線性代數(shù)2-1.ppt

1、線性代數(shù),昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 2009.12,2,第二章 矩陣,矩陣的定義和運算,矩陣的初等變換,矩陣的秩,主要內(nèi)容：,3,第一節(jié) 矩陣概念及其運算,矩陣的定義,矩陣的運算,一. 矩陣的定義,定義1：,，n）,排成一個矩形的表格，用方括號（或圓括號）,圍起來，,記為,，簡記為,1.,矩陣的定義,有關(guān)矩陣的元素，行、列，對角線等名與行列式的相,應(yīng)名稱相同。,主對角線,副對角線,元素,第2行,第2列,但應(yīng)注意，矩陣是數(shù)的表格，行列式是數(shù)，兩者應(yīng)嚴(yán),嚴(yán)加區(qū)別。,例如,D是行列式，本質(zhì),上是一個數(shù)：,A是矩陣，本質(zhì)上是由數(shù)形,成的表格。,行列式與矩陣所使用的符號不同也是它們的區(qū)別之一。,元素為實數(shù)的矩

2、陣稱為實矩陣，元素為復(fù)數(shù)的矩,陣稱為復(fù)矩陣。若無特別聲明，本書中的矩陣都指實,矩陣。,一階矩陣,看做數(shù),，除此之外，矩陣是表格，不是數(shù)。,例如：,行數(shù)和列數(shù)相同，都是4，稱為4階方陣,2行3列的矩陣,1階方陣看做數(shù),2. 一些常用的矩陣,例如：,的0矩陣,3階0矩陣,今后遇到0，是代表數(shù)零還是零矩陣，根據(jù)上下文可以,分辯清楚。,主對角線上元素全是1，其余元素全是0的n階方陣,例如,是3階單位陣。,例如,1行n列,1行4列,為避免混淆，元素之間用逗號隔開。,例如,n行1列,4行1列,，當(dāng)所,有對應(yīng)元素都相等時，稱A與B相等，記為A=B。即,i=1，2，m，j=1，2，n。,列數(shù)。,注：兩個矩陣相

3、等的前提是，它們有相同的行數(shù)和,二. 矩陣的運算,2.,矩陣的加法和數(shù)乘,定義2：,k為數(shù)，則,對應(yīng)元素相加,所有元素都乘以k,矩陣的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。,矩陣的加法和數(shù)乘運算具有如下性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,數(shù)乘矩陣滿足交換律,用數(shù)乘以矩陣和乘以行列式是不同的，例如：,同樣，提取公因式也是不同的，例如,3.,矩陣乘法,定義3：,其中,i=1，2，m，j=1，2，n。,乘積AB的定義要注意以下三點：,第一、,A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)，乘積AB才有,意義。,第二、,乘積AB的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B,的列數(shù)。,第三、,的第j列對應(yīng)元素相乘之和。,例如，設(shè)

4、,則乘積：,一般，,例1、,設(shè),（1）,，,，則,，一般，矩陣乘法不滿足交換律。,無意義。（第一因子列數(shù)不等于第二因子的行數(shù) ）,即,用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用。,，說明單位矩陣E在矩陣乘法中的作,（2）,，則,三階矩陣,一階矩陣（數(shù)）,（3）,法不同：,由例1可以看出，矩陣乘法有以下三點與數(shù)的乘,(ii)由AB=0，不能推出A=0或B=0。,律不成立。,如任何n階矩陣與n階單位陣，總有AE=EA=A。,若對某,兩個矩陣A，B，有AB=BA，則稱與可交換。因此，任,何n階矩陣與n階單位矩陣總是可交換的。,矩陣乘法有以下與數(shù)的運算相同的性質(zhì)（設(shè)A，B，,C為矩陣，k為數(shù)，運算有意義）：,（1

5、）,（結(jié)合律）,（2）,（分配律，要注意因子,的順序）,（3）,這些性質(zhì)都容易證明，此處從略。,矩陣的冪：,設(shè)A為n階方陣，定義,n個A相乘,矩陣的冪有以下性質(zhì)：,（4）,，m，n為正整數(shù)。,以下性質(zhì)是需要附加條件的：,（5）,當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時，下面三個等式成立：,的分解因式公式，也要在A，B可交換（AB=BA）,時才成立。,定義4、,將矩陣A的各行換作相同序數(shù)的列，所得,的矩陣記作,，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。,將矩陣A轉(zhuǎn)置。,的元素,轉(zhuǎn)置矩陣有以下性質(zhì)（設(shè)A，B為矩陣，k為數(shù)，,運算可行）：,（1）,（2）,（3）,（4）,例如,（1）,（2）,（3）,（4）,例2、（填空）已知,，,，設(shè),。

6、,解：,定義5、,對于n階矩陣A，若有,對稱矩陣。,，則稱A為,即在對稱矩陣中，每一對關(guān)于主對角線相對稱的元素,都相等。,例如，下列A，B，0三個矩陣都是對稱矩陣：,對稱矩陣有以下性質(zhì)：,（1）,對稱矩陣(為數(shù))。但AB不一定為對稱矩陣，,例如：,A，B都是對稱矩陣，但AB不是對稱矩陣。,（2）,若A，B都是n階對稱矩陣，則AB仍為對稱矩,陣的充分必要條件是A與B可交換，即AB=BA。,證明：,因為,所以,證畢。,5.,共軛矩陣,定義6.,，稱,為A的共軛矩陣，,例如：,的共軛矩陣為,容易驗證共軛矩陣有以下性質(zhì)（設(shè)A，B為復(fù)矩,陣，k為復(fù)數(shù)，運算可行。）,6.,n階矩陣的行列式,定義7.,設(shè)A

7、為n階矩陣，保持A的元素位置不動，,det(A)或,由A的元素所構(gòu)成的n階行列式稱為A的行列式，記作,。即,的行列式為,別。,性質(zhì)的對象，也有著許多不同的運算性質(zhì)，應(yīng)嚴(yán)加區(qū),例如,n階矩陣的行列式有以下性質(zhì)（設(shè)A，B為n階矩陣，,k為數(shù)）,（1）,（2）,（3）,留到本章3中再證明。（證畢）,證明：,（1）就是行列式性質(zhì)。（2）共有k行，每行,都有公因子k，由行列式性質(zhì)3就得到（2）。性質(zhì)（3）,例如，,思考,7.,n階矩陣的伴隨矩陣,定義8.,設(shè)有n階矩陣,置，所得矩陣稱為A的伴隨矩陣，,例如，,設(shè),，則A的伴隨矩陣為,伴隨矩陣有以下基本性質(zhì)：,例如，上例中，,，且,定義9.,設(shè)A為n階矩陣

8、，若存在n階矩陣B，使得,其中E為n階單位矩陣。,則稱為A可逆矩陣，稱B為A的,逆矩陣，,記做,定理、,n階矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是A,的行列式,當(dāng)A可逆時，A的逆矩陣為,推論、,若AB=E（或BA=E），則A可逆，且,逆矩陣有以下性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）,（4）,若A可逆，數(shù)k不等于0，則kA可逆，且,（5）,若A，B同階可逆，則AB可逆，且,若A可逆，則定義,則冪的性質(zhì),對一切正整數(shù)n，m都成立。,可逆矩陣又稱為非奇異矩陣，不可逆矩陣稱為奇,異矩陣。,例3.,判斷下列矩陣可逆，并求其逆矩陣。,（1）,（2）,矩陣是方便的。但對三階矩陣就較麻煩了，因為求伴,隨矩陣時要計算9個二

9、階行列式。若是四階矩陣，則要,將在本章3介紹用初等變換求逆矩陣的方法。,計算16個三階矩陣，更是大工作量。對于高階矩陣，,例4.,設(shè),求二階矩陣X，Y，使?jié)M足AX=B，YA=B。,矩陣方程AX=B，YA=B。）,（也就是解,由計算結(jié)果可見,意是在左邊乘還是在右邊乘。,。這是由于A與B不可交換,的緣故。因此，在等式兩邊乘一個矩陣時，特別要注,例5.,設(shè),，其中E是4階單位矩,陣，,是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。,又已知,求矩陣A。,例6.,設(shè)A為三階矩陣，,試計算行列式,例7.,設(shè)矩陣A滿足,矩陣。試證A - E可逆，并求其逆。,，其中E為單位,本 節(jié) 完,證明：,以第二個等式為例。根據(jù)乘法的分配律，

10、有,當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時，有,證明：,（1）（2）（3）明顯，只證明（4）。,證等式的兩邊第i行j列元素相等即可。設(shè),只要,行i列元素,另一方面，,是,矩陣，,是,矩陣，故,，其中i行j列元,素為,=B中第i列與A中j行對應(yīng)元素乘積之和,故有,解：,證明：,可得,根據(jù)矩陣乘法以及行列式的展開式及其推論,證明：,必要性：,設(shè)A為可逆矩陣，則有AB=BA=E，,由矩陣行列式的性質(zhì)有,故,必要性：,設(shè),，取,，則,根據(jù)定義，A可逆，且,證明：,若AB=E，兩邊取行列式，得,因此,，根據(jù)定理，A可逆。,在AB=E的兩邊左乘,，得,證明：,（1）,由定義及定理的證明中可知成立。,（2）,由（1）有,（3）,，根據(jù)推論，,可逆，且,（4）,，根據(jù)推論，kA可,逆，且,（5）,根據(jù)推論，A