勾股定理應(yīng)用

1、一、勾股定理的逆定理：1. 逆定理：如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀。在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是銳角三角。 二. 實際應(yīng)用定理中的注意問題：1、定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊2、勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方

2、等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形三、勾股定理逆定理的幾種典型應(yīng)用：應(yīng)用范圍用于判斷三角形的形狀用于求角度用于求邊長用于求面積用于證明垂直例題1如圖，ABC中，AB=15，AC=8，AD是中線，且AD=8.5，則BC的長為（）A15 B16 C17 D18例題2 勾股定理是幾何中的一個重要定理在我國古算書周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，BAC=90，AB=2，AC=3，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，則長方形KLMJ的面積為（）A50 B52 C

3、54 D56利用勾股定理計算角度實例：如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，則BEC= 135度開放性試題發(fā)揮主觀能動性，答案不唯一。實例：如圖，已知一個邊長分別為6、8、10的直角三角形，請設(shè)計出一個有一條邊長為8的直角三角形，使這兩個直角三角形能夠拼成一個等腰三角形（1）畫出4種不同拼法（周長不等）的等腰三角形；（2）求出4種不同拼法的圖形的等腰三角形的周長一、選擇題1、有下面的判斷：ABC中，a2+b2c2，則ABC不是直角三角形ABC是直角三角形，C=90，則a2+b2=c2若ABC中，a2-

4、b2=c2，則ABC是直角三角形若ABC是直角三角形，則（a+b）（a-b）=c2以上判斷正確的有（）A4個B3個C2個D1個2、若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則此為（）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D不能確定*3、已知正實數(shù)a、b、c滿足=k，以2k，2k+1，2k-1為三邊的三角形面積是（）A12 B6 CD3*4、如圖，以ABC的每一條邊為邊作三個正三角形ABD、BCE和ACF已知這三個正三角形構(gòu)成的圖形中，甲、乙陰影部分的面積和等于丙、丁陰影部分的面積和，則FCE=（）A130B140C150D160*5、如圖，已知正方形ABED與

5、正方形BCFE，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點中任取三個點，使得這三個點能作為直角三角形的三個頂點，則這樣的直角三角形共有（）A10個B12個C14個D16個二、填空題：*6、如圖，RtABC中，C=90度將ABC沿折痕BE對折，C點恰好與AB的中點D重合，若BE=4，則AC的長為 6*7、如圖，在45的方格中，A、B為兩個格點，再選一個格點C，使ACB為直角，則滿足條件的點C個數(shù)為 *8如圖：在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，且EFBC交AC于M，若CM=5，則CE2+CF2= 100 三、解答題：9、閱讀以下解題過程：已知a，b，c為ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4

6、-b4，試判斷ABC的形狀錯解：a2c2-b2c2=a4-b4（1），c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2）（2），c2=a2+b2（3）問：（1）上述解題過程，從哪一步開始發(fā)現(xiàn)錯誤請寫出該步的代號 （2）錯誤的原因是 不能確定a2-b2是否為0（3）本題正確的結(jié)論是 等腰三角形或直角三角形：*10、如圖，點D是ABC內(nèi)一點，把ABD繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5（1）判斷DEC的形狀，并說明理由；（2）求ADB的度數(shù)*11、如圖：四邊形ABCD中，AD=DC，ABC=30，ADC=60試探索以AB、BC、BD為邊，能否組成直角三角形，并說明理由*

7、12、已知：ABC的周長是4+2，AB=4，AC=+（1）判斷ABC的形狀；（2）若CD是AB上的中線，DEAB，ACB的平分線交DE于E，交AB于F，連接BE求證：DC=DE，并求DBE的面積一、勾股定理在解決幾何問題中的應(yīng)用技巧：1、構(gòu)造直角三角形。根據(jù)題意，合理構(gòu)造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面積問題，經(jīng)常作高構(gòu)造直角三角形。例如：=,=，求三角形面積、利用勾股定理列方程：將三角形的邊用同一未知數(shù)表示，列出方程，解出所求值。（）在翻折問題中，大多數(shù)求值都是這種應(yīng)用。如：如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）求折

8、斷物體長度時，使用方程：如：一根竹子高9尺，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面高度是、分類討論思想圖3BCAD已知一個直角三角形的兩邊長，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論已知一個直角三角形的兩邊長是和，求第三邊的長、數(shù)形結(jié)合思想幾何與代數(shù)問題的綜合。在一棵樹的米高處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹米的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？二.特殊幾何圖形中的勾股定理計算規(guī)律：、 含有30的直角三角形。（1）30角所對的直角邊是斜邊的一半。（2）60角所對的直角邊是30角所對直角邊的倍。、等邊三角形：（1）高等于任何一邊的倍。（2

9、）面積等于（邊長）2例題1在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用完全相同的四個直角三角形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性問題1：以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究S1+S2與S3的關(guān)系（如圖1）問題2：以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，探究S+S與S的關(guān)系（如圖2）問題3：以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓，探究S1+S2與S3的關(guān)系（如圖3）例題2A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3A1B，垂足為A3，A3A4A2B，垂足為A4，A4A5A3B，垂足為A5，An+1An+2AnB，垂足為An+2，則線段An+1An+

10、2（n為自然數(shù)）的長為（）A B C D分類討論求值充分考慮不同情況下的求值。實例：在ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上的高AD=12，則邊BC的長是（）A14 B4 C14或4 D生活中的勾股定理方案設(shè)計在實際生活中應(yīng)用勾股定理。實例：某園藝公司對一塊直角三角形的花園進行改造，測得兩直角邊長分別為a=6米，b=8米現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以b為直角邊的直角三角形，則擴建后的等腰三角形花圃的周長為（）米A32或20+4 B32或36或 C32或或20+4 D32或36或或20+4一、選擇題1、觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，

11、24，26；，根據(jù)以上規(guī)律的第組勾股數(shù)是（）A14、48、49 B16、12、20 C16、63、65 D16、30、342如圖，一個長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底端的滑動距離（）A等于1米B大于1米C小于1米D不能確定*3已知ABC是斜邊長為1cm的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是（）Acm Bcm C2ncm Dcm*4如圖所示，一只小螞蟻從棱長為1的正方體的頂點A出發(fā)，經(jīng)過每個面的中心

12、點后，又回到A點，螞蟻爬行最短程S滿足（）A5S6 B6S7 C7S8 D8S9*5、如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，點D、E在BC上，且DAE=45，現(xiàn)將ACE繞點A旋轉(zhuǎn)至ABE處，連接DE和EE，則下列結(jié)論中ABDEADE=BAEAEE是等腰直角三角形ADEEBD2+CE2=DE2正確的有（）A1個B2個C3個D4個二、填空題：*6 如圖，一牧童在A處放羊，牧童的家在B處，A、B距河岸的距離AC、BD分別為500m和700m，且C、D兩地相距500m，天黑前牧童要將羊趕往河邊喝水再回家，那么牧童至少應(yīng)該走 1300m*7如圖，為安全起見，幼兒園打算加長滑梯，將其傾斜角由45降至

13、30已知滑梯AB的長為3m，點D，B，C在同一水平地面上，那么加長后的滑梯AD的長是 m*8勾股定理是初等幾何中的一個基本定理這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，我國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的弦圖，是最早證明勾股定理的方法，所謂弦圖是指在正方形的每一邊上各取一個點，再連接四點構(gòu)成一個正方形，它可以驗證勾股定理在如圖的弦圖中，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上若正方形ABCD的面積=16，AE=1；則正方形EFGH的面積= 10*9、圖（1）是一個面積為1的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后，在它的左右肩上生

14、出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，如圖（2）；經(jīng)過第2次“生長”后變成圖（3），經(jīng)過第3次“生長”后變成圖（4），如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”，這就是美麗的“勾股樹”已知“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和存在一定的變化規(guī)律，請你利用這一規(guī)律求：經(jīng)過第一次“生長”后的所有正方形的面積和為 2，經(jīng)過第10次“生長”后，圖中所有正方形的面積和為： 三、解答題：*10我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是*11已知：如圖，點O是等腰直角ABC斜邊AB的中點，D為BC邊上任意一點操作