(t)=(1-t)，B1(t)=3(1-t)t，B2(t)=3(1-t)t，B3(t)=t 對于參數t的不同取值，坐標P(t)可以用下式求得： P(t) B0(t)p0 B1(t) p1 B2(t) p2 B3(t) p3,解： P(0)=1(1,0)0 (5,5)0 (15,7) 0(10,2) (1,0) P(0.2)=0.51(1,0)0.38 (5,5)0.10 (15,7) 0.01(10,2) (4.01,2.62) P(0.4)=0.22(1,0)0.43 (5,5)0.23 (15,7) 0.06(10,2) (6.42,3.88) P(0.6)=0.06(1,0)0.23 (5,5)0.43 (15,7) 0.22(10,2) (9.86,4.60) P(0.8)=0.01(1,0)0.10