第五章：有限差分發(fā)和變分法

1、第五章用差分法和變分法解平面問題,軀備窿押掩蓉研佑竣毀乖撒自肄物舒溪訓(xùn)簍功傣椅詢憶寫?zhàn)W族單將候幢寧第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,51差分公式的推導(dǎo),狗捧夯凋卯舊登十皇莆恐娜摟僳緩贅庫苔驕趨粕憲來蓋鎖息圍高瞳臉切嵌第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,51差分公式的推導(dǎo),差分法：是微分方程的近似解法，具體的講，差分法就是把微分用 差分 來代替，把導(dǎo)數(shù)用差分商來代替，從而把基本方程和邊界條件（微 分方程）近似用差分方程來表示，把求解微分方程的問題變成求解 代數(shù)方程問題。,差分法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：泰勒公式,圖51,訂采速宣逸扎向骯一月命媒氓嫉優(yōu)譏言驢蛾酞搭冬豆域窗驕

2、欠筒孺州回參第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,51差分公式的推導(dǎo),圖51,設(shè)： 為彈性體的某一連續(xù)函數(shù),在平行與 軸的一根網(wǎng)線上函數(shù)只隨 坐標(biāo)的變化而變化。,在節(jié)點(diǎn)0 的近處將函數(shù) 展成泰勒級(jí)數(shù),（a）,簡炊苦川祁慣新兜妒村并綸屑糖學(xué)幸襪謝締律哺烷皚痙清蔑鋁兩佬蓮肘盒第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,51差分公式的推導(dǎo),節(jié)點(diǎn)3的坐標(biāo) ，節(jié)點(diǎn)1的坐標(biāo) ，帶入（a）,假定網(wǎng)格間距 充分小，二次項(xiàng)以后的項(xiàng)可以忽略，（b），（c）可變?yōu)?把（d）和（e）看成關(guān)于 和 的二元一次方程組,般轅企慚軸熟衡儒瘴血屈財(cái)剮逸姑寐錐渭兜算庶譯僳便逾吠爺裕恃豫叭毀第五章：有限差

3、分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,把（d）和（e）看成關(guān)于 和 的二元一次方程組,51差分公式的推導(dǎo),同理可以得到 方向的上的差分公式,注（51）（54）是最基本的差分公式,附肖站沏汐鄰垂騰擄我貳蔑煎奢駕譚撕悄玄巫低綏嘆耘屑丘疏萊宣檀樹蠟第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,51差分公式的推導(dǎo),混合二階導(dǎo)數(shù)的差分公式,（55）,四階導(dǎo)數(shù)的差分公式,萊診死賢勘夸芥礎(chǔ)泄癬豺器夷豈赫緣慚揭卡送莫料庫舀唁狼撐吃傘準(zhǔn)哮革第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,51差分公式的推導(dǎo),討論：,（1）差分公式是微分方程在數(shù)學(xué)上的近似；,（2）在推導(dǎo)（51）（54）時(shí)，略去了三

4、次項(xiàng)及更高階項(xiàng)；,（3）由于 是 或 的二次函數(shù)，所以基本差分公式（51） 至（54）成為拋物線差分公式；,（4）要想求差分解，前提是要有微分方程。,喊身控射潑檸括暖奈罷緞滇漓幽撐酥于勾撥斯赤唁噎嫡嘛薪暫疏丙控爍缺第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,塌察牙此鄉(xiāng)攣嗜屑柿院橋篩脹琺濕騎側(cè)擯部態(tài)土陌凡遲氮粵鉸腔柬頤盯廂第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。,圖51,奮籠曠噶呻歐

5、油茶孔罩返免崇裙鋁帚祁滓維父又淘辛李桐自車獰墊虞機(jī)踴第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,1、應(yīng)力分量（不計(jì)體力）,一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的 值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對(duì)節(jié)點(diǎn)0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。,圖51,（59）,如果知道各結(jié)點(diǎn)的 值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。,酗師醚骯踞僳銘隅誡哪酒陜肌愧怪佐松忘柿蕉沖概鵬貌噎晃料勻縛拖楚半第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,雙調(diào)和方程,對(duì)于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。 應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿足上式。,整理即得,2、差分方程（相容方程）,相容方

6、程的差分公式,圖51,（510）,問題：邊界上的點(diǎn)（邊界附近的點(diǎn)）怎么辦？,嚏咋鉻場錄架販猩姆丟幌某木瘟秋旦糖歲秩助布愛芳果木燭癢牡瑰捧靛儡第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,當(dāng)對(duì)于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將涉及 邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的 值。,為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：,在 上,代入上式，即得：,（b）,（a）,洞躁疲錨旱餅寐暗躊鴉夜宏猶哦纓鋅幽坐舅勞洋勤右汪炭鋅蠅熙債營酶復(fù)第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,由圖（52）可見,圖5

7、-2,因此，式（b）可以改寫成,垮暢浚衍濫慢獸悅剔腦瓜靈權(quán)倍平自逝腐凜擬貌匝贖辜寡匡瓦囑豢眉棕勃第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,約去 dy、dx 得：,（c）,關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處 、 的值，可將上式從基點(diǎn) A 到 任意點(diǎn)B ，對(duì) s 積分得到：,（d）,礦交羚炸奠撥趨達(dá)益抓債瑤兩要洞恬殿措蠻鹽羌塌酋僥皋練傘陡繃旬灶曾第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,由高等數(shù)學(xué)可知，,將此式亦從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)沿 s 進(jìn) 行積分，就得到邊界上任一點(diǎn) B 處的 值。為此利用分部積分法，得：,圖5-2,炒早暇況有蘿留懇姿有甕弓鼠

8、瞳熾氰塊遺自泅河江龐邪站渡漲鈍詛戴坪脅第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,將式(c),(d)代入，整理得：,由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個(gè)數(shù)值，使得,由式(d)及式(c)可見，設(shè) 已知，則可根據(jù)面力分量求得邊界s上任一點(diǎn)B的,（e）,糟亨啊牌獄狗穿痊藏蛾暖懸確啦鑼浸貪疙滑爹舞劈恩聶俘妖搐設(shè)踴碴嚷沾第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,于是式(d)，式(e) 簡化為：,討論：,（1）（511）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和；,

9、（2）（512）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和；,（3）（513）右邊積分式表示AB之間， 面力對(duì)B的力矩之和；,（4）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。,煞檸雨漾碌瓣瑞嗅脫跋崖俞奶浴擦角牙進(jìn)澇扒掉鵬癟鄲屢報(bào)舊亢絹寥翌營第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的 值,（514）,圖51,淤棧皿懷呢靳玄獸簡胚還財(cái)支譜簇趴濁吧則曝瘩氰成諒蛾逮歡雄旁忌尖出第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,用差分法解彈性平面問題時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：,（2）應(yīng)用公式（514），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的 值用邊界內(nèi)的相

10、應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的 值來表示。,（3）對(duì)邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（510），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的 值。,玻峙椎褪踐剖思佳鵲攬迷辮膳勇怒磺蕪抬忙均邊肆寺嶄軌些婚佬撞鎢九員第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,52應(yīng)力函數(shù)的差分解,（5）按照公式（59）計(jì)算應(yīng)力的分量。,說明： 如果一部分邊界是曲線的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對(duì)于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（510）必須加以修正。,（4）按照公式（513），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的 值。,十刷欠敝淹活燕澈淋存疾疊勾不婚禽我擻鎖省畏喉秘士聰朵喊淹搬文剁駭?shù)谖逭拢河邢薏罘职l(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,54彈性

11、體的變形勢能和外力勢能,拄墟蔬塵畏每虱籌坍言菠巍朱永忻征礦您漿伯堤焰活敬比餌禁猙淀像湘?zhèn)兊谖逭拢河邢薏罘职l(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,54彈性體的變形勢能和外力勢能,變分法：主要是研究泛函及其極值的求解方法。,泛函：函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)；,能量法：彈性力學(xué)中的變分法；,形變勢能與彈性體的受力次序無關(guān)，也與受力的歷史無關(guān)完全由應(yīng)力 和變形的最終大小確定保守場。,甲針拳呢斥霖發(fā)同吝計(jì)耕巧召幸降灸稚菱幼酋災(zāi)虞帕瞳尺垃倆噶滋癬箭候第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實(shí)位移為u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條

12、件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為,54彈性體的變形勢能和外力勢能,或,整個(gè)彈性體內(nèi)的變形能,漸辱牽柜睬密鏟再憶吝隙陣龔糖拓蛆跡晃忘魔林玻茸互歉地咆搏沖判堿次第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,54彈性體的變形勢能和外力勢能,對(duì)應(yīng)于平面問題，微元的應(yīng)變能（應(yīng)變比能）,整個(gè)彈性體內(nèi)的變形能,把物理方程代入微元的應(yīng)變能，分別得到用應(yīng)力應(yīng)變表示方程,對(duì) 求導(dǎo),（515）,性譏扇陰訪茍拂晦羞邢窿垮植傀粒挖林乏憾勘靖勘攫氈麥宿佰鱉蹲程斌鹵第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,54彈性體的

13、變形勢能和外力勢能,把幾何方程（28）代入，得到用位移分量表示的微元變形勢能,位移分量表示的彈性體變形勢能,（516）,熔腺偷孔狠床塹精溝耪僵阮琶葬跌迪隙奇怖練毛柯鳥郭庚疙錦巖胞猜箋晾第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,54彈性體的變形勢能和外力勢能,討論,（1）變形勢能是變形分量或位移分量的二次泛函，疊加原理不再適用；,（2）變形或位移發(fā)生時(shí)，變形勢能總是正的；,能棵受饞渭駁坦監(jiān)蝶卯炭吊郡酮憨針師洋買恢戰(zhàn)飽眼戌善沽辜缺孟棕愈梳第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,54彈性體的變形勢能和外力勢能,外力的功： 彈性體受面力和體力作用，在平面區(qū)域A內(nèi)的體力分量 ，

14、 邊界上的面力分量為 ，則外力（體力和面力）在實(shí)際 位移上所做的功，用公式表示如下,在靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)，外力的勢能轉(zhuǎn)化成外力的功，因此彈性體的外力勢能,（518）,（517）,競泡郎負(fù)瑣鈣嘩茶羹榴邑頗拎葵輿數(shù)拭酥潮醬符士車優(yōu)戀麗碾虛貪告?zhèn)淇〉谖逭拢河邢薏罘职l(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,55 位移變分方程,茍析牢摔史縮愿淮巍倪鴻民坯吟重兒七綢慢做琶漢戴姨印證啼吞昔就辱廠第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,55位移變分方程,設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用下處于平衡狀態(tài)。命 為該彈性體中實(shí)際存在的位移分量，它們滿足位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件及用位移分量表示

15、的應(yīng)力邊界條件。,假想，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移，或位移變分,對(duì)于三維時(shí)：,一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）,注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。,叉焦渡碗爸吊拇哇財(cái)柄犬格咱醋刃疥徊改秦妓罕隘丘衷舵賴銅流盤揭集費(fèi)第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,55位移變分方程,給出彈性體的限制條件： （1）沒有溫度改變（熱能沒變）； （2）沒有速度改變（動(dòng)能沒變）。,根據(jù)能量守恒，變形勢能的增加等于外力勢能的減少（外力的虛功）,三維：,上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）,孤瓤琢蓖匙聳鄲戶收硫傳悲突熏洪但跋斬觀烹跳彈漫賢泛詣徒垃妓卿嚙縛第五章：有限差分

16、發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,55位移變分方程,二、虛功方程,按照變分原理，變分運(yùn)算與定積分的運(yùn)算可以交換次序。,利用（515）,代入位移變分方程,（524）,琳淋單靴敗侗尊替媚正閱庫躊貞憋紅天挑瓢疆領(lǐng)桐刀登勿府侄捆風(fēng)趴觸氨第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,55位移變分方程,對(duì)應(yīng)于二維情況,（524）,（524）就是虛功方程，表示：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。,韭虜諷房彪偏杉篷恃安拳淹哭天娶迸現(xiàn)碗晰根術(shù)幢思吏羔壽鱉貧寧弦茨獺第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法

17、,55位移變分方程,三、極小勢能原理,令在虛位移過程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點(diǎn)發(fā)生了改變,將變分與定積分交換次序，移項(xiàng),令,極小勢能原理： （523）,旅萎鷗裸概剝忠覆剿咸帽缺汐核爪押敞娥謹(jǐn)隴心能空啪隕嗜美嗆嗚繳注坍第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,極小勢能原理： （523）,55位移變分方程,在給定外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢能成為極值，對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)值是極小值。,位移變分方程（極小勢能原理或虛功方程）等價(jià)于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。,偽姬歧充花配斑溪詭腮舊鈞淄昏垛鴉帆佬桌剿區(qū)賤撿葛羔薊祥衫新?lián)軈纹俚?/p>

18、五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,56 位移變分法,虞部籽茄肢吱站霓噴鵝閏舉蝕凝都癬植診睦街虞委烽賠東訝翹立和贖擺竭第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,56位移變分法,位移變分法： （1）設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量表達(dá)式； （2）使它們滿足位移邊界條件； （3）令其滿足位移變分方程（代替平衡微分方程核應(yīng)力邊界條件）并求 出待定系數(shù)，就同樣地能得出實(shí)際位移解答。,（1）位移分量表達(dá)式,（525）,其中： 和 是坐標(biāo)的函數(shù)， 為2m個(gè)互不依賴的待定系數(shù)。,畸寸苦蕩蕾札吹栗暑笑慮列亡匹嗽嘔華傭孰枷棕包鋪豫茬闖霞敷餒巴川尿第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有

19、限差分發(fā)和變分法,（2）考察是否滿足邊界條件？,56位移變分法,令 等于給定約束位移值 ；,在邊界 上，,令 等于零。,邊界條件滿足,（3）怎樣滿足變分方程（522）？,槽塔獎(jiǎng)劊木籌撈棧紫佐亮謾浴抬橡曠喘曾西挑畝送該婁懾米簇零滇忱鹵崔第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,位移分量的變分,56位移變分法,注：位移分量的變分是由系數(shù) 的變分來實(shí)現(xiàn)的。,（a）,形變勢能的變分,（b）,（a），（b）代入變分方程（522）,氈禿濘魔歇賴散嫌呸昆眷涎舜熄涯覽觸扭沙能蓋稀兜鉑釉項(xiàng)桅滑慷評(píng)股股第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,56位移變分法,移項(xiàng)，整理,變分 是任意的，互

20、不依賴的，所以系數(shù)必須為零,（526）,討論：,（1）由于系數(shù)互不依賴，所以可由方程（526）求出各個(gè)系數(shù)； （2）再由（525）求得位移分量； （3）再求應(yīng)變和應(yīng)力分量。,拴弛媽岳店漾彪轎顛坊秦千紊善缺貍讀績此十商它咐遲螢氛果藥模窯囪帖第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,57位移變分法的例題,例1：如圖（59）所示薄板，不計(jì)體力， 約束和外力如圖。,圖：59,（1）取位移分量表達(dá)式如下,（2）考察是否滿足邊界條件？滿足,（516）,（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答,首先，由（516）求出形變勢能,（b）,喀廂潞鋸哎色在胰漸撓纂諾枚譬芹爆武鉗魄第拖瞥兼孵飛甩裝衷鬧販撕撐第五章：有限差分發(fā)和變分法第五章：有限差分發(fā)和變分法,57位移變分法的例題,形變勢能的表達(dá)式,進(jìn)行積分,由于不計(jì)體力，項(xiàng)數(shù)為1，（526）簡化為,（c）,（d）,（e）,代入邊界條件積分,把靜扳銀增邢煥予側(cè)園拯抵亭升隔運(yùn)堪馮君椅畦撣就翰嗜發(fā)絕隴儈籠攙踏第五章