用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（優(yōu)質(zhì)課）

1、（一）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì) 總體的數(shù)字特征,一 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念,中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).,眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),平均數(shù): 一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即,問題1：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)這三個(gè)數(shù) 一般都會(huì)來自于同一個(gè)總體或樣本，它們 能表明總體或樣本的什么性質(zhì)？,平均數(shù):反映所有數(shù)據(jù)的平均水平,眾數(shù):反映的往往是局部較集中的數(shù)據(jù)信息,中位數(shù):是位置型數(shù)，反映處于中間部位的 數(shù)據(jù)信息,1、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù),（1）、1 ，2，3，3，3，

2、5，5，8，8，8，9，9,眾數(shù)是：3和8,（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9,眾數(shù)是：3,2、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù),（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9,（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9,中位數(shù)是：5,中位數(shù)是：4,3、在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù) 。,解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75 上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1

3、.70；,答：17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t),眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中， 就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。,如何在頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù),可將眾數(shù)看作直方圖中面積最大長方形的“中心”,0.5,2.5,2,1.5,1,4,3.5,3,4.5,頻率 組距,0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02,前

4、四個(gè)小矩形的面積和=0.49,后四個(gè)小矩形的面積和=0.26,2.02,如何在頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù),在樣本中中位數(shù)的左右各有50%的樣本數(shù)， 條形面積各為0.5,所以反映在直方圖中位數(shù) 左右的面積相等.,，,中位數(shù),),可將中位數(shù)看作整個(gè)直方圖面積的“中心”,思考討論以下問題： 1、2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，你能解釋其中原因嗎？,答：2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣，這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖，只是直觀地表明分布的形狀，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，直方圖已經(jīng)損失一些樣本信息。所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往

5、與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致.,如何在頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù),=2.02,=2.02,平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。,可將平均數(shù)看作整個(gè)直方圖面積的“重心”,思考討論以下問題： 2、樣本中位數(shù)不受少數(shù)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。你能舉例說明嗎？,答：優(yōu)點(diǎn)：對(duì)極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響。 對(duì)極端值不敏感有利的例子:例如當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)（如數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤、測(cè)量錯(cuò)誤等）時(shí)，用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值更準(zhǔn)確。,缺點(diǎn)：（1）出現(xiàn)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)也不知道

6、；（2）對(duì)極端值不敏感有弊的例子：某人具有初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平，想找一份收入好的工作。這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn)：,很可能所選擇公司的初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對(duì)極小的數(shù)據(jù)不敏感。這里更好的方法是同時(shí)用平均工資和中位數(shù)作為參考指標(biāo)，選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè).,例1、下表是七位評(píng)委給某參賽選手的打分，總分為10分， 你認(rèn)為如何計(jì)算這位選手的最后得分才較為合理？,提問：1、電視里評(píng)委是怎樣給選手打分的？ 2、為什么這么做？直接取中位數(shù)和眾數(shù)的值不好么？,三、 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,例2

7、 某工廠人員及工資構(gòu)成如下：,（1）指出這個(gè)問題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),（2）這個(gè)問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？,分析：眾數(shù)為200，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300。 因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。,課堂練習(xí)：,1、假設(shè)你是一名交通部門的工作人員。你打算向市長報(bào)告國家對(duì)本市26條公路項(xiàng)目投資的平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設(shè)投資為2 200萬元人民幣，另外25個(gè)項(xiàng)目的投資在20萬與100萬中位數(shù)是25萬，平均數(shù)是100萬，眾數(shù)是20萬元。你會(huì)選擇哪一種

8、數(shù)字特征來表示每一個(gè)項(xiàng)目的國家投資？你選擇這種數(shù)字特征的缺點(diǎn)是什么？,選擇平均數(shù)更好：因?yàn)?，此時(shí)的眾數(shù)20萬比中位數(shù)25萬還小，所以眾數(shù)代表的是局部的數(shù)。中位數(shù)代表的雖然是大多數(shù)公路投資的數(shù)額，但由于其不受極端值的影響，不能代表全體，因而此時(shí)成了它的缺點(diǎn)。選擇平均數(shù)較好，能比較好的代表整體水平，但缺點(diǎn)是仍不能顯示出具體的數(shù)字特征,方差與標(biāo)準(zhǔn)差,（二）,情境一;,甲.乙兩名射擊隊(duì)員,在進(jìn)行的十次射擊中成績(jī)分別是: 甲: 10; 9; 8; 10; 8; 8; 10; 10; 9.5; 7.5 乙: 9; 9; 8,5; 9; 9; 9.5; 9.5; 8.5; 8.5; 9.5,試問二人誰發(fā)揮的

9、水平較穩(wěn)定?,分析:甲的平均成績(jī)是9環(huán).乙的平均成績(jī)也是9環(huán).,一.實(shí)例引入,情境二:,某農(nóng)場(chǎng)種植了甲、乙兩種玉米苗，從中各抽取了10株，分別測(cè)得它們的株高如下：(單位cm),甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29,乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62,問：,哪種玉米苗長得高？,哪種玉米苗長得齊？,怎么辦呢？,甲,37（最大值）,29（最小值）,8,乙,66（最大值）,11（最小值）,55,極 差,甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29,乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62,極差：,一組

10、數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差,極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定,極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定,極差體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的離散程度,離散程度,為了對(duì)兩人射擊水平的穩(wěn)定程度,玉米生長的高度差異以及鋼筋質(zhì)量?jī)?yōu)劣做個(gè)合理的評(píng)價(jià),這里我們引入了一個(gè)新的概念,方差和標(biāo)準(zhǔn)差.,設(shè)一組樣本數(shù)據(jù) ，其平均數(shù)為 ，則,稱s2為這個(gè)樣本的方差，,稱為這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別稱為樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差,它的算術(shù)平方根,x1，x2，xn,樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差；樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差。樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大。,例1.計(jì)算

11、數(shù)據(jù)89，93，88，91，94，90，88，87的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。（標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果精確到0.1）,解：,.,所以這組數(shù)據(jù)的方差為5.5，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3 . 見課本76-77頁,練習(xí)：若甲、乙兩隊(duì)比賽情況如下,下列說法哪些 說法是不正確的：,1、平均來說，甲的技術(shù)比乙的技術(shù)好； 2、乙比甲技術(shù)更穩(wěn)定； 3、甲隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)差，有時(shí)表現(xiàn)好； 4、乙隊(duì)很少不失球。,全對(duì),例2：甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm ），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定,解：,1、在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_；,2、已知數(shù)據(jù) 的方差為2，則求數(shù)據(jù) 的方差。,9.5，0.016,三.當(dāng)堂反饋,思考一下：,如果數(shù)據(jù),的平均數(shù)為 ，,方差為,（1）新數(shù)據(jù),的平均數(shù)為,，方差仍為 ,（2）新數(shù)據(jù),的平均數(shù)為,，方差為 ,（3）新數(shù)據(jù),的平均數(shù)為 ，,方差為 ,，則,方差的運(yùn)算性質(zhì)：,練習(xí)：,（3）若k1,k2, k8的方差為3，則2(k13), 2(k23), , 2(k83)的方差為_,4,32,12,A,B,（7）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：